分離變量法的應(yīng)用

關(guān)于分離變量法的應(yīng)用第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日1非齊次邊界條件的處理：第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日2思考題非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問題應(yīng)該如何求解？第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日3三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間中的熱傳導(dǎo)問題為例，考慮齊次泛定方程：考慮如下形式的解：代入方程可得：第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日4這樣得到如下兩個(gè)微分方程：第二個(gè)微分方程可以進(jìn)一步分離變量，令：代入方程中整理可得：第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日5分析易得：時(shí)間部分的解為：空間部分（滿足邊界條件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導(dǎo)問題的完整解為：第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日6例8.5求解下列定解問題：第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日7求解本征值問題可得：第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日8相應(yīng)地，這時(shí)，有：同時(shí)可求出T：構(gòu)造特解并疊加得到：第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日9代入初始條件可得：故定解問題：的解為：第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日10在利用分離變量法求解定解問題的時(shí)候，對方程和邊界條件都要進(jìn)行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。這個(gè)時(shí)候要根據(jù)邊界情況來選取合適的坐標(biāo)系。在進(jìn)一步討論之前，我們引入正交曲線坐標(biāo)系的概念。第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日11例8.5

求解如下定解問題：（P194，例4）第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日12正交曲線坐標(biāo)系由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：例：柱坐標(biāo)系第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日13球坐標(biāo)系其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢球坐標(biāo)等。第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日14正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日15一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時(shí)間和坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無關(guān)）?，F(xiàn)在我們就來考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對Laplace方程如何進(jìn)行變量分離。第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日16柱坐標(biāo)系的情況第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日17第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日18第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日19球坐標(biāo)系的情況第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日20第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日21例8.5

求解如下定解問題：（P194，例4）第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日2