概率論(隨機變量分布函數)

概率論(隨機變量分布函數)第一頁，共31頁。第三節(jié)隨機變量的分布函數一、概念的引入需要知道X在任意有限區(qū)間(a,b)內取值的概率.分布函數例如第二頁，共31頁。

———|——>x二、定義設X

是隨機變量，x為任意實數，稱函數為X的分布函數(distributionfunction)記作X～F(x)或FX(x)如果將X看作數軸上隨機點的坐標，那么分布函數F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.第三頁，共31頁。三、分布函數的性質1單調不減即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；2.非負有界F(x+0)=F(x)3.右連續(xù)性質1--3是鑒別一個函數是否是某隨機變量的分布函數的充分必要條件.第四頁，共31頁。例1

一袋中有6個球，其中2個標號為1，3個標號為2，1個標號為3,任取1個球，以X表示取出的球的標號，求X的分布函數；并求P｛2≤X≤3｝解：由已知X的可能值為1,2,3．P{X=1}=2/6,P{X=2}=3/6,P{X=3}=1/6.所以X的分布律為X 123

pk 2/63/61/6第五頁，共31頁。0123F(x)xF(x)的圖形為第六頁，共31頁。它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線在隨機變量的每一個可能取值點x=xk(k=1,2,…),該圖形都有一個跳躍，跳躍高度為pk

一般地，對于離散型隨機變量X

來講，如果其概率分布律為,k=1,2,…

其中x1<x2<…

則X的分布函數為第七頁，共31頁。例2一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的半徑平方成正比,并設射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求（1）隨機變量X的分布函數．解(1)求隨機變量X的分布函數F(x)當0≤x≤2時，P{0≤X≤x}=cx2(c為待定常數)又因為｛0≤X≤2｝為必然事件,故1=P{0≤X≤2｝故于是當x<0時,事件{X≤x}為不可能事件,得F(x)=P{X≤x｝=0當x>2時,{X≤x｝為必然事件,于是F(x)=P{X≤x｝=1第八頁，共31頁。綜上所述x0123F(x)的圖形F(x)11/2第九頁，共31頁?！咀ⅰ勘纠蟹植己瘮礔(x)的圖形是一條連續(xù)曲線，且除x=2外，補充定義x=2處函數值為0后，得到第十頁，共31頁。第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其

概率密度一、定義probabilitydensity.注：(1)由定義知道，改變概率密度f(x)在個別點的函數值不影響分布函數F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.(2)連續(xù)型隨機變量的分布函數是連續(xù)函數.第十一頁，共31頁。二、性質(1),(2)用于驗證一個函數是否為概率密度注(4)式及連續(xù)性隨機變量分布函數的定義表示了分布函數與概率密度間的兩個關系．利用這些關系，可以根據分布函數和概率密度中的一個推出另一個．(4)若f(x)在點x處連續(xù)，則有第十二頁，共31頁。連續(xù)型隨機變量的分布函數與概率密度的幾何意義：3.

性質(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲線f(x)在區(qū)間(x1,x2]上的曲邊梯形的面積。1.

F(x)等于曲線f(x)在(-∞,x]上的曲邊梯形的面積。2.說明曲線f(x)與x軸之間的面積等于1?？傻糜嬎愎剑旱谑摚?1頁。注：

1.

設X為連續(xù)型隨機變量，對于任意可能值

a

,證明由此知2.若X是連續(xù)型隨機變量，則有因此，第十四頁，共31頁。

例1:設隨機變量X具有概率密度(1)試確定常數k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于

于是X的概率密度為，解得k=3.(2)從而第十五頁，共31頁。練習解(1)第十六頁，共31頁。例2:

連續(xù)型隨機變量X的分布函數（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}解（1）由分布函數的性質知由連續(xù)型隨機變量的分布函數的連續(xù)性知所以B=1.F(x)在x=0處有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以A=1/2于是X分布函數為：（2）X的概率密度為第十七頁，共31頁。分布函數三、三種重要的連續(xù)型分布：

1．均勻分布(UniformDistribution)設連續(xù)隨機變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為XU(a，b).第十八頁，共31頁。均勻分布的意義第十九頁，共31頁。

短時間間隔的股票價格波動等.均勻分布常見于下列情形：在數值計算中的舍入誤差；

例3

設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在800歐～1000歐，求R的概率密度及R落在850歐～950歐的概率.解:

由題意，R的概率密度為而第二十頁，共31頁。例3某車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30,7:45等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,求他候車時間少于5分鐘的概率。解：以7:00為起點0，以分為單位依題意，X～U(0,30)

從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30等時刻有車到達車站為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.第二十一頁，共31頁。所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.第二十二頁，共31頁。若隨機變量X的概率密度為常數且大于零,則稱X服從參數為的指數分布.X的分布函數為：2.指數分布顯然，f(x)≥0，且第二十三頁，共31頁。

f(x)及F(x)的圖形:10xF(x)f(x)0x第二十四頁，共31頁。【注】1.若隨機變量X對任意的s>0,t>0有則稱X的分布具有無記憶性.指數分布具有無記憶性2.指數分布有著重要應用.如動植物的壽命、無線電元件的壽命，以及隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等都可用指數分布來描述.第二十五頁，共31頁。例4

設某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為

求(1)此種燈泡使用壽命超過100小時的概率.(2)任取5只產品,求有2只壽命大于100小時的概率.解:(1)第二十六頁，共31頁。或(2)設Y表示5只產品中壽命大于100小時的只數,則故第二十七頁，共31頁。解：分析：關鍵：t>0時,{T>t}={N(t)=0}.時間間隔大于t，在[0，t]時間內未發(fā)生故障。因為{T>t}={N(t)=0},服從參數為λ的指數分布。例4設設備在任何長為t時間內發(fā)生故障的次數N(t)π(λt)的possion分布,求相繼兩次故障間的時間間隔T的分布函數。~.第二十八頁，共31頁。其中,(>0)為常數,則稱X服從參數為,的正態(tài)分布，記為.顯然，f(x)≥0，且可以證明參數的意義將在后面的章節(jié)中給出(三)正態(tài)分布若隨機變量X的概率密度為第二十九頁，共31頁。正態(tài)分布的概率密度函數f(x)的性質(1)曲線關于直線x