第6講剛體力學(xué).教師版

第六 剛體動(dòng)力進(jìn)一步的分析陀螺的運(yùn)動(dòng)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們用鞭子，讓陀螺越轉(zhuǎn)越快，剛體的動(dòng)力學(xué)也可以知識(shí)點(diǎn)先研究一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題：一跟長(zhǎng)為L(zhǎng)O無(wú)阻力的轉(zhuǎn)動(dòng)，另一FOrm的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情首先我們?nèi)ッ枋鲞@種運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)xva并不一樣，但是它們的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，角速度，角加速度（α，不過(guò)這個(gè)字母太容易和a弄混）是一樣的。復(fù)下它們的關(guān)系

v

且a那么解答這個(gè)問(wèn)題并不難，可以使用定律進(jìn)行計(jì)算，注意到輕桿受合外力為零，所以質(zhì)點(diǎn)NFLNr再質(zhì)點(diǎn)，由定律知道：

FLmr2動(dòng)。從這個(gè)方程我們可以看出來(lái)，F(xiàn)實(shí)質(zhì)是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系的外作用，但決定轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的是其力mr2這部分是轉(zhuǎn)動(dòng)體系的一種屬性量，其大小會(huì)牽制外力矩的導(dǎo)致的角加速度。形象的結(jié)mr2叫做質(zhì)點(diǎn)相對(duì)與一個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。顯然相同的質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣每個(gè)質(zhì)點(diǎn){mi}依次對(duì)桿的力為{Ni}，F(xiàn)LNiiFLmriMr2

其中r2dmJdmdr的關(guān)系，再對(duì)含著r的式S（簡(jiǎn)稱瞬心）為基點(diǎn)。瞬心A點(diǎn)距離為vASASABAS質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)再疊加整個(gè)剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述的轉(zhuǎn)動(dòng)。比如高臺(tái)跳水，無(wú)論人在空中做的動(dòng)作多么花哨,的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的軌跡一定是一個(gè)斜拋的拋物線，因?yàn)楦鶕?jù)質(zhì)心系定律心處的加速度等于外力與質(zhì)量之比不考慮阻力的g。，，心的平動(dòng)疊加相對(duì)于輪心處的轉(zhuǎn)動(dòng)去描述。正好質(zhì)心的加速度一定之受外力（比如地面的摩擦）rrr過(guò)圓環(huán)中心與環(huán)面垂直r

轉(zhuǎn)軸沿圓環(huán)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)J

mrJ2r r

轉(zhuǎn)rlJ1mr21轉(zhuǎn)rlJ 2l 過(guò)圓柱體中心軸線轉(zhuǎn)軸l

通過(guò)圓柱中心且與軸線 J

J1ml3 J2mr5

J23【例1ml的細(xì)長(zhǎng)均勻棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是否與繞著質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的慣量相同？JLx2dxLx2Mdx1 J205Lx2dx205Lx2Mdx

0繞端點(diǎn)

【說(shuō)明】有的班了積分，就推一下，有的班可能學(xué)生不大會(huì)用，定性分析一下就行。本題的目的【補(bǔ)充】平行軸定d的定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則為：J=Jc+md2?！纠?m1mgl1ml2ac 2T4【例3】證明一個(gè)在粗糙水平地面上做純滾運(yùn)動(dòng)，理論上其不會(huì)停下f，則f/m，但是以最低點(diǎn)為軸，發(fā)現(xiàn)外力矩為零，所以角加速度為零，顯然，所以f必為零?！窘馕觥吭O(shè)靜摩擦為f， 定律mgsin2mr2

輪心為軸，由于慣性力過(guò)軸，所以fr5r聯(lián)立得：f2mgsin7a5gsin7又因?yàn)椴换瑒?dòng)，所以所以2tan7

【例5mrIm1m2的物體，求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。r【解析】如圖建立圖示坐標(biāo)系物體rm1gT1m1aT2m2gm2aTrTr

a a/

(mm)r2 a(m1m2)r2 (m1m2

(2m2r2I)m1g

(2m2r2I)m2

)r2

)r2

)r2

知識(shí)點(diǎn)

t2MdtJddt

t2Mdt

2ω

其中，J1、1J2、2分別表示始末狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度。L學(xué)表述為

J2ω2例題精講位置上.Mv在同一平面面內(nèi)飛來(lái)，正好于棒下端相碰，設(shè)碰撞【解析】設(shè)角速度Mvl解得ml

ml3

2【例7M1、M2R1、R2，開始時(shí)各自的角速度分別為1、2，現(xiàn)將它們緩慢移近使之接觸。求兩圓柱

tt

M2R1tR2fdtI2

I11MR2，I1MR

1 2M1R11M2R22，M2R22M1

R1(M1M2 R2(M1M2L1(MR2MR2

11 22L2L2

R2

R2

11

22MM[R2R2RR()]2M2RL

1 2

M M1

M】m的人，站在臺(tái)的邊緣繞臺(tái)奔跑一周。求相對(duì)與地面而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角J1J'

J1MR2，J'2

mR20

2mM

M2mM

tdt

Mtdt2mdt

0 M

M知識(shí)點(diǎn)dWFdrFrsindM

W2MdWMddWJdJd dWJdd(1J2)

W2Jd1J21J

1E1J1

E1J21Mv21J 2例題精講mgh1mv21I 2

vc圓柱：J

1mR2

2mR2

25434365107vc

，vc

，vcmmvc0x方向運(yùn)動(dòng)，并具有逆時(shí)針?lè)较虻某跏冀撬俣?，設(shè)

2R 【解析】開始使乒乓球與桌面的接觸點(diǎn)P具有初速度vP0vc0R00，乒乓球向右平動(dòng)，一邊倒著轉(zhuǎn)動(dòng)。它在水平方向受到滑動(dòng)摩擦力mg的作用，按質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

vcvc0

mgR

d2mR2

3

c 2當(dāng)

3vc0

2

2

當(dāng)tt1vc0，0，質(zhì)心開始，但接觸點(diǎn)P的速度vPvcR0，滑動(dòng)摩擦力沿x的負(fù)方向，驅(qū)使質(zhì)心加速，而其力矩則繼續(xù)減緩轉(zhuǎn)動(dòng)，直到接觸點(diǎn)P的速度減小到零。vP0t2R3gt

gt

0t2R0

2 2

自tt2vv

2

32

c0

vc2

3vc0

5

2RJTJm2mr2r的兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘在一起，可繞通過(guò)盤心且垂直m的重物，如圖，求OmmOmm答案I9mr22

2g

1911年荷蘭物理學(xué)家卡曼林-昂尼斯（1853～1926年）首先發(fā)現(xiàn)在4.173K（（如b3NbAl等（或“臨界溫度Nb3e（23.K19