三角形的三種重要線段的應用

關于三角形的三種重要線段的應用第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六三角形的角平分線、中線和高是三角形中三種重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我們需要從不同的角度認識這三種線段．第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六1應用三角形的角平分線的應用類型1三角形角平分線定義的直接應用1.

(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為角平分線的三角形有________________；(2)如圖，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，計算∠3的度數(shù)，并說明AE是△DAF的角平分線．△ABC和△ADF第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：(2)因為AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因為∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°.所以∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因為∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分線．第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六2.

如圖，在△ABC中，BE，CD分別為其角平分線且交于點O.(1)當∠A＝60°時，求∠BOC的度數(shù)；(2)當∠A＝100°時，求∠BOC的度數(shù)；(3)當∠A＝α時，求∠BOC的度數(shù)．類型2求三角形兩內(nèi)角平分線的夾角度數(shù)第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：(1)因為∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因為BE，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×120°＝60°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六(2)因為∠A＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因為BE，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×80°＝40°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六(3)因為∠A＝α，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因為BE，CD為△ABC的角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝90°－α.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－＝90°＋α.第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六第(1)(2)問很容易解決，第(3)問就是類比前面解決問題的方法用含α的式子表示．第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六2應用三角形的中線的應用類型1求與中線相關線段長的問題3.如圖，已知AE是△ABC的中線，EC＝4，DE＝2，則BD的長為(

)A．2B．3C．4D．6A第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六4.如圖，已知BE＝CE，ED為△EBC的中線，BD＝8，△AEC的周長為24，則△ABC的周長為(

)A．40

B．46

C．50

D．56A同類變式第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六因為△AEC的周長為24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因為BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因為ED為△EBC的中線，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.故選A.第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六6.如圖，在△ABC中，D為BC上一點，E，F(xiàn)分別為AD，BE的中點，且S△ABC＝8cm2，則圖中陰影部分的面積是________．類型2求與中線相關的面積問題2cm2第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六3應用三角形的高的應用8.如圖，已知AB⊥BD于點B，AC⊥CD于點C，AC與BD交于點E.△ADE的邊DE上的高為________，邊AE上的高為________．AB類型1找三角形的高DC第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六9.【動手操作題】畫出圖中△ABC的三條高．(要標明字母，不寫畫法)類型2作三角形的高解：如圖．第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六10.如圖，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC邊上的高AD＝4.求：(1)△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)AD∶BE的值．類型3求與高相關線段的問題第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：(1)S△ABC＝

BC·AD＝×4×4＝8.因為S△ABC＝

AC·BE＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD∶BE＝4∶＝.第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六11.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，G.試說明：DE＋DF＝BG.類型4證與高相關線段和的問題第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：如圖，連接AD，因為S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以

AC·BG＝

AB·DE＋

AC·DF.又因為AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.“等面積法”是數(shù)學中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關系時，常將線段的關系轉(zhuǎn)化為面積的關系來解決．第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六思考題1.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分，求這個等腰三角形的三邊長．2.如圖，△ABC的面積為16，點D是BC邊上一點，且BD＝BC，點G是AB邊上一點，點H在△ABC內(nèi)部，BD∥GH，且BD＝GH.則圖中陰影部分的面積是(

)A．3B．4C．5D．6B第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六1解：設AD＝CD＝xcm，則AB＝2xcm，BC＝(15＋6－4x)cm.依題意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，則有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.當x