高考數(shù)學(xué)-平面解析幾何專題復(fù)習(xí)100題（含答案）

高考數(shù)學(xué)-平面解析幾何專題復(fù)習(xí)100題(含答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

丫22

1.設(shè)片,B分別是雙曲線C：2——L=1的左、右焦點(diǎn)，且閨勾=8,則下列結(jié)論正

s+ts-t

確的是()

A.s=6

B.f的取值范圍是(-8,8)

C.F,到漸近線的距離隨著t的增大而減小

D.當(dāng)t=4時(shí)，C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍

【答案】BC

【解析】

【分析】

..(s+f>0

由花用=8,得到2s=16,可判定A錯(cuò)誤；由且￡=8,可判定B正確；由耳

到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)為次二7,可判定C正確；當(dāng)f=4時(shí)、求得雙曲線的實(shí)

軸和虛軸承，可判定D錯(cuò)誤.

【詳解】

22

由題意，雙曲線C：」——乙=1,可得a2=6+/,〃=$一,

s+rs-t

因?yàn)樾瞄?8,可得/=S+,+ST=2S=16,解得S=8,所以A錯(cuò)誤；

f.s+r>0

因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在X軸上，由八且s=8,得f的取值范圍是(-8,8),所以B正

|_ST>0

確；

因?yàn)椤钡綕u近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)為虛二7,其在fe(-8,8)上單調(diào)遞減，所以C正

確；

當(dāng)f=4時(shí)，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為46，虛軸長(zhǎng)為4,其中實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的6倍，

所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

2.下列說(shuō)法正確的是()

A.若3"=4"=12,則a+6>4

B.“a=l”是“直線如+y-l=O與直線or+(a-2)y+5=0垂直”的充分條件

C.已知回歸直線方程y=2x+g，且x=5,y—20,貝(14=15

D.函數(shù)f(x)=|cos4x|的圖象向左平移￡個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

8

【答案】AB

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A.由指數(shù)對(duì)數(shù)互化可得,+,=1,由均值不等式可判斷;選項(xiàng)B.根據(jù)兩直線垂直

得出。的值，再根據(jù)充分、必要條件的判斷方法可判斷；選項(xiàng)C.根據(jù)回歸直線一定過(guò)

樣本中心點(diǎn)可判斷；選項(xiàng)D.先由函數(shù)圖像平移得出平移后的解析式，再判斷其奇偶

性可判斷.

【詳解】

A.由a=log312,得—=log3,—=log"4,—+—=1,a>0,b>0,a'b,

al2b~ab

所以(a+b)[2+2]=2+2+0>2+,反=4(由于〃。所以等號(hào)不成立)，

\ah)ab\ab

故A正確.

B.由兩直線垂直，可得+(a-2)=0,解得a=l或a=—2；

所以“a=l”是“直線以+y-l=O與直線方+(a-2)y+5=0垂直”的充分條件，

故B正確.

C.回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，y=2x+a,5=20-2x5=10；故C不正確.

D.將/(x)=|cos4H的圖象向左平移營(yíng)個(gè)單位，可得

O

所以g(x)不是奇函數(shù)，其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D不正確.

故選：AB.

3.在平面直角坐標(biāo)系皿中，已知雙曲線C:￡T=l(a>0,6>0)的離心率為手,

且雙曲線C的左焦點(diǎn)在直線x+y+&=0上，A、8分別是雙曲線C的左、右頂點(diǎn),

點(diǎn)P是雙曲線C的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記小、尸8的斜率分別為勺、心,則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為'=±2》B.雙曲線C的方程為4-產(chǎn)=1

C.4他為定值!D.存在點(diǎn)尸，使得勺+七=1

4

【答案】BC

【解析】

【分析】

求出?的值，可判斷A選項(xiàng)；求出。、6的值，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)。（%,%），則

手一火=1,可得宕=4+4尤，利用斜率公式可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷

D選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，f—=-——―e2-l=—,則2=：,

⑺〃4a2

所以，雙曲線C的漸近線方程為'=±2*=±《、A錯(cuò)；

a2

「1

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可得一c+6=0,可得c=6，a=-=29b=—a=\,

e2

所以，雙曲線C的方程為工-y2=1,B對(duì)；

4

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)戶（X。,幾），則?一尤=1,可得片=4+4火，

22t

易知點(diǎn)A（-2,0）、8（2,0）,所以,3=焉.e=蒸=/="。對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知%>2,%>0,則尢=工、>0,e=一\>0,且

%+2x0-2

區(qū)豐k2,

所以，k、+&>2也#2=1，D錯(cuò).

故選：BC.

4.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ANGR中，P為棱B瓦的中點(diǎn)，。為正方形

88CC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是（)

A.若A。〃平面AP。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線段

B.存在。點(diǎn)，使得RQ，平面

C.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱CC,上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐Q-APO的體積最大

D.若DQ當(dāng),那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為正7r

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A：取BC、GC中點(diǎn)區(qū)F,連接4瓜A尸、EF、PF,證明平面〃平面

REF,則。點(diǎn)的軌跡為線段E產(chǎn)；

B：以2為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。(x,l,z),0Vx,4,l,求出平面A/。的法

向量，根據(jù)而=2為求出x、z即可判斷；

c：△AP。的面積為定值，，當(dāng)且僅當(dāng)。到平面A?。的距離"最大時(shí)，三棱錐

Q-A/。的體積最大；

D：可求CQ為定值，即可判斷。的軌跡，從而求其長(zhǎng)度.

【詳解】

取B6、GC中點(diǎn)E、F,連接AE、￡＞尸、EF、PF,

z

由PF//BCJ/AA且PF=BC,=AR知APFR是平行四邊形,

：.D,F//\P,?.?￡＞尸＜2平面4口)，A尸u平面AP。，A尸〃平面AfZ),

同理可得EF〃平面A?D，V￡FnD,F=F,

平面APO〃平面QEF,則。點(diǎn)的軌跡為線段EF,A選項(xiàng)正確;

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1，0,0)，P[，11｝。(0,0,1)，設(shè)Q(X,LZ),04X,4,1,

則而=(—1,0,1),4戶=(0,1，)，而=(x,l,z).

設(shè)成=(a,6,c)為平面AP。的一個(gè)法向量,

—ci+c=0,a—c,

布?A方=o,

則即《得人，?取c=l，

兩?A戶=o喈=0,

2

x=A

若RQ_L平面AfC,則而〃玩，即存在2eR,使得麗=2/，則＜1=-],解得

z=2

x=z=-240,1],故不存在點(diǎn)。使得AQ_L平面A/。，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

△4PO的面積為定值，，當(dāng)且僅當(dāng)。到平面A，。的距離"最大時(shí)，三棱錐Q-A尸。

的體積最大.

23

——X+z—

冏32

3?

?x+z,,—,d=l--(x+z),則當(dāng)x+z=0時(shí)，d有最大值1；

321

②x+z>],d=§(x+z)-1,則當(dāng)x+z=2時(shí)，d有最大值§；

綜上，當(dāng)x+z=o,即。和G重合時(shí)，三棱錐Q-AP。的體積最大，c選項(xiàng)正確;

D￡1平面BB￡C,D,C,1C,Q,

D、Q=dDC+GQ。4,;.C、Q瀉,。點(diǎn)的軌跡是半徑為也，圓心角為|?的圓

弧，軌跡長(zhǎng)度為變］，D選項(xiàng)正確.

4

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考察空間里面的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，需熟練運(yùn)用線面平行、面面平行的

判定定理和性質(zhì)，需掌握運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系和空間向量來(lái)解決垂直問(wèn)題，掌握利用

空間向量求點(diǎn)到平面的距離，利用幾何關(guān)系判斷空間里面的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考察知識(shí)點(diǎn)

較多，計(jì)算量較大，屬于難題.

5.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西

尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，

M（-2,0）,N（2,0）,動(dòng)點(diǎn)2滿足=其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C則下

列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為（0,—1）,（0,1）B.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱

c.APMN面積的最大值為2D.|。4的取值范圍是［1,3］

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，由x=0判斷A；由曲線方程對(duì)稱性判斷B；取特

值計(jì)算判斷C；求出產(chǎn)的范圍計(jì)算判斷D作答.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P（x,）），依題意，［（》+2）2+/］［。-2）2+/］=25,整理得：

22

X+/=716X+25-4.

對(duì)于A,當(dāng)x=0時(shí)，解得y=±l,即曲線C與y軸的交點(diǎn)為（0,—1）,（0,1）,A正

確；

對(duì)于B,因f+（—y）2=胃2+y2=+25—4，由-y換y方程不變，曲線C關(guān)于X軸

對(duì)稱，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)Y=|時(shí)，/=|,即點(diǎn)尸（等，業(yè)）在曲線C上，

s.PMN=；\MN=娓，C不正確；

對(duì)于D,由丁=&6/+25-4-n0得:x4-8x2-9<0，解得04/49,

于是得|OP|2=x2+y2=46x2+25-4e［l,9］，解得1引0”43,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為尸(x,y)=O,(1)如果F(-x,y)=O,則曲線C關(guān)于y軸對(duì)

稱；

⑵如果F(x,-y)=O,則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)如果尸(r,-y)=O,則曲線C關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱.

6.已知尸為拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)，過(guò)直線x=-］上一動(dòng)點(diǎn)尸作C的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A、B,則下列恒為定值的是()

|叩|叫I尸A|“陽(yáng)PAPBFAFB

\AB\B'|AB|C'D-

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，得切線R4與切線尸B垂直，ABVPF,48,F三點(diǎn)共線，再結(jié)合拋物線的

性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，得x=-|為拋物線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為尸(*0),設(shè)戶卜之治｝

所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)尸與曲線C相切的直線方程為：y-%=Z(x+Jk^O,即

戶卻-%)］，

KN

所以聯(lián)立方程=得仆2_6y+6%+9%=0,

y2=6x

所以，由直線與曲線的相切關(guān)系得A=36-4&(6y0+9Z)=0,

o_o/,2

整理得女2+2飯-3=0,即%=三匕

2k

設(shè)切線2的斜率為K，切線尸8的斜率為刈，則他=-1,

所以切線叢與切線尸B垂直,

再將%=代入外2_6y+6則+9k=0整理得k2y2-6ky+9=0,解得y=：,

2kk

x=得x=/，

K乙乙K

所以簧No一%

_3_3_3,

~2~2

2k；2k；

所以ABJLPE,

3

6好6k、_3

因?yàn)?k：+2用%-3=0,

3年3=3-3&廣艱=%

2k；2

所以AB,F三點(diǎn)共線.

所以，如圖，△B4B為直角三角形，PF為邊A8上的高，

故對(duì)于A選項(xiàng)，由等面積法得5,加=3%療8|=」4即歸尸|,即叫

由于點(diǎn)尸為動(dòng)點(diǎn)，故不為定值，錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)，

(3,3丫3,3)99999918o

|E4||FB|(2奸2人2M2J4k：k；4后4k：44M4M473

是定值，正確;

萬(wàn).麗

對(duì)于C選項(xiàng)，由于切線抬與切線尸B垂直，故⑸?麗=0,=0,是定值,正

PF2

確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由題知，APBFsAAPB,所以=|Aq.忸川，所以

FAFB|利阿cos乃

—2='一----=cos^=-l,是定值，正確.

FP網(wǎng)

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題

解題的關(guān)鍵在于證明切線小與切線尸B垂直，A8LP尸且48,尸三點(diǎn)共線.，進(jìn)而結(jié)合

拋物線的性質(zhì)求解.

7.已知直線/的方程為y=ax+」，則下列說(shuō)法中正確的是（）

a

A.當(dāng)“變化時(shí)，直線/始終經(jīng)過(guò)第二、第三象限

B.當(dāng)。變化時(shí)，直線/恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)

C.當(dāng)。變化時(shí)，直線/始終與拋物線V=4x相切

D.當(dāng)。在（。,y）內(nèi)變化時(shí)，直線/可取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)直線的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、D進(jìn)行逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求判斷是否正確；將直線方程與拋

物線方程聯(lián)立進(jìn)行判斷，可判斷C是否正確.

【詳解】

由題斜率。>0時(shí)，y軸截距工>0,此時(shí)直線/經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限；

a

斜率a<0時(shí)，y軸截距L<0,此時(shí)直線/經(jīng)過(guò)第二、第三、第四象限：故A正確;

a

當(dāng)。變化時(shí)，直線/顯然不恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

V=4x

聯(lián)立方程1,nj#a2x2-2x+—=0,所以△=4-4/=0,所以直線

y=ax+—aa

a

尸公+請(qǐng)拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

又a#0,所以當(dāng)a變化時(shí)，直線/始終與拋物線），=4x相切，故C正確;

當(dāng)x=l時(shí)，y=a+->2a--=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)。在（。,+°°）內(nèi)變

化時(shí)，直線/不可以取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

8.作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛

卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為*3+V-3礙y=0.某同學(xué)對(duì)

”=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中正確的是

()

A.曲線不經(jīng)過(guò)第三象限

B.曲線關(guān)于直線丫='對(duì)稱

C.曲線與直線x+y=-1有公共點(diǎn)

D.曲線與直線x+y=-i沒(méi)有公共點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A：當(dāng)x,y<0時(shí)，判斷x'+y3-3孫=0是否可能成立即可；

B：將點(diǎn)0,x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；

C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.

【詳解】

當(dāng)x,y<0時(shí)，x3+/-3Ay<0,故第三象限內(nèi)的點(diǎn)不可能在曲線上，A選項(xiàng)正確；

將點(diǎn)(y,x)代入曲線有程得/+了3-3沖=0,故曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，B選項(xiàng)正

確；

聯(lián)立—:*°'其中V++一孫)—3個(gè)=。，

將x+y=-l代入得-(x+y)2=0,即x+y=0,則方程組無(wú)解，故曲線與直線

x+y=T無(wú)公共點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

9.已知雙曲線氏「?->2=]5>())的左、右焦點(diǎn)分別為片—.,0),E(c,0),過(guò)點(diǎn)用作

直線與雙曲線E的右支相交于P,Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)P處作雙曲線￡的切線，與E的兩條

漸近線分別交于A,8兩點(diǎn)，則()

A.若怛用+儼用=2,則國(guó).西1=()

B.若.:,則雙曲線的離心率ee（l,a+”

sinZ-PFXF-,smZ.PFxF2'」

C.AFfQ周長(zhǎng)的最小值為8

D.AAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,由雙曲線的定義知，歸用-|尸閭=2°,結(jié)合|P用+|「劇=2,即可判定A.

對(duì)于B,在中，由正弦定理得出當(dāng)舞=船=@,結(jié)合雙曲線的定義求

sin/-PF2F}\PF}\C

出歸局,因?yàn)槿躁J>c-a,即可判定B.

對(duì)于C,由分析知，當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，△”P(pán)Q周長(zhǎng)的最小值，代入即可判定C.

對(duì)于D,設(shè)尸（乙,幾），過(guò)點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為今x-%y=l,與兩條漸近線

聯(lián)立，求出A,B的坐標(biāo)，又因?yàn)閄A+XB=2X0,故點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以

一，

rq八08一乙q乙火力，

代入計(jì)算，即可判定D.

【詳解】

222

由題意知|助HP閭=2a,a+\=c,^\\PFf-2\PF]\-\PF2\+\PF2f=4a,所以有

2:222

IP^I+|P/；|=4?+4=4c=\FXF^,從而再L%,西?麗=0,故A正確.

在中，由正弦定理得1M=網(wǎng)，則在口追=熠，，解

12

smZPF2FtsinZPF,F2sinNPgf；|P周c

得歸用=￡歸周.又|P周-儼用=2a,所以忸聞=至>>-整理得

ac-a

c2-2ac-a2<0,所以/-2e-lv0,解得Ive<&+1，故8錯(cuò)誤.

當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|的最小值為:，

|尸制+|。制+1尸。1=2。+|尸段+2〃+|Q周+|PQ|=4a+2|尸。|=44+[,8,故C正確.

設(shè)。（題，九），過(guò)點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為今x-%y=l,E的漸近線方程為

y=±-x,不妨設(shè)切線存x-%y=l與漸近線y=的交點(diǎn)為A,聯(lián)立方程組

aa~a

9

1a~

y=Tx=------

a/一”0

,解得，,即

a

y二

/_研

4^^]-同理可得《熹「六

222

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線E上，則有生-尤=1,xA+xB=——+——=2%,故點(diǎn)P

2

a'七一效。x0+ay0

是A8的中點(diǎn).設(shè)切線2x-%y=l與x軸的交點(diǎn)為G,易知G(土,0),所以

a'I%)

S-4?"f|=晨-f』所以…25…,故0正確.

故選：ACD.

10.設(shè)動(dòng)直線/：mx-y-2m+3=0(〃2cR)交圓C：(x-4)?+(>—5)?=12于A,B

兩點(diǎn)(點(diǎn)C為圓心)，則下列說(shuō)法正確的有()

A.直線/過(guò)定點(diǎn)(2,3)

B.當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，m=\

C.當(dāng)NACB最小時(shí)，其余弦值為，

D.通.恁=空匚的最大值為24

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

將直線方程變形為，〃(x-2)-y+3=0,即可求出直線/過(guò)的定點(diǎn)進(jìn)而判斷A；

結(jié)合選項(xiàng)A可知定點(diǎn)(2,3)在圓C的內(nèi)部，進(jìn)而當(dāng)直線/過(guò)圓心時(shí)|A8|最大，即可判

斷B；

根據(jù)點(diǎn)線之間的距離可知當(dāng)CMLAB時(shí)ZACB最小，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；

根據(jù)題意可知當(dāng)A8為直徑時(shí)荒取得最大值，即可判斷D.

【詳解】

選項(xiàng)A,由/:mr-y-2/n+3=00nwR)整理得m(K—2)—y+3=0(/nwR),

x—2=0(x=2

當(dāng)《,，、即，時(shí)，不論〃7為何值時(shí)，機(jī)(x-2)-y+3=0(加wR)都成立，

一y+3=0[y=3

所以直線/過(guò)定點(diǎn)(2,3),故A正確;

選項(xiàng)B,因?yàn)橹本€/過(guò)定點(diǎn)(2,3),將定點(diǎn)代入圓C:(2-4K+(3-5)2=8<12,

所以定點(diǎn)(2,3)在圓C的內(nèi)部，當(dāng)直線/過(guò)圓心(4,5)時(shí)，|A8|取得最大值，

此時(shí)4/〃-5-2,〃+3=0,解得：m=\,故B正確；

選項(xiàng)C,設(shè)直線/過(guò)的定點(diǎn)M(2,3),當(dāng)CMLAB時(shí)，圓心到直線的距離最大，

即g/ACBe(),1的余弦值最大，結(jié)合余弦在上單調(diào)遞減，可得N4CB最小，

而CM=7(2-4)2+(3-5)2=2板,所以AB=2,(2廚一互=4，

所以在AABC中，cosZACB=Q百彳+"42=1,故C不正確；

2x2V3x2V33

選項(xiàng)D,AB-AC^\AB\\AC\-cosZBAC^^^~,

UUUUUIU

所以當(dāng)AB為直徑時(shí)，ARAC取得最大值，

此時(shí)而―/=C回=24,所以鹿的最大值為24,故D正確.

2

故選：ABD

11.已知圓的圓心在直線x=-2上，且與4：x+gy-2=0相切于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)

。(-1,0)作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF.則下列結(jié)論正確的是()

A.圓的方程為："+2『+丁=4

B.弦AE的長(zhǎng)度的最大值為

C.四邊形ABEF面積的最大值為

D.該線段AE、3F的中點(diǎn)分別為M、N,直線MN恒過(guò)定點(diǎn)卜;,0)

【答案】AD

【解析】

【分析】

設(shè)圓的圓心為C(—2,h),根據(jù)題意圓心到直線4:x+Gy-2=0的距離等于圓心到。

的距離，據(jù)此即可解出從求出半徑r,從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

當(dāng)AE為直徑時(shí)AE長(zhǎng)度最長(zhǎng)；

SA^-=^\BF\-\AE\,設(shè)圓心到BF的距離為d,貝Ijo公1，根據(jù)幾何關(guān)系表示出

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求四邊形ABEF面積的最大值;

根據(jù)MCWC為矩形，對(duì)角線互相平分即可判斷MN經(jīng)過(guò)CZ）中點(diǎn).

【詳解】

設(shè)圓心為C（-2,。），圓的半徑為r,

由題可知j,=>/（-2+1）?+（、_6J=8=0,>-=yj（—2+1）2+（―\^）2=2，

二圓的方程為：（X+2）2+V=4,故A正確；

當(dāng)AE過(guò)圓心C時(shí)，AE長(zhǎng)度最長(zhǎng)為圓的直徑4,故B錯(cuò)誤；

如圖，

川

F一----?

4^——1

線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N,設(shè)|CN|=4,0<d<\.

則|CM|=|M9|==&-d2,

|BF|=274-（/2,|AE|=2^4-1CM|2=2〃-1+儲(chǔ)=2,3+1,

冬.二g?忸斗14同=2#々2）（3+/）=24-的+唐+12,

；.d2=；時(shí)，四邊形ABEF面積有最大值2^-（；j+g+]2=7,故C錯(cuò)誤；

3

；四邊形MDNC為矩形，則用N與CD互相平分，即A/N過(guò)C。中點(diǎn)（-萬(wàn),0）,故D正

確.

故選：AD.

12.函數(shù)y=j5-3sinx+Jl-cosx的取值可以為（）

A.5/2B.y/3C.-^6D.y/10

【答案】CD

【解析】

【分析】

由題得y=，[jcos2%+(sinx-3)2+J(cosx-1尸+sii?x],再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.

【詳解】

解：由題得

y=、5-3sinx+V1-cosx=-^-[\/10-6sinx+，2-2coss]

cos2x+(sinx-3>+7(cosx-l)2+sin2

[Jcos?x+(sinx-3)2+J(cosx-1)2+sin。x]可理解為單位圓上動(dòng)點(diǎn)P(cosx,sinx)到兩定

點(diǎn)A(0,3),8(1,0)的距離和.

如圖所示，點(diǎn)尸處于々位置時(shí)，P，A8三點(diǎn)共線》取到最小值,

=*x7(0-1)2+(3-0)2=V5

當(dāng)P位于6(0,1)時(shí)，\PA\+\PB\=72+2.此時(shí)y=l+&<".

過(guò)了點(diǎn)6逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，1PAlJP8I都在逐步增加，

當(dāng)P位于A(T，0)時(shí)，|PA|+|PB|=M+2,此時(shí)丫=石+四>亞.

故選：CD

22

13.已知尸是雙曲線C:三-E=l的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在雙曲線C的一條漸近線上，。

48

為坐標(biāo)原點(diǎn).若I。用ITMFI,則仆OMF的面積為()

A.-B.—C.3亞D.6

22

【答案】C

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合漸近線方程得出點(diǎn)M(x。,%)的坐標(biāo)，再求面積.

【詳解】

不妨設(shè)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)”(%,%)在漸近線y=上，因?yàn)?/p>

a=2,b=2>/2,c=2\f3>IOM|=|MF\,所以與=—6，%=灰，即4OA/F的面積

-X2V3XV6=3>/2.

2

故選：C

14.雙曲線=1(/n>0,n>0)的漸近線方程為、=士正x,實(shí)軸長(zhǎng)為2,貝U

tnn2

，"-"為()

A.-1B.1-V2C.；D.1--

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由雙曲線方程可得漸近線方程為y=±@，再由實(shí)軸長(zhǎng)為2,可求出機(jī)，然后結(jié)合漸

近線方程為y=士*x可求出〃，從而可求出，"-”的值

【詳解】

因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,所以m=1,

由雙曲線方程可得漸近線方程為y=±《x=±Qx,

因?yàn)闈u近線方程為y=±乎x,

所以[=也,解得〃=2,

2

所以加一〃=1-2=-1,

故選：A

15.已知拋物線C：幺=2期(〃>0)焦點(diǎn)為尸，M(m,2)是拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M

到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3,點(diǎn)尸在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸到直線/：x-y-2=0的

最小距離是()

A.：B.J2C.1D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3,求出P,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公

式表示出距離，借助二次函數(shù)求最小值.

【詳解】

拋物線的準(zhǔn)線為了=-5，由M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3,知2-[-])=3,p=2,所

以拋物線C的方程/=".

、「

設(shè)點(diǎn)p一，點(diǎn)尸到直線/：x—y-2=0的距離為"，，-4一(一2)一+4

當(dāng)且僅當(dāng)1=2時(shí)，

點(diǎn)尸到直線/：x—y—2=o的距離有最小值比.

2

故選：D.

16.已知直線/:丫=24;-四〃與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、

8在準(zhǔn)線上的射影分別是4、%,若四邊形AA8片的面積為54及，則。=()

4

A.4B.3C.~D.4-\/2

【答案】D

【解析】

【分析】

將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公

式以及梯形的面積可得出關(guān)于。的等式，即可解得正數(shù)。的值.

【詳解】

拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-5,設(shè)點(diǎn)A（XQJ、8（%,%）,設(shè)y＞o,

則4（-與“、S［，,%），

易知直線/過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，聯(lián)立\〉；2后x-丘p,可得4/-5*+/=0,

［y=2*

解得廠，,4r-，即點(diǎn)A（P，&）、8作,一［。］,

.2

n

由拋物線的定義可得1AAi|+忸聞=體用=芭+々+〃=彳〃，

所以，四邊形4A陰的面積為s=；（kA|+忸聞）.帆-％卜票p2=54&,

因?yàn)?。?,解得°=4夜.

故選：D.

17.已知命題p：2＜“＜：或:＜相＜3是方程/一+上=1表示橢圓的充要條件;

命題g/=敬是。、b、c成等比數(shù)列的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是

（）

A.-p7fB.p^q

C.PAfD.

【答案】B

【解析】

【分析】

分別判斷p、q命題的真假性即可.

【詳解】

+上＞=1表示橢圓，

m-23-m

"?一2>0m>2

則卜-〃2>0

=<m<3=2<m<一或一vm<3,???命題p為真命題，即為假命

22

"1一2H3一〃75

m手一

2

題;

若b?=ac,則可能h=0,a=0,此時(shí)“、尻c不成等比數(shù)列；若a、b、c成等比數(shù)

列，則匕2=℃，...^=ac是。、氏c成等比數(shù)列的必要不充分條件，...命題q為真命

題，F(xiàn)為假命題.

故選：B.

18.已知點(diǎn)P在拋物線C：V=4x上，若以點(diǎn)尸為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x

軸相交的弦長(zhǎng)為6,則以0P為直徑的圓與準(zhǔn)線/的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相交C.相離D.不能確定

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義可知圓尸過(guò)點(diǎn)

F（1,O）,再根據(jù)圓與x軸相交的弦長(zhǎng)，即可得到打,從而得到尸點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出

|。尸|及0P的中點(diǎn)，即可判斷；

【詳解】

解：依題意拋物線的焦點(diǎn)為F（LO）,準(zhǔn)線為x=-l,根據(jù)拋物線的定義可知|尸尸|即為

圓尸的半徑，即圓P過(guò)點(diǎn)尸。,0）,因?yàn)閳A與x軸相交的弦長(zhǎng)為6,所以與=1+3=4,

又點(diǎn)尸在拋物線上，所以力=±4,即/4,4）或尸（4,T）,所以

|葉“，+4，=40,OP的中點(diǎn)為（2,2）或（2,-2）,點(diǎn)（2,2）或（2,-2）到準(zhǔn)線的距離

d=2—（―1）=3>20,所以以O(shè)P為直徑的圓與準(zhǔn)線/相離；

故選：C

19.已知圓C:/-2x+y2=o,則圓心C到直線x=3的距離等于（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圓心的坐標(biāo)，即可求得圓心C到直線x=3的距離.

【詳解】

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-l『+y2=i,圓心為C（l,0）,故圓心C到直線x=3的距離為

|1-3|=2.

故選：C.

20.設(shè)函數(shù)/(犬)=*"室+(2』，3卜(aeR)圖象在點(diǎn)(1,/(1))處切線為/,

則/的傾斜角夕的最小值是()

A.巴B.巳C.至D.里

4364

【答案】D

【解析】

【分析】

本題先求導(dǎo)后算出函數(shù)/⑶在x=l處的切線的斜率，然后利用-l<sina<l以及基本

不等式求最值.

【詳解】

解：由題意得：

V/(x)=2sina-'x2+(2-sina-3)x

函數(shù)/(X)在x=1處的切線的斜率k=f'm=2sina+2*0-3.

-l<sinfz<l,

2-，W2Sin6f<2.又2如。+2-疝022.2,訪〃.2Tm0=2,當(dāng)2淅。=2-$強(qiáng)時(shí)等號(hào)成立即

sin?=0.

k的最大值為幻ax=2+2-1-3<0,k的最小值為峨,=-1,

函數(shù)"X)在x=1處切線的傾斜角夕，當(dāng).

故選：D

21.設(shè)函數(shù)〃力=，+。(尤-1)+)在區(qū)間［05上存在零點(diǎn)，則/+〃的最小值為

()

A.eB.e2C.7D.3e

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)r為f(x)在［0,1］上的零點(diǎn)，可得e'+a("l)+b=0,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(。力)在直線

2t

(f-l)x+y+e'=0上，根據(jù)/+從的幾何意義，可得、+從2(_1+］,令

響，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案?

工("1：)=+1

【詳解】

設(shè)，為/(X)在［0,1］上的零點(diǎn)，貝Ijd+a(f—l)+力=0,

所以?！猯)a+b+e'=0,即點(diǎn)(。力)在直線(f—l)x+y+d=0,

又/+〃表示點(diǎn)g,b)到原點(diǎn)距離的平方，

則潟7?即,+冷京？

2e”(?-2r+2)-e"(2/-2)2e2'(t2-3/+3)

令(尸擊，可得g'S=

g71(一-2r+2)2(r-2z+2)2

因?yàn)閑">0,『-3r+3>0,

所以g'⑺>0恒成立,

可得g(。在［0,1］上為單調(diào)遞增函數(shù),

2

所以當(dāng)f=l時(shí)，g(')max=g(l)=e,

所以即/+y的最小值為

故選：B.

22.若不等式而叫2+(a-In對(duì)任意awR,be(0,k)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是()

(11(6C.(-<?,&]D.(-<x),2]

I2」(2

【答案】B

【解析】

【分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線V=x與曲線/(x)=lnx上的點(diǎn)的距離最小值12%,利用導(dǎo)數(shù)的幾

何意義求/(X)上斜率為1的切線上切點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求最小距離，即可

得m的范圍.

【詳解】

設(shè)7="(。_32+3一］門。)？，則T的幾何意義是直線丫=》上的點(diǎn)P(a,a)與曲線

〃x)=lnx上的點(diǎn)QS,ln。)的距離，

將直線>=x平移到與面線/(x)=lnx相切時(shí)，切點(diǎn)Q到直線丫=》的距離最小.

而:(X)=L令/(%)=,=1,則%=1,可得。(1,0),

X尤0

此時(shí)，Q到直線y=x的距離且普=4，故IPQI而小也，

V222

所以機(jī)〈也^.

2

故選：B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線與曲線上點(diǎn)的最小距離d且"2機(jī)，結(jié)合

導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)線距離公式求機(jī)的范圍.

22

23.已知B,凡是雙曲線C：=-馬=1(?>0,/?>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的離心率為

a-b

5,點(diǎn)P(%,%)在C上，恒銃<0,則.％的取值范圍是()

A.(-3”,3a)B.(-3a,-a]U[a,3a)

【答案】D

【解析】

【分析】

當(dāng)耐麗:0時(shí),得(c—Xo)(c+/)=/(§■—1),要由e=5,解得片=黑，故當(dāng)

所?朋<()時(shí)，即可得到答案.

【詳解】

設(shè)C的焦距為2c,離心率為e.當(dāng)所?麗=0時(shí)，由平面幾何知識(shí)得(c-x0)(c+x°)=

62(4-D>解得x；=a"2c：/)=/(2e：T)Ye=5,.?.片=竺必.根據(jù)雙曲線C

ace25

上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍以及平面向量?jī)?nèi)積的幾何意義可知，當(dāng)所?匡'<0時(shí)，實(shí)數(shù)

77

%的取值范圍是(-]。,-a]U[a,ya).

故選：D.

24.已知正方體ABCD-AAG。的棱長(zhǎng)為3,動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面BCC4上運(yùn)動(dòng)(包括邊

界)，且則。M與平面ADDA所成角的正切值的取值范圍為()

【答案】B

【解析】

【分析】

找到點(diǎn)M在平面ADRA的投影為點(diǎn)M在平面平面上，建立平面直角坐標(biāo)

系，求出點(diǎn)N的軌跡方程，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出。代€[3,舊],從而求出答案.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)M在平面的投影為點(diǎn)M則|MN|=3,所求線面角為。，則

\MN\3

tan0=I—1=1—因?yàn)镸q=2M8,所以M4,=2M4,在平面ADRA上，以A為

坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為x軸，AA為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,0）,4（0,3），設(shè)N（x,y）,西+仆可=2^+/,化簡(jiǎn)得：

V+（y+i）2=4,（x20,yN0）,故點(diǎn)N的軌跡為以〃（0,-1）為圓心，半徑為2