不定積分的計算

關(guān)于不定積分的計算第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，設(shè)置中間變量.過程令說明結(jié)果正確一、第一換元積分法第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六對于形如的積分，設(shè)如果連續(xù)，且則該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明這種積分方法也叫做“湊微分法”。第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六定理1可導(dǎo),則有換元公式設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=(x)連續(xù)如何應(yīng)用上述公式來求不定積分?

則使用此公式的關(guān)鍵在于將化為的形式，假設(shè)要求所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法.第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例1求解u=2x+1,du=d(2x+1)

=2dx,則想到公式注意換回原變量第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例2求解：則想到公式第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六

這種換元法又稱為湊微分法或配元法,即引進(jìn)一個新變量以代替原來的變量,對于變量代換熟練以后,可以不寫出中間變量u.例1求解法二：第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例3求一般地,有第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例4求類似第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例5求一般地,有第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例6

求解說明:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)(如正弦函數(shù)和余弦函數(shù))相乘時，拆開奇次項去湊微分.第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例7求第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例8求一般地,有第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例9求一般地,有第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，卻沒有一般的法則可循．這種方法的特點是湊微分，要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如,等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子．第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例10求第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例11求第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例12求第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例13求第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例14求第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例15求第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六解類似可得例16.

求第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六小結(jié)積分常用技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;湊微分法（陪元方法）(4)巧妙換元或配元。利用積化和差;分式分項等;利用倍角公式,如第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)P1551(1)--(18)第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六二、第二換元積分法設(shè)將積分化為若則若對結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計算，則可知其正確性。第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例1

求解令則于是第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例2

求解令第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例3

求解令第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六三、分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或

分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題的.第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例1.

求解:令則原式=

分析：被積函數(shù)xlnx是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積,采用分部積分.第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例2

求積分解（一）令顯然，

選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令

分析：被積函數(shù)xcosx是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積,采用分部積分.第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六(1)v要容易求出;

容易積出.

分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇一般來說，選取的原則是：第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六

解題技巧：

分部積分法求不定積分的關(guān)鍵是要確定u，由計算的經(jīng)驗，可以得出以下順序：“反（反三角函數(shù)）、對（對數(shù)函數(shù)）、冪（冪函數(shù)）、指（指數(shù)函數(shù)）、三（三角函數(shù)）”，當(dāng)兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為u.即把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按

“

反對冪指三”的順序,前者為后者為第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例3.

求解:令,則原式=第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例4求解設(shè)u=arctanx,v′=x,則“

反對冪指三”前者為后者為第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例5求解設(shè)u=lnx,dv=dx,則“

反對冪指三”前者為后者為第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例6求設(shè)u=x2,,

則du=2xdx,v=-cosx,于是解：第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例7求

上式最后一項正好是所求積分,移到等式左邊然后除以2,可知exsinx的一個原函數(shù)為第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六說明:分部積分題目的主要類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型要一致,

解出積分后加C)第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六不定積分計算練習(xí)題第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例1

求解:

令則故原式注意換回原變量想到公式第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期六例2求解u=2x+1,du=2dx,則想到公式第四十三