三年高考（2019-2021）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)匯編-專題19 不等式選講（教師版）

專題19不等式選講1．【2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對(duì)值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時(shí)的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個(gè)單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時(shí)，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.2．【2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解絕對(duì)值不等式的方法有零點(diǎn)分段法、幾何意義法．解含有兩個(gè)絕對(duì)值，且其中的的系數(shù)相等時(shí)，可以考慮利用數(shù)軸上絕對(duì)值的幾何意義求解；利用絕對(duì)值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號(hào)的條件.3．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【解析】（1）由題設(shè)知的圖像如圖所示．（2）函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像．的圖像與的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為．由圖像可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖像在的圖像上方，故不等式的解集為．4．【2020年高考全國II卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因此，不等式的解集為．（2）因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，．所以當(dāng)a≥3或a≤-1時(shí)，．當(dāng)-1<a<3時(shí)，，所以a的取值范圍是．5．【2020年高考全國III卷理數(shù)】[選修4—5：不等式選講]（10分）設(shè)a，b，c∈R，，．（1）證明：；（2）用表示a，b，c的最大值，證明：≥．【解析】（1）由題設(shè)可知，a，b均不為零，所以.（2）不妨設(shè)max{a，b，c}=a，因?yàn)?，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.6．【2020年高考江蘇】[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設(shè)，解不等式．【解析】當(dāng)x>0時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得．綜上，原不等式的解集為．7．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）因?yàn)?，又，故有．所以．?）因?yàn)闉檎龜?shù)且，故有=24．所以．【名師點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需注意取等條件能否成立．8．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，不等式的解集為．（2）因?yàn)?，所以．?dāng)，時(shí)，．所以，的取值范圍是．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型．9．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)，且．（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或．【答案】（1）；（2）見詳解．【解析】（1）由于，故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．（2）由于，故由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．因此的最小值為．由題設(shè)知，解得或．【名師點(diǎn)睛】兩個(gè)問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型．10．【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】設(shè)，解不等式．【答案】．【解析】當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為，解得x<；當(dāng)0≤x≤時(shí)，原不等式可化