二次函數(shù)的基礎知識和經典練習題

中小學1對1課外輔導專家PAGE綠波帝歐校區(qū)電話：39638145山東路校區(qū)電話：39639143大紡校區(qū)電話39638142二次函數(shù)一、基礎知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的表示方法：數(shù)表法、圖像法、表達式.3.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①（；②；(③(頂點式)；④；（⑤.它們的圖像都是對稱軸平行于（或重合）軸的拋物線.4.各種形式的二次函數(shù)的圖像性質如下表：函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()1.拋物線中的系數(shù)（1）決定開口方向：幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.當時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；當時，拋物線開口向下，頂點為其最高點.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置：當時，對稱軸為軸；當、同號時，對稱軸在軸左側；當、異號時，對稱軸在軸右側.（3）決定拋物線與軸交點位置：當時，拋物線經過原點；當時,相交于軸的正半軸；當時,則相交于軸的負半軸.2.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.其中.（3）運用拋物線的對稱性：拋物線是軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線就是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點..3．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.（3）兩點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.4.拋物線與軸的交點設二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式來判定：（1）拋物線與軸有兩個交點；（2）拋物線與軸有一個交點（頂點在軸上）；（3）拋物線與軸沒有交點.5.二次函數(shù)的應用一、的性質1．已知二次函數(shù)與x軸有交點，則k的取值范圍是。解：A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－410．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如下圖所示，則()A．b＞0，c＞0，＝0B．b＜0，c＞0，＝0C．b＜0，c＜0，＝0D．b＞0，c＞0，＞011．二次函數(shù)y＝mx2＋2mx－(3－m)的圖象如下圖所示，那么m的取值范圍是()A．m＞0 B．m＞3C．m＜0 D．0＜m＜312．在同一坐標系內，函數(shù)y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的圖象大致如圖()13．函數(shù)(ab＜0)的圖象在下列四個示意圖中，可能正確的是()14．圖中有相同對稱軸的兩條拋物線，下列關系不正確的是()A．h＝m B．k＞nC．k＝n D．h＞0，k＞015．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列結論：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；；④b＜1．其中正確的結論是()A．①② B．②③C．②④ D．③④16．下列命題中，正確的是()①若a＋b＋c＝0，則b2－4ac②若b＝2a＋3c，則一元二次方程ax2＋bx＋③若b2－4ac＞0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c④若b＞a＋c，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有兩個不相等的實數(shù)根．A．②④ B．①③ C．②③ D．③④二、的最值心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y和提出概念所用的時間x（單位：分）之間大體滿足函數(shù)關系式：（0≤x≤30）。y的值越大，表示接受能力越強。試根據(jù)關系式回答：若提出概念用10分鐘，學生的接受能力是多少？概念提出多少時間時？學生的接受能力達到最強？某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示。圖（2）建立直角坐標系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系是。請回答下列問題：柱子OA的高度是多少米？噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？體育測試時，初三一名高個學生推鉛球，已知鉛球所經過的路線為拋物線的一部分，根據(jù)關系式回答：該同學的出手最大高度是多少？鉛球在運行過程中離地面的最大高度是多少？該同學的成績是多少？如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y。求出y與x之間的函數(shù)關系式；正方形EFGH有沒有最大面積？若有，試確定E點位置；若沒有，說明理由。三、函數(shù)解析式的求法（1）某菜農搭建了一個橫截面為拋物線的大棚，尺寸如圖：根據(jù)如圖直角坐標系求該拋物線的解析式；若菜農身高為1.60米，則在他不彎腰的情況下，在棚內的橫向活動范圍有幾米？（精確到0.01米）根據(jù)下列條件求拋物線的解析式：圖象過點（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；圖象的頂點坐標為（-1，-1），且與y軸交點的縱坐標為-3；圖象過點（1，-5），對稱軸是直線x=1，且圖象與x軸的兩個交點之間的距離為4。在一場足球賽中，一球員從球門正前方10米處將球踢起射向球門，當球飛行的水平距離為6米時，球到達最高點，此時球高3米，已知球門高為2.44米，問能否射中球門？已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0）、B（3，0）兩點，且函數(shù)有最大值是2。求二次函數(shù)的圖象的解析式；設次二次函數(shù)的頂點為P，求△ABP的面積。如圖：求該拋物線的解析式；根據(jù)圖象回答：當x為何范圍時，該函數(shù)值大于0。已知拋物線經過A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三點。求這條拋物線的解析式；如果點D（1，m）在這條拋物線上，求m值和點D關于這條拋物線對稱軸的對稱點E的坐標，并求出tan∠ADE的值。四、函數(shù)解析式的求法（2）已知某綠色蔬菜生產基地收獲的大蒜，從四月一日起開始上市的30天內，大蒜每10千克的批發(fā)價y（元）是上市時間x(天)的二次函數(shù)，有近幾年的行情可知如下信息：x（天）51525y（元）151015求y與x的函數(shù)關系式；大蒜每10千克的批發(fā)價為10.8元時，問此時是在上市的多少天？如圖，某建筑物從10m高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀，如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面m，求水流落點B離墻的距離OB的長。一男生推鉛球，成績?yōu)?0米，已知該男生的出手高度為米，且當鉛球運行的水平距離為4米時達到最大高度，試求鉛球運行的拋物線的解析式。某工廠的大門是一拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側距地面3米高處各有一個壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6米，試求廠門的高度。拋物線經過A、B、C三點，頂點為D，且與x軸的另一個交點為E。求該拋物線的解析式；求四邊形ABDE的面積；求證：△AOB∽△BDE。6．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點，并也經過(1，1)點．求這個二次函數(shù)解析式，并求x為何值時，有最大(最小)值，這個值是什么?7．已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸的兩個交點分別為A(m，0)，B(n，0)，且，(1)求此拋物線的解析式；(2)設此拋物線與y軸的交點為C，過C作一條平行x軸的直線交拋物線于另一點P，求△ACP的面積．8．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(－1，0)，且經過直線y＝x－3與x軸的交點B及與y軸的交點C．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的頂點坐標；(3)若點M在第四象限內的拋物線上，且OM⊥BC，垂足為D，求點M的坐標．9．某商業(yè)公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和生產進行了調研，結果如下：一件商品的售價M(元)與時間t(月)的關系可用一條線段上的點來表示(如圖甲)，一件商品的成本Q(元)與時間t(月)的關系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高(如圖乙)．根據(jù)圖象提供的信息解答下面問題：(1)一件商品在3月份出售時的利潤是多少元