高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考點(diǎn)解析第十四章選修模塊14.1 I幾何證明選講

第十四章選修模塊

14.1I幾何證明選講

專題相似三角形的判定與

2性質(zhì)

■(2015河北石家莊二中一模，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖,。。的半徑為6,線段AB與。。相交于點(diǎn)C,D,AC=4,ZBOD=ZA,OB與。。相交于點(diǎn)E.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)CE_L。。時(shí)，求證:AO=AD

(1)解：：'OC=OQ,,：NOCD=ZODC,.".ZOCA=ZODB.

:/BOD=NA,.：AOBDs4Aoe，.喘=器

:雙=。。=6"=4,.半=”8￡)=9.

(2)證明：：?OC=OE,CE_LOD".ZCOD=ZBOD=/A,

.：ZAOD=180°-ZA-Z6?DC=1800-ZCOD-ZOCD=AADO,

.：AZ)=AO.

■(2015河北石家莊一模,相似三角形的判定與性質(zhì),解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖，已知OO和0M相交于A,B兩點(diǎn),A。為0M的直徑，延長(zhǎng)交OO于點(diǎn)C,點(diǎn)G為弧BD的中

點(diǎn)，連接AG分別交。O,BD于點(diǎn)E.F,連接CE.

⑴求證:AGEF=C￡G￡>;

⑵求證喘=察

證明:(1)連接AB4C,

:'AO為0M的直徑，.：NABO=90°,

.：AC為00的直徑，.：NCEF=/4G￡>=90".

；4DFG=ZCFE,.：ZECF=ZGDF,

:'G為弧8。的中點(diǎn)，.：ND4G=ZGDF,

.：/ZMG=NECF,ZADG=ZCFE,.：△CEFs△AGD,

?康=

EF空GD..IAGEFUCEGD.

(2)由(1)知NZMG=NGDF,NG=NG,

；?〉DFGs△4Z)G,

/.DG2=AGGF.

..,EF2GD2.GFEF2

由(zDl知法=啟'一正"出.___________________

專題圓周角'弦切角及圓的

切線

■(2015河北衡水中學(xué)二模，圓周角、弦切角及圓的切線,解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖，圓。的直徑AB=8,圓周上過點(diǎn)C的切線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡,過點(diǎn)B作AC的平行線交EC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

⑴求證

⑵若EC=2遍，求PB的長(zhǎng).

⑴證明為圓O的直徑，.：NAC8=90°.

又AC〃BP、，/ACB=/CBP,/ECA=NP.

:'EC為圓O的切線，.：NEC4=NABC,

/.ZABC=ZP,

Arnr

.?.△ACBSACBP,.噎=揀，即BC1=ACBP.

(2)解：：'EC為圓。的切線,EC=2遍,AB=8,

.：EC2=E4EB=EA(EA+AB),.：E4=2.

VZECA=AABC,.'.&ACEs△CBE,

.AC_EA_

"BC==V5'

:ZB為圓。的直徑,.：N4CB=90°,

r.A^+BCf^AB2,

.：*=釁，由告=掾可得P8=竿.

專題圓內(nèi)接四邊形的判定及

5性質(zhì)

河北唐山一模，圓內(nèi)接四邊形的判定及性質(zhì),解答題，理選修幾何證明選講

■(2015起22)4—1:

E

如圖,圓周角NBAC的平分線與圓交于點(diǎn)。，過點(diǎn)D的切線與弦AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD交BC于點(diǎn)

F.

(1)求證:BC〃￡>E;

(2)若O,E,C,F四點(diǎn)共圓，且廢=BC,^ZBAC.

(1)證明:因?yàn)镹EDC=NDAC,NOAC=NDAB,NDA8=NDCB,

所以/EDC=/OC8,所以BC〃DE.

(2)解:因?yàn)镈,E,C,F四點(diǎn)共圓，所以/CFA=NCED,

由(1)知ZACF=ZCED,所以ZCFA=ZACF.

亍殳/O4C=NOA8=x,

因?yàn)樵?詫，所以/CB4=/8AC=2x,

所以/CFA=NFBA+ZFAB=3x,

在等腰AAC尸中，兀=/CE4+NACF+/C4F=7x*lx='

所以NR4C=2x專.

■(2015江西贛州高三摸底考試，圓內(nèi)接四邊形的判定及性質(zhì),解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖，已知A3為圓。的一條直徑，以端點(diǎn)3為圓心的圓交直線AB于CQ兩點(diǎn)，交圓。于E,F兩點(diǎn)，過

點(diǎn)。作垂直于AD的直線，交直線AF于點(diǎn)H.

(1)求證四點(diǎn)共圓；

⑵若忙=2/尸=2四,求"。尸外接圓的半徑

(1)證明:因?yàn)锳B為圓。的一條直徑，所以BFLFH,

又DHLBQ,所以B.D,H,F四點(diǎn)共圓.

(2)解:因?yàn)锳H與圓B相切于點(diǎn)F,

由切割線定理得AF^ACAD,代入解得AO=4,

BD^AD-AC)=\,BF=BD=\.

又4AFBs4ADH,所以器=半，

BFAF

由此得Z)H=華善=V2.

AF

連接2”,由⑴知,8“為4BDF外接圓的直徑,

BH=yjBD2+DH2=V3,

故4BDF的外接圓半徑哈.

圓的切線的性質(zhì)與

判定

■(2015河北保定一模，圓的切線的性質(zhì)與判定,解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖，已知。O|與。。2相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作。01的切線交。。2于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作兩圓的割線，分

別交001,0。2于點(diǎn)與AC相交于點(diǎn)P.

(1)求證:">〃氐；

⑵若A。是。Q的切線，且PA=6,PC=2,BO=9,求AD的長(zhǎng).

(1)證明:連接AB,：ZC是00］的切線，.：NBAC=NO,

又VZBAC=ZE,.\ZD=ZE,.,.AD//EC.

(2)解：：7>A是。。1的切線,PD是。。1的割線，

.：PA2=PB.PD,.：6'PB(PB+9),.：PB=3.

在。。2中，由相交弦定理得PAPC=BPPE,

.：PE=4,

:NO是。O2的切線QE是0。2的割線，

.".AD1=DB-DE=9x16,.：A￡>=12.

■(2015河北石家莊高三質(zhì)檢二,圓的切線的性質(zhì)與判定,解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

如圖，己知PA與圓。相切于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)O的割線P8C交圓O于點(diǎn)B,C,/APC的平分線分別交

A8,AC于點(diǎn)2E,且點(diǎn)G是線段EQ的中點(diǎn),AG的延長(zhǎng)線與CP相交于點(diǎn)F.

(1)證明:4尸_1_口>;

(2)當(dāng)尸恰為PC的中點(diǎn)時(shí)，求砥的值.

(1)證明:如圖，：,直線PA與圓。相切于點(diǎn)A,

/.ZPAB=ZC,VZAPE=ZCPE,/ADE=ZPAB+NAPE,NAEP=NC+NCPE.

.".ZADE=ZAEP.

又：'G是QE的中點(diǎn)，.:AF_LED

(2)解：：?直線尸A與圓。相切于點(diǎn)A,.：PA1=PBPC.

在△PAF中，NAPG=NFPG,

由(1)知尸G_LA￡即NPGF=NPGA=90°,

.：NPAG=NPFG,.：PA=PF=，C.

.：^Pd=PB-PC,PC=4PB,.粵=zi

4rL11M

專題與圓有關(guān)的比例

7線段

■(2015江西南昌一模，與圓有關(guān)的比例線段,解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

E

如圖,PA為圓。的切線工為切點(diǎn)，尸。交圓。于8,C兩點(diǎn),PA=20,P8=10,NB4C的角平分線與BC和

圓O分別交于點(diǎn)。和E.

(1)求證:AB-PC=P4AC;

(2)求ADAE的值.

(1)證明：:PA為圓。的切線,.：NP4B=/AC8,

又NP為公共角,△PABSAPC4,A6PC=P4AC.

(2)解：：/A為圓。的切線,PC是過點(diǎn)O的割線，

/.PAi=PBPC,

.：PC=40,BC=30.

又：2C45=90°,/.AC2+AB2=8d=900.

又由(1)知黎=會(huì)=打AC=12aAB=6花，

連接EC,則ZCAE=ZEAB,^ACE<^^ADB,

ARAnr—,—

兼=^ADAE=ABAC^6>/5x12V5=360.

■(2015江西南昌二模，與圓有關(guān)的比例線段,解答題，理22)選修4—1:幾何證明選講

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中工C與BD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作圓的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡若

AB=ADAF=18,AO〃BC,BC=15,求AE的長(zhǎng).

解：：Z尸是圓的切線，且AF=18,BC=15,

.：由切割線定理得到A'FBFCn182=FB-(FB+15)=F8=12,

VAB=AD,.".NABD=ZADB,

則NFAB=ZABD,.".AF//BD,

又：ND〃尸C,.：四邊形AO8F為平行四邊形.

AD=FB=\2,ZACF=ZADB=ZF,

.：AC=AF=18,

yAD/ZFC,/.-^-=黑解得AE=8.

18-AEDC

14.2I坐標(biāo)系與參數(shù)方程

I專題參數(shù)方程與普通方程的

kI互化

■(2015河北唐山一模，參數(shù)方程與普通方程的互化,解答題，理23)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知橢圓+4=1,直線/：卜=,：為參數(shù)).

431y=2V3+t

(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線/的普通方程；

(2)設(shè)4(1,0),若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線/的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

”(x=2cos0,,人,

解⑴C|y=gsin解為參數(shù)'

/:x-V3y+9=0.

(2)設(shè)P(2cose,V^sin。),由題可知〈兀，

則|AP|=j(2cos0-l)2+(V3sin0)2=2-cos6?,

P到直線1的距離2yi>+9=2cos,ine+9

由|AP|="得3sin8-4cos9=5,

又sin%+cos20=l,解得sine=|,cos6=],

專題極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的

6應(yīng)用

■(2015河北保定一模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方

程

己知直線/在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程為C=J+:;需為參數(shù)，0為傾斜角)，曲線C的極坐標(biāo)

方程為〃=4cos0(其中坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)/軸正半軸為極軸,取相同單位長(zhǎng)度).

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C與直線/相交于不同的兩點(diǎn)M,N,設(shè)尸(4,2),求|PM+|PN|的取值范圍.

解:⑴：/=4cos"?："2=4"COS6,

,：曲線。的直角坐標(biāo)方程為f+丁=4x

⑵直線/的參數(shù)方程：2+::需“為參數(shù))，

代入，+)2=4X得r+4(sina+cosa)f+4=0,

A=16(sina+cosa)2-16>0,

"1+「2=-4(sina+cosa),

心上二4,

?：sin8cosa>0,又0<。<兀，,：a￡(0,]),且。<0/2<0?

?：|PM|+|PN|=|h|+|/2l=l，i+f2l=4(sina+cosa)=4&sin(a+胃

由a*(。母得a+涎仁岑)，

.考<sin(a+；)W1,

故|尸知|+『州的取值范圍是(4,4迎].

■(2015河北石家莊二中一模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4-I:坐標(biāo)系與參數(shù)

方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程｛；Z為參數(shù))，以。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)直線/的極坐標(biāo)方程是2psin(8+服=3遮，射線。例:與圓C的交點(diǎn)為與直線/的交點(diǎn)為Q,

求線段PQ的長(zhǎng).

解:⑴圓C的普通方程為(%-1尸+肉=1,

又x=〃cosO,y=psinJ,所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos(9.

(2)設(shè)尸Si，。)則由e=E得四=1,仇音，

,,(p(sin0+6cos0)=373,n

設(shè)0s2,仇),則由。TT得22=3,。2=中

所以|PQI=2.

■(2015河北衡水中學(xué)二模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4~4:坐標(biāo)系與參數(shù)方

程

在直角坐標(biāo)系xO)?中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn),x

軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線P的方程為/-4pcos9+3=0.

(1)求曲線C的普通方程和曲線尸的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)曲線C和曲線尸的交點(diǎn)為4,8,求|A8|.

解:⑴曲線C的普通方程為x-y-l=0.

曲線P的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x+3=0.

⑵曲線P可化為(x-2)2+9=1,表示圓心為(2,0),半徑r=l的圓，

則圓心到直線C的距離為公,=挈

所以|A8|=2Jr2-d2=y/2.

■(2015江西九校高三聯(lián)考，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4~4:坐標(biāo)系與參數(shù)方

程

X=-1+-t

在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為《:9(f為參數(shù)).若以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),X軸正半

(y=-l+針

軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為〃=岳山(。+胃

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)求直線/被曲線C所截得的弦長(zhǎng).

解:⑴由p=V^sin(0+；)得片cos(9+sin0,

兩邊同乘以"得p2=pcos9+psin。.

.：f+)"x-y=0,即(X-；)+(y-1)=1.

(2)將直線參數(shù)方程代入圓C的方程得5/2-21/+20=0,

4+/2=215/，2=4.

=+「2y-4tli：2=

■(2015河北石家莊高三質(zhì)檢二，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4—4:坐標(biāo)系與參

數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，曲線G的參數(shù)方程為｛；:其中，為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)/軸

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長(zhǎng)度，曲線C2的極坐標(biāo)方程為pcos(。+9=y.

(1)把曲線G的方程化為普通方程,C2的方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G,C2相交于A,8兩點(diǎn)48的中點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸作曲線C2的垂線交曲線G于E,尸兩點(diǎn)，求

IPEHPH的值.

解：(1)消去參數(shù)可得G：y2=4x,

C2：X-J-l=0.

(2)設(shè)A(M加),5(必,竺),且AB中點(diǎn)為尸(沏,加，

*=軌，可得？6x+i=o.

聯(lián)立?

x-y-1=0

.x1J'o==3,

..%]+戈2=6,修冗2=1,.d2

ty0=2.

x=3-—t,

?：AB中垂線的參數(shù)方程為42(/為參數(shù)).①

〔1+爭(zhēng)

J=4x.②

將(2M入②中，得』+8a，-16=0,.：//2=-16.

.'.\PE\-\PF\=\tvt2\=\6.

■(2015河北石家莊一模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4~4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線C,的參數(shù)方程為｛；二號(hào)為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)/軸的正半軸為極軸建立極

坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=2.

(1)分別寫出G的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知MN分別為曲線G的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為曲線C2上任意一點(diǎn)，求|PM+|PN|的最大值.

22

解：(1)曲線G的普通方程為a+$1,

曲線C2的普通方程為/+/=4.

(2)由曲線C2,+丁=4,可得其參數(shù)方程為產(chǎn);手即，

所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosa,2sina),

由題意可知M(0,V3),/V(0,-V3).

因此|PM|+|PN|=J(2cosa)2+(2sina-V3)2+J(2cosa)2+(2sina+V3)2=J7-4V3sina+

,7+4v5sina,

(|PM|+|PN|)2=14+2j49-48sin2a.

所以當(dāng)sina=0時(shí),(|PM|+|PN|)2有最大值28.

因此|PM|+|PN|的最大值為2回

■(2015江西南昌一模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4~4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，己知曲線C的參數(shù)方程卜="cost,。為

(y=/sint

參數(shù)).

(1)曲線C在點(diǎn)(1,1)處的切線為/,求/的極坐標(biāo)方程；

(2)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2立且當(dāng)參數(shù)，右[0,兀]時(shí)，過點(diǎn)A的直線機(jī)與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求

直線m的斜率的取值范圍.

解:⑴卜=噂+),2=2,點(diǎn)(11)在圓上，

(y=V2sint,

故切線/的方程為無+y=2.

?：〃sin9+2cos9=2,

切線/的極坐標(biāo)方程為0sin(。+9=V2.

(2)y=k(x-2)+2與半圓/+》2=2320)相切時(shí)，金幺=V2,

.:&2_軟+]=0,：&=2#=2+舊(舍去).

設(shè)圓與x軸的左交點(diǎn)為8,坐標(biāo)為(-夜,0),如=熹=2-&，

故直線m的斜率的取值范圍為(2-K,2-&J.

■(2015江西南昌二模，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4~4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知圓0的參數(shù)方程是

(=1+V2cosa

*3%是參數(shù))，直線/的極坐標(biāo)方程是網(wǎng)n(0-￡)=孚

[y=-^--sina

(1)求圓。和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求直線/與圓。公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).

2=ycosa,

解:(1)圓。的參數(shù)方程可以化為

所以圓。的直角坐標(biāo)方程是1-，+卜-：)2

直線/的極坐標(biāo)方程可以化為苧psin。-多>cos6=^,

所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y+l=0.

⑵由卜2+產(chǎn)丑=。,得『二；，

[x-y4-1=0(y-1,

故直線/與圓。公共點(diǎn)為(0,1),該點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1().

■(2015江西贛州高三摸底考試，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用,解答題，理23)選修4一4:坐標(biāo)系與參

數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合.點(diǎn)A,B的極

坐標(biāo)分別為(2,兀),(a,加。),曲線C的參數(shù)方程為s/°sO'(e為參數(shù)).

⑴若a=2/，求AAOB的面積；

(2)設(shè)P為C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線AB的最小距離為1,求a的值.

解:⑴5”。/x2x2近xsinl35。=2.

(2)依題意知圓心到直線AB的距離為3,

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線A8的方程為x=-2,

顯然符合題意，此時(shí)a=-2^2.

當(dāng)直線AB存在斜率時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2),

依題意有Y^=3,無解,

故a=-2y/2.

不等式選講

含絕對(duì)值不等式的

解法

■(2015河北保定一模，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

設(shè)函數(shù)_/(x)=k-a|+l,aeR.

⑴當(dāng)a=4時(shí)，解不等式/)<1+|2x+l

(2)若式x)W2的解集為[0,2],、+；=4(〃>0,”>0),求證："?+2〃》3+2a.

(1)解:當(dāng)x24時(shí),2x+l-(x-4)=x+5>0,

解得x>-5,所以x24成立；

當(dāng)時(shí),2x+l+x-4=3x-3>0,

解得冗>1,所以1令<4成立；

當(dāng)x<-￡時(shí),-工-5>0,解得x<-5,

所以x<-5成立.

綜上所述，原不等式的解集為{x|x>l或x<.5}.

(2)證明:依題可知1=4-1

所以4=1,即'+^=l(An>0,n>0).

所以〃任2〃=(〃?+2〃)(\+3)=3+?+；23+2金，

當(dāng)且僅當(dāng)m=l+苧時(shí)取等號(hào).

■(2015河北石家莊二中一模，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

設(shè)火x)=|x-l|+|x+l|.

⑴求於X+2的解集；

(2)若不等式兀0》用華辿對(duì)任意實(shí)數(shù)存0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

回|

p+2>0,

解:⑴由於)<x+2得卜<-1,

(1-x-x-l<x+2

p+2>0,fx+2>0,

或卜1cx<1,或卜21,

tl-x+x+l<x+2(x-1+x+l<x+2.

解得0WxW2,

所以_/(x)Wx+2的解集為{x|0WxW2}.

(2)H言H11+小用k11+/2一#3,

當(dāng)且僅當(dāng)(1+以(2-鄉(xiāng)WO時(shí)，等號(hào)成立，

由不等式火X)沙+T2a川對(duì)任意實(shí)數(shù)存0恒成立得層1l+lx+11》3,

Ml

,fx<-1,?f-1<X<1,V.(X>1,

則n《'或〈'或<?,C

(1-x-x-l>3(1-x+%+1>3(x-1+x+123,

解得xW-|或x2|.

■(2015河北衡水中學(xué)二模，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)段)=|2x-l|+|Zr-3|^GR.

(1)解不等式7U)W5;

(2)若不等式小的守⑴,對(duì)VxeR都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解:⑴原不等式等價(jià)于F<即或[WX氣，或

(4-4%<512<5(4%-4<5.

解得1或或

因此不等式的解集為[1,詈

(2)：：/(x)=|2x-l|+|2x-3|2|2x-l-(2x-3)|=2,?：〃?%%<[/(x)]min=2=〃?2-/?2-2<0=-l<m<2.

■(2015河北石家莊高三質(zhì)檢二，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

已知於)二|3%+，卜3|、-3.

⑴若々=1,求於)28的解集；

(2)對(duì)任意?！?0,+8),任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.

解:⑴當(dāng)a=l解由於)28得|3x+l|+3岳1|28,

①當(dāng)xW±時(shí),-(3x+l)-3(x-l)28,xW-l,

②當(dāng)扣<1時(shí),3x+l-3(x-l)》8,無解；

@當(dāng)x2l時(shí),3x+l+3(x-l)28,.：x2|.

綜上所述次x)28的解集為xG(-oo,-l)u[|,+00).

⑵〃)=辰+；卜3bzi

2K3x+；)-(3x-3a)|=3at2V52，*.

當(dāng)且僅當(dāng);=3a,即〃=苧時(shí)，等號(hào)成立，所以"?的最大值為2g.

■(2015河北小家莊一模，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)兀v)=J|x+1|+區(qū)-3卜山的定義域?yàn)镽.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

=n

⑵若m的最大值為〃，當(dāng)正數(shù)ayb滿足+^2b時(shí)，求7。+4匕的最小值.

解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)式幻的定義域?yàn)镽,

所以|x+l|+|x-3卜加20恒成立.

設(shè)函數(shù)g(x)=|x+l|+|x-3|,則m不大于函數(shù)g(x)的最小值.

又|x+11+|x-3|2|(x+l)-(x-3)|=4,

即g(x)的最小值為4,所以)nW4.

⑵由⑴知〃=4,

所以7a+4b=

4

_(6a+21+a+2”)?(焉+^)

一4

c.2(3a+b).2(a+2b)

_5+^+2T+^+T>5+4_9

4-4―4，

當(dāng)且僅當(dāng)o+2力=3Q+Z?,即b=2a二五時(shí)，等號(hào)成立.

Q

所以74+48的最小值為

■(2015河北唐山一模，含絕對(duì)值不等式的解法,解答題，理23)選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)兀r)=|2x-a|+|x+l|.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/(x)<3;

⑵若的最小值為1,求a的值.

-3X9X<-1,

1

解:⑴因?yàn)槲?=|2x-l|+|x+l|=<-%+2,-1<%<-,

o、1

3X