解析幾何全冊課件

解析幾何全冊課件第一頁，共232頁。解析幾何課件(第四版)第四章柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第五章二次曲線的一般理論第一章向量與坐標(biāo)第三章平面與空間直線第二章軌跡與方程第二頁，共232頁。第一章向量與坐標(biāo)§1.1

向量的概念§1.3數(shù)量乘向量§1.2向量的加法§1.4

向量的線性關(guān)系與向量的分解§1.6向量在軸上的射影§1.5

標(biāo)架與坐標(biāo)§1.7

兩向量的數(shù)量積§1.9

三向量的混合積§1.8兩向量的向量積第三頁，共232頁。第二章軌跡與方程§2.1

平面曲線的方程§2.2

曲面的方程§2.3

空間曲線的方程第四頁，共232頁。第三章平面與空間直線§3.1

平面的方程§3.3兩平面的相關(guān)位置§3.2平面與點的相關(guān)位置§3.4

空間直線的方程§3.7

空間兩直線的相關(guān)位置§3.5

直線與平面的相關(guān)位置§3.6

空間直線與點的相關(guān)位置第五頁，共232頁。第四章柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面§4.1

柱面§4.3

旋轉(zhuǎn)曲面§4.2錐面§4.4

橢球面§4.5

雙曲面§4.6拋物面第六頁，共232頁。第五章二次曲線的一般理論§5.1

二次曲線與直線的相關(guān)位置§5.3

二次曲線的切線§5.2

二次曲線的漸近方向、中心、漸近線§5.4

二次曲線的直徑§5.6二次曲線方程的化簡與分類§5.5

二次曲線的主直徑和主方向第七頁，共232頁。

定義1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量.向量既有大小又有方向的量.向量的幾何表示：||向量的模：向量的大小.或或兩類量:數(shù)量(標(biāo)量):可用一個數(shù)值來描述的量;有向線段有向線段的方向表示向量的方向.有向線段的長度表示向量的大小,§1.1向量的概念返回下一頁第八頁，共232頁。所有的零向量都相等.模為1的向量.零向量：模為0的向量.單位向量：

定義1.1.2

如果兩個向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.記為＝

定義

兩個模相等，方向相反的向量叫做互為反向量.上一頁下一頁返回第九頁，共232頁。零向量與任何共線的向量組共線.

定義

平行于同一直線的一組向量叫做共線向量.

定義1.1.5平行于同一平面的一組向量叫做共面向量.零向量與任何共面的向量組共面.上一頁返回第十頁，共232頁。OAB這種求兩個向量和的方法叫三角形法則.

定理1.2.1

如果把兩個向量為鄰邊組成一個平行四邊形OACB，那么對角線向量§1.2向量的加法下一頁返回第十一頁，共232頁。OABC這種求兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則定理

向量的加法滿足下面的運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）上一頁下一頁返回第十二頁，共232頁。OA1A2A3A4An-1An

這種求和的方法叫做多邊形法則上一頁下一頁返回第十三頁，共232頁。第十四頁，共232頁。向量減法上一頁下一頁返回第十五頁，共232頁。ABC上一頁返回第十六頁，共232頁。例2

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.第十七頁，共232頁?！?.3數(shù)乘向量下一頁返回第十八頁，共232頁。對于非零向量總可以作出一個和它同方向的單位向量第十九頁，共232頁。定理1.3.1數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：上一頁下一頁返回第二十頁，共232頁。兩個向量的平行關(guān)系第二十一頁，共232頁。證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得上一頁下一頁返回第二十二頁，共232頁。當(dāng)或除這些情況外，現(xiàn)分別按下面兩種情況證明．中有一個為零向量時，顯然成立，1)2)和平行．可以找到數(shù)使得這只需按與同向或相反，取或第二十三頁，共232頁。和不平行．如圖，是以向量為邊的三角形，按相似比為可得出相似且3)由相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系，可以得出而故第二十四頁，共232頁。例1設(shè)AM是三角形ABC的中線，求證:證

如圖

因為

所以

但

因而

即ABCM(圖1.11)上一頁下一頁返回第二十五頁，共232頁。例2

用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證設(shè)ΔABC兩邊AB，AC之中點分別為M，N，那么所以且上一頁返回第二十六頁，共232頁。例3

化簡解第二十七頁，共232頁。例4

試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形.證:只要證結(jié)論得證.EFGH第二十八頁，共232頁?！?.4向量的線性關(guān)系與向量的分解下一頁返回第二十九頁，共232頁。.,,,24.1,,,,2.4.1212121212121唯一確定被并且系數(shù)）－（的線性組合，即可以分解成或者說向量線性表示，可以用向量共面的充要條件是與不共線，那么向量如果向量定理reeyxeyexreereereeree+=.,,,,,)34.1(,,,,,,,3.4.1321321321321321唯一確定被并且其中系數(shù)的線性組合，即可以分解成向量任意向量線性表示，或說空間可以由向量任意向量不共面，那么空間如果向量定理reeezyxezeyexreeereeereee-++=.,21叫做平面上向量的基底這時ee上一頁下一頁返回第三十頁，共232頁。

例5證明四面體對邊中點的連線交于一點，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,321叫做空間向量的基底這時eee.,,,.,,,,,,,,3211321321321關(guān)系式線性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三點重合下只需證兩組對邊中點分別為其余它的中點為線為的連的中點對邊一組設(shè)四面體證eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD===上一頁下一頁返回第三十一頁，共232頁。

連接AF，因為AP1是△AEF的中線，所以有

又因為AF1是△ACD的中線，所以又有上一頁下一頁返回第三十二頁，共232頁。.,,,)44.1,0,,,,,,)1(2.4.12122112121關(guān)的向量叫做線性無關(guān)性相叫做線性相關(guān)，不是線個向量那么（＝使得個數(shù)在不全為零的，如果存?zhèn)€向量對于定義nnnnnaaanaaanaaannLLLL-+++3llllll.0=aa線性相關(guān)的充要條件為一個向量推論.線性相關(guān)量，那么這組向量必一組向量如果含有零向推論.5.4.1相關(guān)那么這一組向量就線性分向量線性相關(guān)如果一組向量中的一部定理.,,,24.4.121組合向量是其余向量的線性充要條件是其中有一個線性相關(guān)的時，向量在定理naaanL3上一頁下一頁返回第三十三頁，共232頁。.6.4.1是它們線性相關(guān)兩向量共線的充要條件定理上一頁下一頁返回第三十四頁，共232頁。.7.4.1件是它們線性相關(guān)三個向量共面的充要條定理.8.4.1線性相關(guān)空間任何四個向量總是定理例6設(shè)為兩不共線向量，證明共線的充要條件是

按照這個定理，要判別三向量只要判別是否存在不全為零的三個數(shù)使得是否共面，第三十五頁，共232頁。證

共線

線性相關(guān)，即存在不全為0的實數(shù)使即又因為不共線線性無關(guān)有唯一零解上一頁返回第三十六頁，共232頁。

§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)第三十七頁，共232頁。

§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)第三十八頁，共232頁。

§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)第三十九頁，共232頁。橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系1、三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)下一頁返回第四十頁，共232頁。Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2、坐標(biāo)面與卦限

上一頁下一頁返回第四十一頁，共232頁。向徑3、在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標(biāo))原點O(0,0,0);第四十二頁，共232頁。坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:第四十三頁，共232頁。稱為向量的坐標(biāo)分解式.4、空間向量的坐標(biāo)

上一頁下一頁返回第四十四頁，共232頁。顯然，向量的坐標(biāo)：向徑：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：(點M關(guān)于原點O)上一頁下一頁返回第四十五頁，共232頁。5、利用坐標(biāo)作向量的線性運算向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標(biāo)表達式上一頁下一頁返回第四十六頁，共232頁。解設(shè)為直線上的點，6、線段的定比分點坐標(biāo)上一頁下一頁返回第四十七頁，共232頁。由題意知：上一頁下一頁返回第四十八頁，共232頁。定理

已知兩個非零向量7、其它相關(guān)定理則共線的充要條件是

定理

已知三個非零向量，則共面的充要條件是

上一頁返回第四十九頁，共232頁?？臻g一點在軸上的投影(Projection)§1.6向量在軸上的射影下一頁返回第五十頁，共232頁?？臻g一向量在軸上的投影上一頁下一頁返回為單位向量第五十一頁，共232頁。關(guān)于向量的投影定理（1）證由此定義，上一頁下一頁返回第五十二頁，共232頁。定理1的說明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；上一頁下一頁返回第五十三頁，共232頁。關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）上一頁下一頁返回第五十四頁，共232頁。關(guān)于向量的投影定理（3）上一頁下一頁返回第五十五頁，共232頁。

§1.6向量在軸上的射影第五十六頁，共232頁。解上一頁返回第五十七頁，共232頁。啟示實例兩向量作這樣的運算,結(jié)果是一個數(shù)量.M1M2§1.7兩向量的數(shù)性積下一頁返回第五十八頁，共232頁。數(shù)量積也稱為“點積”、“內(nèi)積”.結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義上一頁下一頁返回第五十九頁，共232頁。關(guān)于數(shù)量積的說明：證證上一頁下一頁返回第六十頁，共232頁。數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：若、為數(shù)：（3）若為數(shù)：上一頁下一頁返回第六十一頁，共232頁。

§1.7兩向量的數(shù)性積第六十二頁，共232頁。第六十三頁，共232頁。第六十四頁，共232頁。設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達式上一頁下一頁返回第六十五頁，共232頁。由勾股定理向量模的坐標(biāo)表示式向量的模與空間兩點間距離公式上一頁下一頁返回第六十六頁，共232頁。為空間兩點.

空間兩點間距離公式上一頁下一頁返回第六十七頁，共232頁。解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為第六十八頁，共232頁。兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為：上一頁下一頁返回第六十九頁，共232頁。解上一頁下一頁返回第七十頁，共232頁。證上一頁下一頁返回第七十一頁，共232頁?？臻g兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.

特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.方向角與方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁返回第七十二頁，共232頁。非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.上一頁下一頁返回第七十三頁，共232頁。由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.上一頁下一頁返回第七十四頁，共232頁。當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁返回第七十五頁，共232頁。方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與同方向的單位向量上一頁返回第七十六頁，共232頁。第七十七頁，共232頁?！?.8兩向量的矢性積下一頁返回第七十八頁，共232頁。上一頁下一頁返回第七十九頁，共232頁。上一頁下一頁返回第八十頁，共232頁。第八十一頁，共232頁。第八十二頁，共232頁。第八十三頁，共232頁。第八十四頁，共232頁。第八十五頁，共232頁。第八十六頁，共232頁。上一頁返回第八十七頁，共232頁。上一頁下一頁返回第八十八頁，共232頁。第八十九頁，共232頁。第九十頁，共232頁。定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達式§1.9三向量的混合積下一頁返回第九十一頁，共232頁。（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：上一頁下一頁返回第九十二頁，共232頁。解上一頁下一頁返回第九十三頁，共232頁。式中正負(fù)號的選擇保證結(jié)果為正.上一頁返回第九十四頁，共232頁。解例1上一頁下一頁返回第九十五頁，共232頁。水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實例：§2.2曲面的方程下一頁返回第九十六頁，共232頁。以下給出幾例常見的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點時方程為上一頁下一頁返回第九十七頁，共232頁。得上、下半球面的方程分別是：由由上述方程可得球面的一般式方程為：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0

（*）上一頁下一頁返回第九十八頁，共232頁。反過來，對于三元二次方程如果則可化為配方得

則當(dāng)時，(3)式表示一個實球面；當(dāng)時，(3)式表示一個點當(dāng)時，(3)式無圖形．(3)第九十九頁，共232頁。習(xí)慣上，把上面的點稱為點球，把無圖形時稱為虛球面，三種情形統(tǒng)稱為球面．因此有：球面的方程是一個三元二次方程，它的平方項系數(shù)相等，沒有交叉項；反之，一個三元二次方程，如果它的平方項系數(shù)相等，沒有交叉項，那么它表示一個球面，第一百頁，共232頁。解根據(jù)題意有所求方程為上一頁下一頁返回第一百零一頁，共232頁。根據(jù)題意有化簡得所求方程解上一頁下一頁返回第一百零二頁，共232頁。例4

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上方法稱為截痕法.上一頁下一頁返回第一百零三頁，共232頁。以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程．上一頁返回第一百零四頁，共232頁?？臻g曲線的參數(shù)方程一、空間曲線的參數(shù)方程§2.3空間曲線的方程下一頁返回第一百零五頁，共232頁。空間曲線的一般方程

曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.二、空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點：§2.3空間曲線的方程下一頁返回第一百零六頁，共232頁。例1

方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.上一頁下一頁返回第一百零七頁，共232頁。例2

方程組解上半球面,圓柱面,交線如圖.表示怎樣的曲線？上一頁返回第一百零八頁，共232頁。

動點從A點出發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到M點螺旋線的參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，解上一頁下一頁返回第一百零九頁，共232頁。螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距上一頁返回幾何上就是在一張長方形的紙上畫一條斜線，然后把紙卷成圓柱面，該直線可形成圓柱螺旋線．

第一百一十頁，共232頁。第一百一十一頁，共232頁。第一百一十二頁，共232頁。解第一百一十三頁，共232頁。解第一百一十四頁，共232頁。第一百一十五頁，共232頁。第一百一十六頁，共232頁。第一百一十七頁，共232頁。拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：§2.3母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程下一頁返回第一百一十八頁，共232頁。從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，母線//軸母線//軸母線//軸上一頁下一頁返回第一百一十九頁，共232頁。abzxyo橢圓柱面上一頁下一頁返回第一百二十頁，共232頁。zxy=0yo

雙曲柱面上一頁下一頁返回第一百二十一頁，共232頁。zxyo拋物柱面上一頁返回第一百二十二頁，共232頁。

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知設(shè)平面上的任一點為必有

一、平面的點法式方程§3.1平面的方程下一頁返回第一百二十三頁，共232頁。平面的點法式方程

平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．其中法向量已知點上一頁下一頁返回第一百二十四頁，共232頁。解取所求平面方程為化簡得上一頁下一頁返回第一百二十五頁，共232頁。取法向量化簡得所求平面方程為解上一頁下一頁返回第一百二十六頁，共232頁。由平面的點法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程？即任一平面表示（A,B,C不同時為零）不妨設(shè)，則，為一平面.上一頁下一頁返回第一百二十七頁，共232頁。平面一般式方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.平面的一般方程上一頁下一頁返回第一百二十八頁，共232頁。設(shè)平面為由平面過原點知所求平面方程為解上一頁下一頁返回第一百二十九頁，共232頁。設(shè)平面為將三點坐標(biāo)代入得解上一頁下一頁返回第一百三十頁，共232頁。將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程上一頁下一頁返回第一百三十一頁，共232頁。設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解上一頁下一頁返回第一百三十二頁，共232頁?；喌昧畲塍w積式所求平面方程為或上一頁返回第一百三十三頁，共232頁。解§3.2平面與點的相關(guān)位置下一頁返回第一百三十四頁，共232頁。上一頁下一頁返回第一百三十五頁，共232頁。點到平面距離公式上一頁下一頁返回第一百三十六頁，共232頁。在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（0，0，1），上一頁返回第一百三十七頁，共232頁。定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.§3.3兩平面的相關(guān)位置下一頁返回第一百三十八頁，共232頁。按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//上一頁下一頁返回第一百三十九頁，共232頁。例1

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解兩平面相交，夾角上一頁下一頁返回第一百四十頁，共232頁。兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.上一頁返回第一百四十一頁，共232頁。定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程（注：兩平面不平行）一、空間直線的一般方程§3.4空間直線的方程下一頁返回第一百四十二頁，共232頁。方向向量的定義：

如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對稱式方程直線的對稱式方程（點向式方程）上一頁下一頁返回第一百四十三頁，共232頁。上一頁下一頁返回第一百四十四頁，共232頁。因此,所求直線方程為例1

求過點(1,0,-2)且與平面3x+4y-z+6=0平行,又與直線垂直的直線方程.解:設(shè)所求線的方向向量為已知平面的法向量已知直線的方向向量取上一頁下一頁返回第一百四十五頁，共232頁。三、空間直線的參數(shù)式方程直線的一組方向數(shù)令方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程由直線的對稱式方程上一頁下一頁返回第一百四十六頁，共232頁。例2

用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解在直線上任取一點取解得點坐標(biāo)上一頁下一頁返回第一百四十七頁，共232頁。因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對稱式方程得參數(shù)方程令上一頁下一頁返回第一百四十八頁，共232頁。解所以交點為取所求直線方程上一頁返回第一百四十九頁，共232頁。定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．§3.5直線與平面的相關(guān)位置下一頁返回第一百五十頁，共232頁。直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：//上一頁下一頁返回第一百五十一頁，共232頁。解為所求夾角．上一頁下一頁返回第一百五十二頁，共232頁。直線與平面的交點上一頁下一頁返回第一百五十三頁，共232頁。分析:關(guān)鍵是求得直線上另外一個點M1.M1在過M且平行于平面P的一個平面P1上,待求直線又與已知直線相交,交點既在P1上,又在L上,因此是L與P1的交點.

例2

求過點M(-1,2,-3),且平行于平面又與直線相交的直線方程.解

過M作平行于平面P的一個平P1

PMLP1M1上一頁下一頁返回第一百五十四頁，共232頁。求平面P1與已知直線L的交點P1:

即P1:上一頁返回第一百五十五頁，共232頁。定義直線直線兩直線的方向向量的夾角稱之為該兩直線的夾角.（銳角）兩直線的夾角公式§3.6空間兩直線的相關(guān)位置下一頁返回第一百五十六頁，共232頁。兩直線的位置關(guān)系：直線直線例如，上一頁下一頁返回第一百五十七頁，共232頁。解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程上一頁下一頁返回第一百五十八頁，共232頁。解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令MNL上一頁下一頁返回第一百五十九頁，共232頁。代入平面方程得,交點取所求直線的方向向量為所求直線方程為上一頁返回第一百六十頁，共232頁。LdP1是L外一點,設(shè)直線L,求P0到L的距離d.

設(shè)為L上任一點，如圖SS又于是點到直線的距離公式§3.7空間直線與點的相關(guān)位置下一頁返回第一百六十一頁，共232頁。例10

求點(5,4,2)到直線的距離d.解上一頁返回第一百六十二頁，共232頁。水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實例：§4.1柱面下一頁返回第一百六十三頁，共232頁。觀察柱面的形成過程:

定義

平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.母線準(zhǔn)線上一頁下一頁返回第一百六十四頁，共232頁。柱面舉例：拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：上一頁下一頁返回第一百六十五頁，共232頁。從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，母線//軸母線//軸母線//軸上一頁下一頁返回第一百六十六頁，共232頁。1.橢圓柱面xyzO2.雙曲柱面上一頁返回第一百六十七頁，共232頁。

定義

通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這些直線都叫做錐面的母線.那個定點叫做錐面的頂點.錐面的方程是一個三元方程.特別當(dāng)頂點在坐標(biāo)原點時：§4.2錐面下一頁返回第一百六十八頁，共232頁。

n次齊次方程F(x,y,z)=0的圖形是以原點為頂點的錐面；方程

F(x,y,z)=0是

n次齊次方程：準(zhǔn)線頂點F(x,y,z)=0.

反之，以原點為頂點的錐面的方程是n次齊次方程

錐面是直紋面x0z

y

錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線.上一頁下一頁返回第一百六十九頁，共232頁。請同學(xué)們自己用截痕法研究其形狀.橢圓錐面上一頁下一頁返回第一百七十頁，共232頁。解

圓錐面方程或上一頁返回第一百七十一頁，共232頁。

定義

以一條曲線繞其一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面或稱回旋曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸．這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線．§4.3旋轉(zhuǎn)曲面下一頁返回第一百七十二頁，共232頁。曲線CCy

zo繞

z軸上一頁下一頁返回第一百七十三頁，共232頁。曲線

CxCy

zo繞z軸.上一頁下一頁返回第一百七十四頁，共232頁。曲線

C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SCSMNzPy

zo繞

z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS上一頁下一頁返回第一百七十五頁，共232頁。曲線C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SxCSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS上一頁下一頁返回第一百七十六頁，共232頁。建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：如圖將代入得方程上一頁下一頁返回第一百七十七頁，共232頁。方程上一頁下一頁返回第一百七十八頁，共232頁。例1

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox上一頁下一頁返回第一百七十九頁，共232頁。

xyozxyoz旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面上一頁下一頁返回第一百八十頁，共232頁。旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyz上一頁下一頁返回第一百八十一頁，共232頁。旋轉(zhuǎn)拋物面xyzoxyzo上一頁下一頁返回第一百八十二頁，共232頁。幾種特殊旋轉(zhuǎn)曲面1雙葉旋轉(zhuǎn)曲面2單葉旋轉(zhuǎn)曲面3旋轉(zhuǎn)錐面4旋轉(zhuǎn)拋物面5環(huán)面上一頁下一頁返回第一百八十三頁，共232頁。x0y1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面繞x

軸一周上一頁下一頁返回第一百八十四頁，共232頁。x0zy.繞x

軸一周1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上一頁下一頁返回第一百八十五頁，共232頁。x0zy.1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.繞x

軸一周上一頁下一頁返回第一百八十六頁，共232頁。axyo2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周上一頁下一頁返回第一百八十七頁，共232頁。axyoz.上題雙曲線繞y

軸一周2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上一頁下一頁返回第一百八十八頁，共232頁。a.xyoz..2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周上一頁下一頁返回第一百八十九頁，共232頁。3

旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線繞x

軸一周x

yo上一頁下一頁返回第一百九十頁，共232頁。.兩條相交直線繞x

軸一周x

yoz3

旋轉(zhuǎn)錐面上一頁下一頁返回第一百九十一頁，共232頁。x

yoz.兩條相交直線繞x

軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面.3

旋轉(zhuǎn)錐面上一頁下一頁返回第一百九十二頁，共232頁。yoz4

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周上一頁下一頁返回第一百九十三頁，共232頁。yoxz.拋物線繞z

軸一周4

旋轉(zhuǎn)拋物面上一頁下一頁返回第一百九十四頁，共232頁。y.oxz生活中見過這個曲面嗎？.4

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面上一頁下一頁返回第一百九十五頁，共232頁。衛(wèi)星接收裝置例.上一頁下一頁返回第一百九十六頁，共232頁。5環(huán)面yxorR繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面上一頁下一頁返回第一百九十七頁，共232頁。5環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.上一頁下一頁返回第一百九十八頁，共232頁。5環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？yxo..上一頁下一頁返回第一百九十九頁，共232頁。救生圈.5環(huán)面上一頁返回第二百頁，共232頁。二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面形狀的截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．二次曲面§4.4橢球面下一頁返回第二百零一頁，共232頁。截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面上一頁下一頁返回第二百零二頁，共232頁。橢球面的方程

橢球面與三個坐標(biāo)面的交線：橢球面上一頁下一頁返回第二百零三頁，共232頁。橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.上一頁下一頁返回第二百零四頁，共232頁。橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.上一頁下一頁返回第二百零五頁，共232頁。球面截面上圓的方程方程可寫為上一頁返回第二百零六頁，共232頁。單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的橢圓一、單葉雙曲面§4.5雙曲面下一頁返回第二百零七頁，共232頁。與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.上一頁下一頁返回第二百零八頁，共232頁。單葉雙曲面圖形xyoz（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.上一頁下一頁返回第二百零九頁，共232頁。二、雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz上一頁下一頁返回第二百一十頁，共232頁。

單葉：雙葉：...yx

zo

在平面上，雙曲線有漸進線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有漸進錐面。

用z=h去截它們，當(dāng)|h|無限增大時，雙曲面的截口橢圓與它的漸進錐面的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。漸進錐面：雙曲面及其漸進錐面上一頁返回第二百一十一頁，共232頁。第五章二次曲線的一般理論

在平面上，由二元二次方程

所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質(zhì)，以及二次曲線的化簡，最后對二次曲線進行分類。下一頁返回第二百一十二頁，共232頁。為了方便起見，特引進一些記號：上一頁下一頁返回第二百一十三頁，共232頁。上一頁返回第二百一十四頁，共232頁。討論二次曲線與直線的交點，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關(guān)于t的方程（1）（2）§5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置下一頁返回第二百一十五頁，共232頁。（3）（4）對（3）或（4）可分以下幾種情況來討論：上一頁下一頁返回第二百一十六頁，共232頁。上一頁下一頁返回第二百一十七頁，共232頁。上一頁返回第二百一十八頁，共232頁。1.二次曲線的漸近方向

定義滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.

定義沒有實漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.即1)橢圓型：I2>02)拋物型：I2＝03)雙曲型：I2<0§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線下一頁返回第二百一十九頁，共232頁。2.二次曲線的中心與漸近線

定義5.2.3如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(C是二次曲線的對稱中心)，那么點C叫做二次曲線的中心.

定理

點C(x0,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：

推論坐標(biāo)原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項.上一頁下一頁返回第二百二十頁，共232頁。二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：

如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)如果I2＝0，分兩種情況：上一頁下一頁返回第二百二十一頁，共232頁。

定義5.2.4有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.

定義5.2.5通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的漸近線.

定理5.2.2二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分.上一頁返回第二百二十二頁，共232頁。

定義

如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個點，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個重合的交點叫做切點，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每個點都可以看作切點.

定義

二次曲線(1)上滿足條件F1(x0,y0)=