虛位移原理講解

第十五章

虛位移原理虛位移的英文名詞是virtualdisplacement.意思是‘可能的位移’.不管是‘虛’也好,還是‘可能’也好,它的力學(xué)含義是:僅為約束條件所允許的位移.引言質(zhì)點(diǎn)被約束在某一平面上,其上有力的作用.顯然,在此平面上有無限多為約束所允許的位移.怎樣判斷質(zhì)點(diǎn)是平衡的?如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不為零,則質(zhì)點(diǎn)必有動(dòng)能的增加,因而不是平衡的.如果沿任何為約束所允許的可能的位移作功之和為零,則我們說質(zhì)點(diǎn)是平衡的－這正是我們判別平衡的另一個(gè)準(zhǔn)則－虛位移原理.§15–1約束.虛位移.虛功約束及分類約束:限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)位置和運(yùn)動(dòng)的條件。約束的分類:(1)幾何約束–約束方程表示為空間坐標(biāo)的函數(shù).運(yùn)動(dòng)約束–約束方程中含有空間坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)xyABCLrB、C點(diǎn)的約束方程:A點(diǎn)的約束方程:xyoAr(2)定常約束–約束方程不顯含時(shí)間t.

非定常約束–約束方程顯含時(shí)間t.A點(diǎn)的約束方程:xy0LAko'b(3)雙面（雙側(cè)）約束–約束條件用方程給出.單面（單側(cè)）約束–約束條件用不等式給出.0yxA

mgLA點(diǎn)的約束方程:xyoAr(4)完整約束–幾何約束和可積分的運(yùn)動(dòng)約束.

非完整約束–不可積分的運(yùn)動(dòng)約束.冰刀在冰面上的運(yùn)動(dòng).圓輪的直線純滾動(dòng).φ可積分的運(yùn)動(dòng)約束（雙面、運(yùn)動(dòng)、非定常）約束方程的一般形式：上式可簡(jiǎn)化為：上式中若將等號(hào)改為不等號(hào)，則成為單面約束；若去掉時(shí)間t，則成為定常約束；若去掉坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則成為幾何約束。故雙面定常幾何約束方程的一般形式可表為：

或或2.虛位移定義:在給定瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束條件允許下所能實(shí)現(xiàn)的任意假想的無限小的位移.▲:(1)虛位移是‘等時(shí)變分’的概念.不論約束是否定常,必須把時(shí) 間‘凍結(jié)’,在此前提下才有虛位移的概念.(2)虛位移僅為約束條件所允許即可,而實(shí)位移除此之外還須由 動(dòng)力學(xué)方程和初始條件等而定.同一點(diǎn)的實(shí)位移只能有一個(gè),而虛位移可以有無窮多.(3)穩(wěn)定約束(定常約束)下,實(shí)位移是眾多虛位移中的一個(gè).而在 非定常約束下則不然.t+dt實(shí)位移虛位移mm虛位移t虛位移（可能位移）與實(shí)位移是不同的兩個(gè)概念，二者的區(qū)別在于：1）虛位移只能是無限小的，而實(shí)位移既可以是無限小的，也可以是有限量；2）虛位移包括約束所能容許的一切可能有的位移，同一質(zhì)點(diǎn)的虛位移一般不止一個(gè)，而實(shí)位移一般只能有一個(gè)，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y,z)通常都是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)；3）虛位移是假想的，只與約束情況有關(guān)，而與作用力及時(shí)間無關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況也無關(guān)，即使質(zhì)點(diǎn)系在已知力系作用下處于靜止，仍然可以給予各個(gè)質(zhì)點(diǎn)以約束所容許的虛位移。在定常（穩(wěn)定）約束下，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)，或者說中包含了。在非定常（非穩(wěn)定）約束情況下，實(shí)位移與虛位移并不一致。例如若設(shè)質(zhì)點(diǎn)m被約束在運(yùn)動(dòng)著的曲面上，則在某時(shí)刻t，與分別如下圖所示。實(shí)位移tt’虛位移虛位移mf(x,y,z,t)=0f(x’,y’,z’,t’)=0

由于虛位移與時(shí)間的變化無關(guān)（某時(shí)刻的虛位移并不需要經(jīng)歷時(shí)間歷程），或者說時(shí)間沒有改變，所以時(shí)間t的變分（即時(shí)間t的增量）。因此稱為等時(shí)變分。對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移可表為：其中、、表示虛位移在直角坐標(biāo)軸上的投影。60o3.虛功.實(shí)功.△:理想約束:定義:若約束反力的功或約束反力的虛功之和為零,這種約 束稱為理想約束.（）△△:虛位移的求法:1.幾何法-用幾何學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)的條件直接求得.例一.試用OA桿的轉(zhuǎn)角的變分δφ表示A、B、C、D各點(diǎn)的虛位移,已知OA=r.OADO1Cr30°B30o解:由瞬時(shí)平動(dòng)的概念:對(duì)CD桿由速度投影定理:建立坐標(biāo)系如圖:yx2.解析法:借助于坐標(biāo)系來表示虛位移.

例二.圖示雙擺桿,試用變量α、β的變分表示A、B兩點(diǎn)的虛位移.BAOPβαll3.混合法:lrφABCx例三.曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖.試用φ角的變分表示B、C點(diǎn)的虛位移.C點(diǎn):B點(diǎn):§15–2虛位移原理虛位移原理:具有（完整,定常,）理想約束的質(zhì)點(diǎn)系繼續(xù)保持其原有靜止平衡狀態(tài)的充分必要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在任何虛位移中的元功之和為零.即:質(zhì)點(diǎn)系的靜止平衡同乘有:整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系便有:對(duì)于理想約束:證明:(必要性)∵質(zhì)點(diǎn)系整體平衡,∴對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)mi,主動(dòng) 力和約束反力的和為零.即:(充分性從略)2lFNF'Fδφδs例一.圖示螺旋壓榨機(jī).其手柄上作用一水平面內(nèi)的力偶,其矩為2Fl.設(shè)螺桿的螺距為h,求平衡時(shí)作用于被壓榨物體上的力.

解:取系統(tǒng)分析,設(shè)手柄順力偶的方向轉(zhuǎn)了δφ角(力學(xué)語言稱:給螺桿以虛位移δφ),則壓板的虛位移為δs.由虛位移原理:◆:兩種常用的形式:(2)直角坐標(biāo)式(解析法用)(1)矢量式(幾何法用)例二.(參見書上例17–4)圖示結(jié)構(gòu),已知力P作用于G點(diǎn).各桿都以光滑鉸鏈連接.AC=CE=BC= CD=DG=GE=l.在G、C間有一剛度為k的彈簧,在圖示夾角為θ時(shí) 彈簧的伸長(zhǎng)量為δ0.求支座B處的水平約束反力.·xFGyEDACBθθkFBF1F1'解:解除B處相應(yīng)的約束,代之以相應(yīng)的水平力和活動(dòng)鉸 支座,去掉彈簧,代之以相應(yīng)的彈簧力.在圖示坐標(biāo)下式中F1=F1'=kδ0例三.求圖示組合梁的支座B處的約束反力.ABCDEPMq已知:q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mABCDEPMQQ

解:為便于計(jì)算,將均布載荷等效簡(jiǎn)化成集中力.q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mABCDEPMQQ去掉B支座代之以FB,原結(jié)構(gòu)變成一個(gè)自由度的系統(tǒng).設(shè)CE桿繞E點(diǎn)有一個(gè)虛角位移,則各處有關(guān)的虛位移如圖.由ABCDPMQQEFBABCDEPMQQ若求A處支座反力則系統(tǒng)的虛位移分析如圖示:(注意:整體分析可知A處的水平力為零.故A處只有豎直反力)q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8m設(shè)A處給一向上的虛位移rA.,顯然有:若求E處支座反力,則系統(tǒng)的虛位移分析如圖示.q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8m設(shè)E處有一向上的虛位移rE,

ABCDEPMQQ例四.試用虛位移原理求圖示結(jié)構(gòu)中1號(hào)桿的內(nèi)力.已知力P及α=30°.PPAKBEDααααC1解:取出1號(hào)桿,D、E鉸處受的力為對(duì)其的反作用力.給D點(diǎn)以一虛位移δrD.則相關(guān)的虛位移如圖示,特別是B、C點(diǎn)的虛位移為零.對(duì)DK、EK桿分別用速度投影定理:由虛位移原理:AKBEααPPDCααF1

F1'

第三章分析力學(xué)基礎(chǔ)

（下冊(cè)）§3–1自由度、廣義坐標(biāo)、廣義力自由度:確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量的個(gè)數(shù).廣義坐標(biāo):確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量.★:在完整約束下,自由度的個(gè)數(shù)與廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)相等.完整約束下,若系統(tǒng)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),s個(gè)約束方程, 則自由度N=3n–s用直角坐標(biāo)系下的投影表達(dá)為:3.廣義力.廣義力的定義須用數(shù)學(xué)式表達(dá).這里要說的是:廣義力是質(zhì)點(diǎn)系中一群力和力偶的組合.它是分析力學(xué)中的一個(gè)基本概念.它與廣義坐標(biāo)直接相關(guān),不同的的廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著不同的廣義力.稱Qk為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力.(k=1、2、3……N)對(duì)于完整的理想約束下的力學(xué)系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)系的虛功表達(dá)可作如下的演變:上式中令廣義力的求法:(1)在直角坐標(biāo)系下(2)虛功法:(k=1、2、3……N)xyabAOB例一(參見P32

例3–1)

雙擺桿系統(tǒng)如圖示.OA=a,AB=b,受已知力如圖示.選廣義坐標(biāo)φ1和φ2,

試求廣義力.

解:xyabAOBxyabAOB例二.平行四桿機(jī)構(gòu),尺寸a、b、l及力P、F均為已知.求:平衡時(shí)α=?

β=?lPablFαββααxyACDB解:這是一個(gè)雙自由度的力學(xué)系統(tǒng).選廣義坐標(biāo)α、β.(α、β分別為與水平線的夾角).由本題的特點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,求出有關(guān)的虛位移.(無功的虛位移不必求出).

由α、β的獨(dú)立性（當(dāng)δα≠0、δβ≠0）

必有:由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，廣義虛位移可以任意取值，欲使上式在任意一組廣義虛位移下均能成立，必須由虛位移原理，質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為：，而故，質(zhì)點(diǎn)系平衡條件可表為：此即廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件?！?–2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件lPablFαββααxyACDB再來看看前述例二虛功方程的展開式:廣義力Qα廣義力Qβ即:上式是兩個(gè)自由度力學(xué)系統(tǒng)的虛位移原理用廣義坐標(biāo)的表達(dá)式.如果一個(gè)有N個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),則虛位移原理的廣義坐標(biāo)的表達(dá)式為:對(duì)比該例結(jié)果,可進(jìn)一步理解上述結(jié)論:對(duì)于完整理想約束的力學(xué)系統(tǒng),其靜止平衡的充要條件是:對(duì)應(yīng)于每一個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力分別為零.如果廣義力不為零,質(zhì)點(diǎn)系必然運(yùn)動(dòng).描述其運(yùn)動(dòng),可用后面將討論的拉格朗日方程.解:系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,選廣義坐標(biāo)x1和x2.習(xí)題選解:（第五版）習(xí)17–15(P275)圖示系統(tǒng)中,重物P3,傾角,皆為已知.不計(jì)摩擦,忽略滑輪和繩子的質(zhì)量.求平衡時(shí),重物P1和P2的大小.x1x2x3P1P3P2

θβ習(xí)15–14(P355)桿系在鉛垂面內(nèi)平衡,AB=BC=l,CD=DE,且AB,CE為水 平,CB為鉛垂.均質(zhì)桿CE與剛度為k1的彈簧相連,重為P的均質(zhì)桿AB 的左端A處裝有一剛度為k2的螺旋彈簧.BC桿上作用有線性分布載荷, 其最大的集度為q.BC桿的重量不計(jì).求此時(shí)水平彈簧的變形量和 螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)角.解:兩個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)φ(螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)角)和Δ(線彈簧的伸長(zhǎng)量)ABCEDk1k2qP由廣義坐標(biāo)的虛位移原理:對(duì)本題有:ADEBCF12M習(xí)15–3挖土機(jī)的挖掘部分如圖示.支臂DEF為固定,A,B,D,E,F處為光滑鉸鏈,液壓缸AD伸縮時(shí)可通過連桿AB使挖斗BFC繞F轉(zhuǎn)動(dòng),EA=FB=r.當(dāng)1=2=