2020秋高中數(shù)學人教版2-2學案：1.1.1變化率問題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學人教A版選修2-2學案：1.1.1變化率問題含解析第一章導數(shù)及其應用為了刻畫現(xiàn)實世界中運動變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)．隨著人們對函數(shù)研究的深入，人們在思考：已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，在任意時刻的速度與加速度是怎樣的一種關系?怎樣求任意曲線的切線和曲邊形的面積、幾何體的體積?怎樣研究復雜函數(shù)的變化規(guī)律？怎樣解決生活中的優(yōu)化問題？……于是，導數(shù)與積分應運誕生了，它是數(shù)學史上具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造,是數(shù)學史上的里程碑．當你看到“導數(shù)”“積分”這兩個名詞時,你可能會感到陌生，其實它不過是初中數(shù)學的延伸．本章我們將會系統(tǒng)的學習如何用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，解決生活中的優(yōu)化問題等一系列問題．學習本章，要深刻領會以直代曲,無限細分、積分的極限思想，體會用微觀駕馭宏觀的辯證思維方法，體會構造在研究數(shù)學中的作用．

1。1變化率與導數(shù)1。1.1變化率問題自主預習·探新知情景引入中國體壇名將劉翔在21歲時,以12.94秒的成績打破了12.95秒的奧運會紀錄,但經(jīng)過驗證他是以12。91秒平了世界紀錄，他的平均速度達到8。52米/秒．通過這個事例我們可以看出,世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺,有的變化比較明顯，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆和驚呼．這就是人們經(jīng)常關心的變化快慢—-變化率問題．新知導學1．在氣球膨脹過程中，當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的半徑從r(V1)增加到r(V2),氣球的平均膨脹率是__eq\f（rV2－rV1，V2－V1)__。隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變__小__.2．高臺跳水運動員當高度從h（t1)變化到h(t2)時，他的平均速度為__eq\f(ht2－h(huán)t1，t2－t1)__。3．函數(shù)平均變化率的定義已知函數(shù)y＝f(x)，當自變量x從x1變化到x2時，函數(shù)值從f（x1）變化到f（x2）,則當x1≠x2時，比值__eq\f（fx2－fx1，x2－x1)__為函數(shù)f（x)從x1到x2的平均變化率．習慣上用Δx表示x2－x1,用__x1＋Δx__代替x2；類似地，__Δy＝f(x2）－f(x1）__，于是平均變化率可以表示為eq\f（Δy，Δx)。預習自測1．（2020·涼州區(qū)校級期末)在平均變化率的定義中,自變量的增量Δx滿足(D）A．Δx＜0 B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0［解析]由導數(shù)的定義，可得自變量x的增量Δx可以是正數(shù)、負數(shù)，不可以是0。故選D．2．設函數(shù)y＝f(x)，當自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數(shù)值的改變量Δy＝（D)A．f(x0＋Δx) B．f（x0)＋ΔxC．f（x0)·Δx D．f（x0＋Δx）－f（x0)［解析]函數(shù)值的改變量Δy是表示函數(shù)y＝f（x)在x＝x0＋Δx的函數(shù)值與x＝x0的函數(shù)值之差，因此有Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）．3．已知函數(shù)f(x）＝2x2－4的圖象上兩點A，B，且xA＝1，xB＝1。1，則函數(shù)f(x）從A點到B點的平均變化率為（C)A．4 B．4xC．4.2 D．4.02［解析]eq\f(f1。1－f1，1。1－1)＝eq\f(2×1。12－4－2×12－4,0。1）＝eq\f(0.42,0。1）＝4.2，故選C．4．已知函數(shù)y＝eq\f(1,2）(x2＋1)，則函數(shù)從x0到x0＋Δx的平均變化率是__x0＋eq\f（1，2)Δx__.[解析]eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(\f（1,2)[x0＋Δx2＋1]－\f(1，2)x\o\al（2,0）＋1，Δx）＝x0＋eq\f（1,2)Δx。互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?求函數(shù)的平均變化率典例1求函數(shù)y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求當x0＝2，Δx＝－eq\f（1，2)時該函數(shù)的平均變化率．［思路分析］依據(jù)函數(shù)的平均變化率的定義，只要求出函數(shù)的平均變化率的表達式，代入相應的數(shù)值，即可求出相應的平均變化率．［解析]當自變量從x0變化到x0＋Δx時，函數(shù)的平均變化率為eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）＝eq\f([2x0＋Δx2＋3]－2x\o\al（2，0）＋3,Δx）＝eq\f(4x0Δx＋2Δx2，Δx)＝4x0＋2Δx。當x0＝2，Δx＝－eq\f（1,2)時，平均變化率的值為4×2＋2×(－eq\f（1,2)）＝7.『規(guī)律總結』1.求函數(shù)f(x)的平均變化率的一般步驟為：①求函數(shù)值的增量：Δy＝f（x0＋Δx）－f(x0）；②計算平均變化率：eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）。2．要注意Δx，Δy的值可正，可負，但Δx≠0，Δy可為零，若函數(shù)f（x)為常值函數(shù),則Δy＝0。┃┃跟蹤練習1__■求函數(shù)y＝x3從x0到x0＋Δx之間的平均變化率,并計算當x0＝1,Δx＝eq\f（1,2)時平均變化率的值．［解析］當自變量從x0變化到x0＋Δx時,函數(shù)的平均變化率為eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\f（x0＋Δx3－x\o\al（3，0),Δx）＝3xeq\o\al（2，0)＋3x0Δx＋(Δx)2當x0＝1,Δx＝eq\f(1，2）時平均變化率的值為3×12＋3×1×eq\f（1，2)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）2＝eq\f（19,4)。命題方向?平均變化率的應用典例2試比較正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0和x＝eq\f（π,2)附近的平均變化率哪一個大？[思路分析]求正弦函數(shù)的平均變化率可按三角函數(shù)知識變形，便于比較大小．在x＝0與x＝eq\f（π，2)附近，Δx很小，可正可負，故比較平均變化率的大小，應依據(jù)作差后的表達式考慮判斷方法,先求兩點的平均變化率k1、k2,再作差k1－k2變形,最后依據(jù)函數(shù)知識確定符號下結論．[解析］當自變量x從0變化到Δx時，函數(shù)的平均變化率為k1＝eq\f（sinΔx－sin0,Δx）＝eq\f（sinΔx，Δx）.當自變量x從eq\f（π,2)變化到eq\f（π,2）＋Δx時，函數(shù)的平均變化率為k2＝eq\f（sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx)）－sin\f（π,2)，Δx）＝eq\f(cosΔx－1,Δx)。由于是在x＝0和x＝eq\f(π,2)的附近的平均變化率，可知|Δx|較小，但Δx既可為正，又可為負．當Δx＞0時，k1＞0，k2＜0，此時有k1＞k2；當Δx＜0時，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx）－eq\f（cosΔx－1,Δx）＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1,Δx)＝eq\f(\r（2)sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π，4）））＋1,Δx).∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π，4)＜－eq\f（π,4)，∵|Δx|很小，∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（Δx－\f(π,4）））＜－eq\f（\r（2)，2)。從而有eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（Δx－\f(π，4）））＜－1，則eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π，4）))＋1＜0，又∵Δx〈0，∴k1－k2＞0,即k1＞k2。綜上,k1〉k2。即正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0附近的平均變化率比在x＝eq\f(π，2)附近的平均變化率大．『規(guī)律總結』比較函數(shù)平均變化率的大小,可以先將函數(shù)在每個自變量附近的平均變化率求出，然后進行大小的比較．┃┃跟蹤練習2__■已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2，求f(x)在x0＝1,2，3附近Δx＝eq\f(1，2)時的平均變化率k1，k2,k3，并比較其大?。劢馕鯹∵eq\f（fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0）＝eq\f（[3x0＋Δx2＋2］－3x\o\al（2，0)＋2,Δx）＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx）＝6x0＋3Δx?！嗪瘮?shù)f(x）＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為6x0＋3Δx。當x0＝1，Δx＝eq\f(1，2）時，函數(shù)在[1，1.5]上的平均變化率為k1＝6×1＋3×0.5＝7。5；當x0＝2,Δx＝eq\f（1，2）時,函數(shù)在［2，2.5]上的平均變化率為k2＝6×2＋3×0。5＝13。5;當x0＝3,Δx＝eq\f（1,2)時，函數(shù)在[3，3。5］上的平均變化率為k3＝6×3＋3×0。5＝19。5,所以k1<k2〈k3.學科核心素養(yǎng)平均變化率的幾何意義一般地，設函數(shù)y＝f（x)的圖象是曲線C，P（x0,y0）是曲線C上的定點，Q(x0＋Δx，y0＋Δy）是曲線C上與點P鄰近的點，則y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx），即Δy＝f(x0＋Δx）－f（x0)．我們把直線PQ叫做曲線C的割線，割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).這就是函數(shù)y＝f（x)從x0到x0＋Δx的平均變化率，所以函數(shù)的平均變化率表示連接函數(shù)y＝f（x）圖象上兩點割線的斜率．典例3過曲線y＝f（x）＝x2－x上的兩點P(1，0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求Δx的值．［思路分析］割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x）從1到1＋Δx的平均變化率eq\f（Δy,Δx）。［解析]∵Δy＝f（1＋Δx)－f(1)＝（1＋Δx）2－(1＋Δx)－（12－1）＝Δx＋(Δx）2，∴割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx）＝1＋Δx.又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.『規(guī)律總結』解決本題的步驟是：首先求出函數(shù)值的變化量Δy,然后求出自變量的變化量Δx，最后利用平均變化率即為割線的斜率建立等量關系，利用方程思想求解Δx的值．┃┃跟蹤練習3__■過曲線f(x）＝x3上兩點P(1,1)和Q（1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線,求出當Δx＝0。1時割線的斜率．［解析]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1）＝(1＋Δx)3－1＝(Δx）3＋3（Δx)2＋3Δx，∴割線PQ的斜率k＝eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（Δx3＋3Δx2＋3Δx，Δx）＝(Δx）2＋3Δx＋3。設Δx＝0.1時割線的斜率為k1,則k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.易混易錯警示不能正確識圖致誤典例4A,B兩機關單位開展節(jié)能活動，活動開始后兩機關的用電量W1（t)，W2(t）與時間t（天)的關系如圖所示，則一定有(B）A．兩機關單位節(jié)能效果一樣好B．A機關單位比B機關單位節(jié)能效果好C．A機關單位的用電量在［0，t0］上的平均變化率比B機關單位的用電量在［0，t0]上的平均變化率大D．A機關單位與B機關單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大［錯解]選C．因為在（0，t0)上,W1（t)的圖象比W2（t）的圖象陡峭，∴在（0，t0）上用電量的平均變化率，A機關單位比B機關單位大．［辨析]從圖上看，兩機