矩陣分解-SVD分解(完整版)實(shí)用資料

矩陣分解——SVD分解（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

定義：設(shè)A是m*n矩陣，AHA的特征值為，則稱為矩陣A的奇異值，r為A的秩。存在m階酉矩陣U和N階酉矩陣V，使得，其中。矩陣分解——SVD分解（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）在matlab中的實(shí)現(xiàn)為：（1）S=svd(A)-----僅返回A的奇異值S（2）[U,S,V]=svd(A)------返回完全的形式構(gòu)造矩陣>>A=reshape(1:12,4,3)A=159261037114812求矩陣的奇異值>>S=svd(A)S=25.43681.72260.0000矩陣的分解>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.40360.73290.41200.3609-0.46470.2898-0.8184-0.1741-0.5259-0.15320.4006-0.7345-0.5870-0.59620.00570.5477S=25.43680001.72260000.0000000V=-0.2067-0.88920.4082-0.5183-0.2544-0.8165-0.82980.38040.4082在這里我們知道，U*S*Vans=1.46828.8076-5.22222.185210.3842-5.23382.902111.9609-5.24553.619113.5375-5.2572其并不為原始的A.應(yīng)用：很多情況下，線性方程組Ax=b沒有解，因此我們計(jì)算其最小二乘解，即使得||Ax-b||2最小的x，設(shè)A的SVD分解為，由于2-范數(shù)具有酉不便性，因此||Ax-b||2==，由此Ax=b的最小二乘解即是的最小二乘解。令，，的最小二乘解為，所以原方程組的最小二乘解為：。示例：求線性方程組構(gòu)造矩陣>>A=[12;23;24];>>b=[123]';判斷有無解>>rank(A)ans=2>>rank([A,b])ans=3由于rank(A)！=rank([A,b])，所以方程無解。求解U,S,V>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.36300.2612-0.8944-0.5840-0.81180.0000-0.72610.52230.4472S=6.1537000.363400V=-0.4848-0.8746-0.87460.4848求解yy=U'*b./([diag(S);1])這里的1是用來保證位數(shù)的運(yùn)算的，沒有別的含義y=-0.60280.56270.4472>>y(3)=0用完之后要消除這個(gè)數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)根本不存在，上步是在運(yùn)算的時(shí)候?yàn)榱吮ＷC運(yùn)算所加的y=-0.60280.56270求x>>x=V'*y(1:2)x=-0.20000.8000南京理工大學(xué)碩士學(xué)位論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用姓名：張少欽申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：黃振友20210623堡主迨奎二耋塹墮絲坌簦至箜堂坌堡壟基型墼壁望堡塑查旦摘要０－ＩＬｏ本文主要討論的是矩陣微分算子ｉ１ＩＪＩ的譜分解，其中￡是半直線上的極限點(diǎn)型的非負(fù)自伴Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．假定Ｌ只有連續(xù)譜的情況下，分別對(duì)Ｌ的譜下界大于零和等于零的兩種情況作了討論．本文將該矩陣算子酉等價(jià)于某平方可積函數(shù)空間上的乘法算子，具體構(gòu)造了這個(gè)酉等價(jià)，利用這個(gè)表示方法研究了這類微分算子生成的酉算子群在出射入射空間的作用．關(guān)鍵詞：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子；極限點(diǎn)型；譜表示；本性自伴．Ａｂｓｔｒａｃｔ碩士論文ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐ一髓ａｔｏｒ；０．－＇／，ｗ婦￡；ｓ齜一咖ｓｅ螂。酞ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ印一ｒ鼴ｈａｌｆ－ｌｉｎｅ，ｗｉｔｈＬｈａｖｉｎｇｏｎｌｙｃｏｎｔｉｎｕｅｉｎｔｗｏｃａｓｅｓ，ｏｎｅｓｐｅｃｔｒｕｍ．ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｅｌｅａｓｔｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆＬｉｓｚｅｒｏ，ｔｈｅｏｔｈｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｚｅｒｏ．ＷｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｂｅｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒＯｎｓｏⅡ玲ｓｑｕａｒｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｐａｃｅ．Ｂｙｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｉｎｔｈｅｉｎｃｏｍｉｎｇａｎｄｏｕｔｇｏｉｎｇｓｐａｃｅｓｉｎｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅｏｐｅｒａｔｏｒ；ｌｉｍｉｔ－ｐｏｉｎｔ；ｓｐｅｃｔｒａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｅｓｓｅｎｔｉａｌｓｅｌｆａｄｊｏｉｎｔｎｅｓｓ．Ⅱ聲明本學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下取得的研究成果，盡我所知，在本學(xué)位論文中，除了加以標(biāo)注和致謝的部分外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。與我一同工作的同事對(duì)本學(xué)位論文做出的貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明。研究生簽名：毯２級(jí)二。／。年鄉(xiāng)月衫日學(xué)位論文使用授權(quán)聲明南京理工大學(xué)有權(quán)保存本學(xué)位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部?jī)?nèi)容，可以向有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交并授權(quán)其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部?jī)?nèi)容。對(duì)于保密論文，按保密的有關(guān)規(guī)定和程序處理。研究生簽名：２９／。年ｂ月眵日碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用１引言Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．討論這種類型的算子的動(dòng)力大致來自如下兩方面．本姓要討黼是脅心：卜揀輒是半直線郴一．Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射在研究波動(dòng)方程的過程當(dāng)中，ＰＤ．Ｌａｘ與Ｒ．Ｓ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ發(fā)展了一套以他們名１．１字命名的散射理論【２９】，和其它散射理論［３４，３９】一樣，Ｌａｘ．ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射理論的目的也是構(gòu)造波算子、研究散射矩陣的解析性質(zhì)等，其基礎(chǔ)是他們發(fā)展起來的出射空間和入射空間的技巧．稍微具體地講，Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ的方法是用以構(gòu)建具有下面性質(zhì)的物理系統(tǒng)的散射理論：１．彤是一個(gè)Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，【，（『），一∞＜ｔ＜＋００是澎中的單參數(shù)強(qiáng)連續(xù)酉算子群，這個(gè)物理系統(tǒng)的演化可以由這個(gè)算子群刻畫．２．澎中存在兩個(gè)子空間Ｄ＋，Ｄ－，分別稱為出射和入射空間，它們滿足下面的性質(zhì)：（ａ）Ｕ（ｔ）Ｄ—ｃＤ一，ｔ≤ＯｒＵ（ＤＤ＋ｃＤ＋，ｔ≥Ｏ：（ｂ）ｎｆ《ｏＵ（ｔ）Ｄ一＝｛０ｌ－－Ｎｌ＞ｏＵ（ｔ）Ｄ＋；（ｃ）Ｕ腺Ｕ（力￡Ｉ＿＝鄉(xiāng)纊＝Ｕ炬ＲＵ（ｔ）Ｄ＋．如果Ｄ＋和Ｄ一是正交的，那么Ｋ：＝澎Ｏ（Ｄ＋ｏＤ一）是算子群Ｕ（力的不變子空間，令ｚ（０＝ＰｘＵ（力Ｉｘ，這里Ｐｘ是從澎到子空間Ｋ的正交投影算子．可以證明【２７】，算子族｛ｚ（ｏＩｔ≥０）是Ｋ上的強(qiáng)連續(xù)壓縮半群，將它稱為Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群．假設(shè)半群Ｚ（ｆ）的生成元是算子曰，那么算子Ｂ的譜的性質(zhì)和散射理論中的散射矩陣ｓ的解析性質(zhì)有密切的聯(lián)系，可以參看【７，２７，２９，４８，４９，５１］，以及這些文獻(xiàn)中列出的其它資料．關(guān)于Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射理論的詳細(xì)內(nèi)容可以參看文獻(xiàn)［２７，２９］．１１引言碩士論文Ｌ擗Ｐｈｎ：ｌｉｐｓ散射理論是六十年代發(fā)展起來的，爾后，ＡｄａｍｙａｎＬ＝ｊＡｒｏｖ的－Ｉ－作［１，２，３】又進(jìn)一步發(fā)展了這一理論．然而，Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ【２５］指出，想要將Ｌａｘ．后，做了一系列的工作【２１，２２，２３，２４，２５］．他從算子微分方程ｔ百ｄｄ［ｔ）＝一ｖｆｆ朋）（ｆ）Ｕ＝ｌ降‘力～ｆ掰１【１，Ｊｌ，則可將上面的抽象算子微分方程（１．１）化為下面的形式：罨孑＝一Ｏ，一０Ｊ】ｕ＝ｚＱ以其中吲Ｏ，升我們有必要對(duì)算子Ｑ的譜的性質(zhì)做一些討論．目前，矩陣Ｑ中的算子Ｌ多是全空間Ｒｎ（ｎ≥３）上的Ｓｃｌｌｒ甜ｉＩｌｅｒ算子【２３，３２，４８］，文獻(xiàn)［３２】簡(jiǎn)單地討論了三維空間中的表示問題，【４２】處理的是有阻尼的二階常微分方程，但他們實(shí)際上都沒有給出確切的譜表示．而關(guān)于Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜理論較ｎ維空間的Ｓｃｈｒ砌ｎｇｅｒ算子要清楚，所以受虱Ｊ［３２，４２］的啟發(fā)，本文利用近年來關(guān)于Ｓｔｕｒｒｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜和譜表示的理論來討論算子Ｑ的譜表示．利用譜表示，我們可以推導(dǎo)一些Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ）∈于出射入射空間的結(jié)論，給出有關(guān)抽象理論的一些具體應(yīng)用．碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用１．２共振問題另一方面，在共振的研究中也涉及到了這種矩陣微分算子，共振的嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論發(fā)展的時(shí)間并不是很長(zhǎng)，但是發(fā)展很快，關(guān)于共振的詳細(xì)內(nèi)容可以參考［５，１６，３９，４０，４８，５３】，和他們列出的參考文獻(xiàn)，以下三方面的工作是本文討論算子ａ的譜分解的又一動(dòng)力：１．Ｂ．Ｓｉｍｏｎ在文章【４４】中證明了在一維情況下，具有快速下降的勢(shì)函數(shù)的ＳｃｈｒｉＳｄｉｎｇｅｒ算子（即Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子）各種共振的定義是一致的．這些定義最終都可以用某些邊值問題來刻畫．２．Ｊ。ＳｊＯｓｔｒａｎｄ與Ｍ。Ｚｗｏｒｓｋｉ在【４８】證明了聊仍≥３）的奇數(shù)維情況下，具有緊支撐勢(shì)的Ｓｃｈｒ＆ｌｉｎｇｅｒ算子一△＋ｙ導(dǎo)出的矩陣算子（一△０＋ｙ三】得到的Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群的生成元Ｂ的特征值與一△＋’，的預(yù)解式定義的共振點(diǎn)一致，這提供了一種將共振點(diǎn)和某個(gè)算子的特征值聯(lián)系起來的方法．３．ＹＳｔｒａｕｓｓ、Ｈ．Ｂａｕｍｇ缸－ｔｅｌ等人同樣希望用Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群的生成元去刻畫共振【７，４９，５０，５１】，但是，一方面他們是直接利用系統(tǒng)的Ｈａｍｉｌｔｏｎ算子Ｈ而不是轉(zhuǎn)化成矩陣㈥（化成矩陣只是解決問題的一種可能性，至于是轉(zhuǎn)化到矩陣算子還是直接用系統(tǒng)的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量臀是需要認(rèn)真考慮的問題），另一方面他們利用了裝備空間的理論，但值得注意的是Ｂ．Ｓｉｍｏｎ在【４３］曾經(jīng)指出裝備空間的方法對(duì)共振問題是否有效也是存有疑問的．在上面第２、３點(diǎn)的啟發(fā)下，為了迸一步研究一維共振問題，我們有必要研究Ｌ是半直線的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的情況下矩陣微分算子Ｑ的譜的性質(zhì)及其表示，并２預(yù)備知識(shí)碩士論文希望在后續(xù)的工作通過研究半群的生成元而能夠得到與瞰】類似的結(jié)論，即用邊值問題去描述共振，這樣可以使實(shí)際應(yīng)用更為方便，這也是物理學(xué)家感興趣的［４，３１］．本文第一部分介紹文章涉及的一些基本知識(shí)，主要是稠定閉算子的性質(zhì)，以及Ｑ的本性自伴性，第二部分假定Ｌ是滿足ｏ－（Ｌ）＝％（Ｄ＝【ｏ，＋∞）和“Ｄ＝ｏｒＡＬ）＝陋，＋∞），ａ＞０的半直線上的極限點(diǎn)型Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，利用極限點(diǎn)型算子的譜表示給出了Ｑ的自伴延拓的譜表示（定理３．１，定理３．５），并且利用這個(gè)譜表示研究了算子微分方程導(dǎo)出的酉算子群在出射入射空間的作用（定理３．６，定理３．９）．２預(yù)備知識(shí)２．１自伴算子譜理論這節(jié)介紹有關(guān)對(duì)稱算子的一些有關(guān)性質(zhì)．由于閉算子、對(duì)稱算子、自伴算子的概念在普通的泛函分析的書中都可以找到，這里就不再給出它們的定義，而是著重給出與這些算子的性質(zhì)有關(guān)的定理．定理２．１、推論２．２見［１８】的１４８頁，定理２．３見【１８］的１５６頁，定義２．１和定理２．４見【１９】的１５５頁和１５８頁的注２．７．７．定理２．１．１１８１設(shè)ｒ；是＿Ｉ－ｌｉｌｂｅｒｔ空間Ｈ上的稠定算子．剛（１）Ｔ’為閉算子：Ｑ）Ｔ可閉的從要條件是９（丁’）稠，這對(duì)于＝Ｔ“；（３）若ｒ可閉．則于＝Ｔ’推論２．２．１１８１設(shè)ｆ是稠定對(duì)稱算子，贓可閉．定理２．３．１１８１設(shè)ｒ是對(duì)稱算子，則下面兩條等價(jià)；（１）Ｔ自伴；（２）Ｔ是閉算子，且ｋｅｒ（Ｔ’４－ｉ／）＝｛０１．４碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用定義２．１．１１９１船是閉算子，玩為勿（ｒ）的線性子空問，若圖８（丁Ｉ玩）在Ｇ（ｒ）中ｊ瓤＿的圖范數(shù)稠，則稱‰為Ｔ的核．定理２．４．１１９１圣２丁是稠定閉算子，那么９（丁‘丁）包含丁的一個(gè)核下面的定理和推論是關(guān)于對(duì)稱算子的譜的刻畫．定理２５．ｆ１８１設(shè)Ｔ為閉對(duì)稱算子，ｔｒ（Ｔ）表昶的譜集合，那么ｏｒ（Ｔ）只有下列情況：（１）閉的上半平面；（２）閉的下半平面（３）全平面（４）實(shí)數(shù)軸陵上的一個(gè)閉集．推論２．６．１１８１設(shè)丁為閉對(duì)稱算子，貝歸自伴的充要條件是礦（?。┰冢疑希玻渤Ｎ⒎炙阕幼V理論在這里就本文涉及到的常微分算子的理論作介紹，所考慮的只是和本文相關(guān)的最簡(jiǎn)單的內(nèi)容．２．２．１極限點(diǎn)型Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子考慮如下Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉＵｃ方程－ｙ７（．力＋ｑ（ｘ）ｙ（曲＝０，工≥０，（２．１）Ｈ．Ｗｅｙｌ［１２】證明了此類方程可以分為極限點(diǎn)和極限圓兩類，本文只涉及該方程的極限點(diǎn)的情況．定義２．２．方程Ｑ．Ｊ）有兩個(gè)線性無關(guān)序９Ｌ２［０，＋∞）解，則稱其在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為極限圓型的，否則稱其在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為極限點(diǎn)型．５２預(yù)備知識(shí)碩士論文邊界條件對(duì)方程理論是極為重要的，而微分算子的自伴性可以通過邊條件刻畫，為了描述微分算子的自伴性，還需要一些其他的概念．令Ｍ＝＿Ｄ２＋ｑ，即坳＝－），，７＋穢．定義２．３．１３０ＩＭ；：ＥＬ２［Ｏ，＋ｏｏ）上生成的最大的算子?。欤_定義如下：ｆｃ勿（乃（加）＝杪ＩＬ２［Ｏ，＋∞），廣∈Ａ％（［ｏ，＋ｏｏ）），一廣７＋∥∈弘［ｏ，＋∞）｝ＴＩ（肘），＝Ｍｆ，ｆ∈９（?。保樱罚桑酉拗圃冢恰保ǎǎ?，＋ｏｏ））得到的算子的最小閉延拓成為肘在乎假＋）上生成的最小算子，記為Ｔｏ（Ｍ）．對(duì)于極限點(diǎn)型Ｓｔｏｒｍ．ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，它的自伴邊界條件有如下刻畫：定理２．７．１３０１設(shè)Ｍ在無窮遠(yuǎn)為極限點(diǎn)型的，Ｔ是ｒ文ｍ的ａ伴延拓，則９（Ｔ）＝｛ｆ∈９（ｒｌ（蚴）Ｉｓｉｎ吖（ｏ）一ｃｏｓ∥（ｏ）＝０｝．２．２．２自伴的極限點(diǎn)蠶Ｏ＿Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜表示下面給出極限點(diǎn)型自伴Ｓｔｕｌ孤．Ｌｉｏｕｖｍｅ算子的譜表示和特征展開定理．假設(shè)Ｏ（ｘ，∞是初始問題瞄２１），，（ｏ，抑＝ｓｉｎｏｔ的解．首先給出空間的表示定理．定理２．８．？３０１存在Ｒ上的非降函黃劬，稱為譜函數(shù)，使得對(duì)任意盼∈Ｌ２［Ｏ，＋∞），存在，∈ｇ（＿ｏｏ，＋ｏｏ），使得＾ｌｉ．ｍ。Ｊ一。ａｏｌ穴∞一ｆ：Ａｏｆ（ｘ）Ｏ（ｘ，，ｔ）ｄｘ［２和ｃ抑＝。，穴加ｒ”八曲‰抑出即（在，∈Ｅ（一ｏｏ，＋∞）意義下）碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用（稱ｆ為ｆ韻廣義Ｆｏｕ沌ｒ變換）并且有Ｉｌｆｌｌ２＝惻仨．，呻∞，咔∞（局哦ｚ坶縱玎等式ｆｌ廠（工）１２姒∞）．Ｊ０Ｉｆ（ｘ）１２ｄｘ＝ｆＪ一”定理２．９．１３０ｌ（特征展開定理）若ｆ∈Ｌ２［０，＋∞１．則ｐ粵佃ｆ卜一ｒ衲吲㈣卜。，即在口【ｏ，＋∞）的意義＾，葉∞八力＝Ｊ穴抑伙工，ａ）ｄｐ（ａ）．■，一∞有了前面這兩個(gè)定理，可以定義如下的等距變換定義２．４．／３０ｌ對(duì)任意盼∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ），定義ｕｆ＝，，那么ｕ是等距算子．可以證明ｕ還是ｒ【ｏ，＋∞）到砰（一∞，＋００）的酉算子，即下面的定理定理２．１０．［３０１設(shè)ｇ∈硨（一∞，＋∞），則存在丁∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ），使得ｐ．，粵佃Ｊ『忙ｆｒｐｇ（ａ）Ｏ（ｘ，ａ）刪卜。目艦Ｃｂ—ｆｏｆ（Ｘ）Ｏ（ｘ，／１）出１２刪－ｏ，即在醇（一００，＋∞）的意義下，刪＝廠”刪厭蹦）出：穴ｎＪ０下面給出關(guān)于極限點(diǎn)型自伴算子的譜的表示定理和相關(guān)推論．定理２．１１．鄺ｏ／謝是Ｔｏ（Ｍ）的自伴延拓，勿（丁）＝｛ｆ∈９（孔（膨））Ｉｓｉｎ，ｚｆ（Ｏ）一ＣＯＳａ，７（Ｏ）＝０）．２預(yù)備知識(shí)貝ｇ碩士論文（Ｊ）ｖｆ∈９（ｒ），稅∥Ｅｇｃ－ｏｏ，＋ｏｏ）且（聊（∞＝航允）；Ｑ）ｆ∈９（ｒ）§Ｚ∥∈弓ｃ－ｏｏ，＋∞）．推論２．１２．［３０１ＩＩＴ／１１２＝ｅｌ航棚１２和（抑，ｆＥ勿（丁）．推論２．１３．，３０ｌ（譜分解的乘法算子形式）宦時(shí)是Ｔｏ（Ｍ）的自伴延拓，則Ｕ：ｆ∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ）一鬈（一∞，＋∞），Ｕｆ＝ｆ＝Ｃ４ｆ（ｘ）Ｏ（ｘｍｘＪ０是酉算子，而？與鬈（一００，＋ｏｏ）上的乘法算子Ａ９（Ａ）＝｛ｇ∈ｇｃ－ｏｏ，＋∞）Ｉ砑∈ｇｃ－ｏｏ，＋∞）｝，Ａｇ＝砧，ｇ∈勿（Ａ）酉等價(jià)．２．３矩陣微分算子的本性自伴性設(shè)澆夕是Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，其上的內(nèi)積記為（?，．）第．我們考慮抽象算子微分方程”玎＝一Ｌ“，“∈。多纊，其中￡是彤上的非負(fù)自伴算子，定義域?yàn)槲穑ǎ?，那么Ｌ的譜滿足ｏ－（Ｌ）￡【０，＋∞），如果假設(shè)Ｏ岳％∞），那么在其上可以定義范數(shù)ＩＩＵ屹２一ｍ（Ｌｕ，Ｍ）澎；Ｙｕ∈勿（Ｄ．８碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用記勿（Ｄ在范數(shù)”ｌＩ毛下的完備化記為ｚ）￡．定義新的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｌＩ（：］ｌＬ＝ｃ￡“，掰，。彩＋ｃＶ，Ｖ，，“∈９㈣，Ｖ∈ａ纊．將算子微分方程化為如下形式：筆芋＝一０，一０，】ｕ＝ｚＱｕ其中㈣（蘭小料纜．設(shè)Ｑ的定義域勿（Ｑ）＝９（Ｄｏ叨∞），直和中的第一個(gè)９旺）應(yīng)當(dāng)理解為ＤＬ的子空間，下面是關(guān)于Ｑ的本性自伴性的結(jié)論．定理２．１４．Ｑ是茲中的本性自伴算子，記吼＝西砜先證明Ｑ是稅中的可閉對(duì)稱算子．對(duì)任意的㈠啷縱㈦咧②，（Ｑ（：：］，（：］Ｌ＝（（：］，（：］Ｌ＝一ｚｃ￡ｖ，力勞＋ｚｕ么，ｇ，彤，ｃｎ，力∥＋ｚｃ厶，ｇ，澎，１１＝一ｉ（（：】，Ｑ（，ｇ即證得Ｑ是對(duì)稱算子．因?yàn)槲穑ǎ眩┰邛F中稠密，于是Ｑ是可閉算子．（Ｑ（：：】，（：）Ｌ＝“：】，Ｑ（：】］。規(guī)２預(yù)備知識(shí)碩士論文下面證明Ｑ己是自伴的．令例一ｚ（：二小一（Ｌ＋１）－１。囂１）?。剑欤?，ｚ－Ｉ－ｉｌｌＩ＝（；ＬＨ：?！埃荩帧啊剩梗?。，ｕ而當(dāng)比取遍了９（Ｌ）時(shí)，犯＋１沁取遍澎，［圍ｌｌｔＲａｎ（Ａ）≥（０）ｏ澎．于是（—芝“】∈尺口ｎ似，，Ｖ“∈９ｃ。，ｉ（ｏＩ＝Ｉ－ｉｕ］，Ｖ“∈勿ｃ。，（二：：］一（二二］＝（＿，］∈忍研ｃＡ，，Ｖ“∈９㈣ｚ－Ｉ－ｉｚ－Ｉ－，ｌｌｌ＝－ｉｕ－ｉｖＩ，Ｖ“，Ｖ∈勿ｃ。．ｖ而Ｒａｎ（Ａ）２（０）ｏ形，因此Ｌ０＋；“１∈脅㈣而一ｉｕ＋ｉＬｖ∈９（Ｄ，可見４的值域的第一變?cè)荒苁俏穑ǎ蹋┲械脑?，于是Ｒａｎ（Ａ）＝９（Ｄｏ澎．因?yàn)椋眩淌牵训拈]延拓，所以ｌＯ碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用且［ＪＲａｎ（Ｑｚ一訂）在旎中稠密，于是對(duì)（Ｑ：＋ｉｌ）ｕ＝０，０＝（（Ｑ：＋ｉｌ）ｕ，ｙ）＝（“，（ＱＬ—ｉｌ）ｖ），１，取遍勿（ＱＬ），則（纜一田’，取遍砌，ｌ（纜一∞，于是“＝０，ｋｅｒ（Ｑ［＋ｉｌ）＝１０１，同樣的，可以證明ｋｅｒ（Ｑ：＋ｉｌ）＝１０｝，由定理２．３，ＱＬ自伴．口３３．１主要結(jié)果當(dāng)Ｌ＝一Ｄ２＋鳥時(shí)，ＱＬ的譜表示預(yù)備知識(shí)中已經(jīng)給出了ＱＬ自伴性的討論，從本節(jié)開始，我們討論Ｌ為特殊的Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的情形，即澎＝Ｌ２［０，＋∞），算子Ｌ＝一薩＋ｇ為驢［Ｏ，＋∞）上的Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，勢(shì)函數(shù)留使得Ｌ是極限點(diǎn)型的，它的邊條件具有下面的形式｛ｆ∈９（Ｔｌ（加）ｌ這里ｆ（Ｏ）ｓｉｎｎｒ一廠（Ｏ）ｃｏｓ口＝０），９（Ｔｌ（加）＝｛ｆＩ，∈ＬＺ［ｏ，＋ｏｏ），廠∈ＡＧ加（【ｏ，＋∞）），丫７＋盯∈鏟【ｏ，＋ｏｏ）），并且勢(shì)函數(shù)和邊條件要使得Ｌ的譜為礦（Ｄ＝ｏ－ｃ（Ｌ）＝【ａ，＋∞），ａ≥０，這樣的勢(shì)函數(shù)和邊條件是存在的并且有具體的例子，例女【Ｉ［３１】０，０≤工＜口；目（勸＝１，ａ≤石≤易；０，ｂ≤ｘ＜ｏｏ．并附以ＤｉｒｉｃｈｌｅｔＪ藝／條件，這咖＝Ｏ；當(dāng)ｇ（力＝１，工≥０，附以Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ邊條件時(shí)，ａ＞０，更多的例子可以參見【３０】．我們先假ｉ受ｏ－（Ｌ）＝Ｏ＂ｃ∞）＝【ｏ，＋∞），這時(shí)ＩＩ．此和詎的圖范數(shù)是不同的，而ａ＞０時(shí)，ｌＩ．此與詎的圖范數(shù)等價(jià)【１７】．琨＝ＤＬｏ驢限＋，∽，ＤＬ的定義如前．下面的定理給出算子吼的譜的情況，在證明中利用了極限點(diǎn)型算子的譜表示定理．１１３主要結(jié)果碩士論文９（Ａ）＝掃∈霹（一ｏｏ，＋∞）Ｉ船∈Ｌ２ｒ（－Ｏｏ，＋ｏｏ）），｛委爰ＦｆＩ＝｝＝Ｃ。ｆ∽ｅ∽ｄｘＪ０勿（Ａ）＝｛ｇ∈鬈（一∞，＋∞）Ｉ砑∈鬈（一ｏｏ，＋∞）｝，碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用協(xié)｛至ｐ（ｏａ）蘭于是對(duì)任意的（：］∈勿ｃ。。口限１定義編＝似Ｌｅ（Ｒ，蚓（認(rèn)∽叫訓(xùn)）礦∈Ｌ２（Ｒ，∽，＿０（０９－４（－ｏｒ）∈Ｌ２（Ｒ川）．ｍ牡礦＊＊ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ。２）ｄｘ－ｉｒ”…諏婦咄＠１，記州＝…卜Ｖ”…期，則妒（力一似一們：缸ｆ”“（曲瞰，ｏ二）ｄｘ，Ｊ０而Ｍ∈９（Ｄ，所以（妒（力一≯（－ｃｒ））ｃｒ∈Ｌ２（Ｒ，辦（礦）），將Ｌ２（Ｒ，ｄｒ（ｃＯ）ｌ－：的范數(shù)記為ＩＩ．１Ｉ，那么№Ｉ｜２＝Ｃｌ礦ｊ『。刪伙五。上）ａｘ—ｆｒＶ（批。上）ｄｘｌ２㈨≤２（ｒｒ㈣馳，ｏ上）ｄｘｌ２ｄ“力＋［Ｉｒ。ｙ（曲吣，ｃｒ２）ａｘｌ２抓力）０ｒ２Ｉ＝２廠”ｃｒ２Ｉｒ”“（工）吠五礦）ｄｘｌ２ａｐ（ｏ－）＋２ｒ”Ｉ［咔。１，∽伙五礦）ｄｘｌ２和（力Ｊ０Ｊ０Ｊ０Ｊ０即≯∈Ｌ２（Ｒ，州們）．１３３主要結(jié)果碩士論文另一方面，階］ＩＩ：Ｉ卜ｆｒｏ＝ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，：）ｄｘ－ｉｆｒｏｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ上）ｄｘＩｌ２＝批ｊ『”㈣眠抽一ｚｊ『。Ｖｃ批，舶１１２＋?。В妫欤海铮锢蚊{ｚｒ”Ｖｃ批，嘞１１２＝忙ｆｒｏｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，恤１１２＋Ｉ曠Ｖｃ榔，批１１２～聃“惦㈦ｋ因此ｕ是勿（Ｄｏ口（Ｒ＋）到編的等距映射，下面證明它是滿射．設(shè)驢∈編，那么妒（們＝至半＋至壘半，Ｖ礦∈Ｒ．ｖ（曲“（曲（３．２）令ｒ絲２－掣鯉口（工，ａｒ２）和（礦），ｒ，’∞∞絲掣吠五，）和（礦）．２礦∥Ｖ、ｎ’’Ｖ，‘‘，。、Ｖ，＇（３．３）（３．４）ｖ、一””¨?！保谱C扣又，’“ＩＩＶ、ｌ由編的定義比∈形礦∈形ｒ”ｌ絲與筍旦１２，擬ｃｒ２）＝ｊ『。腳（力一卅回馴２啾ａｒ２）＜佃．于是Ｕ∈９（Ｄ．從而∥驢鉍因此Ｕ是勿（Ｄ１４ｏ口限＋）到編的等距同構(gòu)．碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ｏ注意到勿（ＤＦ∽）在瑰中稠，下面只要證明編在ｐ偎，?！啊蓿┲谐?，則ｕ可延拓為纜到弘（酞，ｄ“礦））的等距同構(gòu)．在證明之前，我們先簡(jiǎn)述一下證明的想法．由（３．３）和（３．４）式，需要將驢∈褊分解成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，即分解為（３．２）式，相應(yīng)地，瘍也分解成奇函數(shù)空間和偶函數(shù)空間的直和粥￡，ｏ鶿￡，．同樣，我們也將平方可積函數(shù)空間ｒ限，∽分解為奇函數(shù)構(gòu)成的空間砰偎，ｄ，）和偶函數(shù)空間黿皿，ｄｒ）Ｉ拘直和．若磁￡，在日限，ｄｒ）中稠且鶿（，在黿假，ｄ，．）中稠，則韶在口＠，ｄｒ）中稠．下面是編在口限，ｄｒ（礦））中稠的證明．由確的定義，妒的奇函數(shù)部分塑型｛墨型滿足下面的結(jié)論：卻｜ｂｏ頇Ｘ（３．５）令迎裂跚砌佩們蛾∽甕一。哆認(rèn)抑＝．咝亟二鍪二亟！，Ａ＞ｏ，Ｖ／ｔ因?yàn)椋盀檫B續(xù)譜，所以ｐ（｛Ｏ））＝０，所以沙在０點(diǎn)的取值不影響范數(shù)，那么（３．５）就變?yōu)樯场剩蹋裁ィ?，ｄｐ），壢多（∞∈弘（Ｒ＋，ｄｐ），于是由定理２．１１司得Ｈ螂，＝警加咖∈編卜慟ｃ訓(xùn)，｛（妒（們一≯（一一）Ｉ刪ｌ驢∈編）ａｔ（ａ）∈釅（Ｒ＋，ｄｐ）．由定理２．４，、億（９（Ｄ）在弘【ｏ，＋∞）中稠密，于是，，（、敏９（Ｄ））在Ｅ［ｏ，＋ｏｏ）中稠密，因此３主要結(jié)果碩士論文在霹（０，＋∞）中稠密，注意到認(rèn)力一烈一∞的對(duì)稱性，則可知粥ｕ＝｛≯（力一妒（一力¨編）在礙（一∞，＋ｏｏ）的全體奇函數(shù)空間寫皿，ｄｒ）中稠密．另一方面，確中全體偶函數(shù)空間鶿ｕ限制在Ｒ＋上構(gòu)成的集合為｛（≯（們＋妒（一礦））１００Ｉ妒∈搦）由（３．１）式和推論２．１３可得｛（≯（力＋妒（一力）Ｉ。－＞ｏｌ≯∈鄉(xiāng)昂）３Ｆ（Ｌ２［０，＋ｏｏ））于是鶿ｕ中全體函數(shù)限制在Ｒ＋上構(gòu)成的集合在鮮（ｏ，＋∞）中稠密，粥ｕ中的偶函數(shù)在黿（Ｒ，ｄ州拘偶函數(shù)構(gòu)成的集合中稠密，因此，編在口但，ｄｒ（力）中稠．下面計(jì)算ＱＬ的表示，Ｈ船＝㈩＝＝】］（力＝一打ｌ＝ｆｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，礦）出一ｉＩ（ｉＬｕ）（ｘ）Ｏ（ｘ，，）出ｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ－２）ｄｘ（ｈ）（力鞏五。上）ｄｘ—ｋｒｆ＝礦（ｊ『。礦Ｈ∽吠五。上）ｄｘ—ｔｒ。Ｖ∞眠滬，＿州講可見吼表示為Ｌ２皿，ｄｒ（ｏ））的乘法算子．注意到函數(shù)，．在Ｒ上是連續(xù)增長(zhǎng)的，因此口限，ｄｒ（ｏ））上的乘法算子的譜都是連續(xù)譜且為Ｒ所以吼的譜都是連續(xù)譜且為Ｒ．口知道Ｑ的本性自伴性，利用吼的譜表示給出算子ＱＬ的定義域的刻畫．１６碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用推論３．３．勿（純）＝留ｏ９（倆，其中劈＝ｋ仇卜ｊ『”妒ｃ鋤等㈣棚奇函數(shù)，妒∈參）’參：＝ｐ∈鷺（一ｏｏ，＋ｏｏ）Ｉ叫∈鷺（－ｏｏ，＋ｏｏ）｝，這里積分收斂的是翻Ｉ．ＩＩＬ的意義下的，記為．Ｃｏ”妒（壢等和（拋－１１．ＩＩｒ口．＋燭佃ｒ妒（怕等和（∞，ｗ∈勿．注３．４．事實(shí)上．若將ＱＬ表示為ｐ（）ｋｄｎ上的乘法算子，則囝是這個(gè)乘法算子的定義域證明．由定理３．１，９（ＱＬ）可以表示為參，于是并且型掣∈印一）壢型掣∈ｒ［ｏ’刪Ｍ∈勿從而，令則ｖ∈９（廁．反之，對(duì)任意的ｖ∈９（怕，令妒（力＝一ｉ則西∈勿．Ｖ舭ｊ『。華眠礦礎(chǔ)晚ｆ心口瓴礦）出，下面刻畫勿（ＱＬ）的第一變?cè)啥ɡ恚常钡淖C明，９（吼）的第一變?cè)獞?yīng)該變?yōu)椋怪械钠婧瘮?shù)，因此設(shè)矽是勿中的奇函數(shù)，定義９０＝什∈礙【ｏ’刪，痂（力∈巧【０＇刪）．注意到似礦）∈勿兮認(rèn)Ａ）：＝≯（怕∈玩，Ａ＝，３主要結(jié)果碩士論文于是，討論【，．１在奇函數(shù)上的作用（見（３．４）式）就是對(duì)下式賦以新的收斂意義㈣＝ｄ廣ｏ”則）等㈣妒嘞、，Ａ（３．６）注意到掣未必屬于Ｅ【ｏ，＋ｏｏ），由定理２．９，上面的積分交換式（３．６）的定義就成問題了，對(duì)上面的變換式賦以新的意義，可以將酉變換Ｕ表達(dá)得更清楚．先考慮滿足下面條件的函數(shù)沙：沙∈玩，ｓｕｐｐ沙ｃ［口，糾，０＜ａ＜ｂ＜＋ｃｏ．那么沙共伺ｆ、ＩＩＩＩ陰任廁：去∈鬈【０＇＋ｏｏ）；砂∈鬈【ｏ，＋∞）；飯沙∈鬈【ｏ，＋ｏｏ）．于是時(shí)＝ｒ”則）等㈣咧Ｌ）且㈥Ｍ‰㈧勞－（等，等一崛從而ａ．般。＋ｌＩｒ以抑等和ｃ∞旺＝＂鼯。＋ｒＩ妖刪２擬棚＝。，Ｖ沙∈玩，¨＋驄＋。崢ｃ力等刊卜＋恐＋。小馴２刪－ｏ，Ｖ沙慨于是，由Ｃａｕｃｈｙ收斂原理，¨ｏ‰ｒ㈣等㈣在仇中收斂，記為ｒ”則等㈣＝ｌｌ－ｌｌ￡－一ｌｉｒａ洶。ｒ㈣等㈣Ｍ吼口１８碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用定理３．５．設(shè)互是滿足畎均＝Ｏ－ｃ（∞＝陋，＋ｏｏ），ａ＞０的極限點(diǎn)型的自稿＃Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子，那么存在ＲＪ＝的非降函數(shù)ｒ使得ＱＬ與砰（一∞，＋∞）的乘法算子Ａ勿（Ａ）＝｛ｇ∈Ｌ２，（－ｏｏ，＋∞）Ｉ船∈霹（一００，＋∞）｝，Ａｇ＝拋，ｇ∈９（Ａ）酉等價(jià)，從而ＩＱＬ的譜集為（一００，一口】Ｕ［ａ，＋∞）并且都是連續(xù)譜證明．因?yàn)榈V（Ｄ＝【口，＋ｏｏ），４＞０，所以（ｈ，“）彤＝（佤，佤）彩≥ａｌｌｕｌｌ≥．于是仇＝９（面，說＝９（詞。澎，這時(shí)候（３．１）式就可以在旄上定義了：ｍ胂＝礦＊＊ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｃｒ２）ｄｘ－ｉ卜批，恤…Ｒ＠７，另外，在Ａ≤口上譜函郯（抑取零，于是相應(yīng)的函數(shù)ｒ定義如下：ｒ（力＝，下ｏ（ｏ－２），礦＞詬一牮，礦＜一垢，ｒ＇ｌ證明的其余部分和定理３．１是一樣的．３．２對(duì)出射入射空間的應(yīng)用由于【２６】中主要涉及譜下界是零的情況，因此本節(jié)只利用定理３．１得到的譜表示研究吼生成的酉算子群在出射和入射空間上的作用，下面的幾個(gè)命題的結(jié)論可以在參考文獻(xiàn)【２６】中找到，那里需要知道算子半群的技巧、方法，這里由于有定理３．１，為了得到下面的結(jié)論只需要做積分變換和一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算．３．２．１勢(shì)為零的情況考慮下面的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ邊值問題｛荊－ｙ＇＝．。，ｏ－２ｙ１９３主要結(jié)果碩士論文凇郵～－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ鼾訥嗥撇Ｑ一【三升勰場(chǎng)觚｛委曼伙ｘ，口工）＝—ｓｉｎ（ｏ—＇ｘ），工∈Ｒ●，礦∈Ｒ，可以算得譜函數(shù)為［３０】和（礦）＝２萬ｃｒ２ｄｏ－．記饑生成的酉算子群為肌Ｄ至（Ｄ，定義恥㈦ｌｕ?。ǎ?，｝’定理３五（?。ィ?。［二，】］ｃ力＝（一仍Ｔｔｕ∥］ｃ曲，ｒ＞。，“∈９ｃ一磷，（ｕ肌瑤ｃ力（二］ｃ曲］ｃ一＝（ｕ肌ｔ：ａ（ｔ）Ｕ－１Ｕ（ｕ。，】ｃ曲］ｃ力＝汐ｐｒ?！埃銊竦润某鲆唬簦颉薄埃闱住蓿搿蓿妫铮簦埃埃缴常省蹋稀埃üΓ螅椋睿ǎ簦颍洌粨?jù)折ｆ√Ｏ—ｇｏ＝Ｉ“（工）ｓｉｎ（ｏ－（ｘ＋ｔ））ｄｘ—ｉＪ鼴ｕ（ｘ）ｃｏｓ（（ｒｘ）ｄｘ“（．妁ｃｏｓ（ｏ＇（ｘ＋ｔ））ｄｘ＝廣”鯽（曲墅塵幽出一ｆ。廣”（一以力）墅掣出Ｊｏ．３ｔ盯４０．ａ曠＿－廣∞、）ｑ（一以工一力）坐螋出ｏ扎㈣Ｔｔｕ，肛２０碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用于是嘩川ｃ功能Ｚｔｕ∥卜口注３０．從推論３．３可以看到，對(duì)ＤＬ中元素的刻畫不是直接的．這在１２６．Ｐ２１９，Ｔｈ４．２１也是如此，因此在參考文獻(xiàn)１２６１中得到的結(jié)論．雖然比定理３．６全面。但是顯得很抽象，而在后面豹結(jié)論中定理３．６中的情況已經(jīng)足夠７．雨我們可以通過對(duì)算子ＱＬ的譜表示的研究，通過積分變換，在常微分算子理論下得到定理３．６的結(jié)論卻不是很困難推論３．８．ｎｆ＞０Ｗ＿０２０（ｔ）Ｄ＋＝Ｉｏ］，Ｗｒ－％（ｆ）Ｄ＋ｃＤ＋，ｔ＞０證明．這是定理３．６的直接推論，只需注意到肌瑤（力是光上的酉算子，于是于是證得?。ィΓ模悖模簦荆?，第一個(gè)式子的證明只要注意到瓦把函數(shù)的支撐平移至ｔＪ［ｔ，＋ｏｏ），詳細(xì)的證明可以參看［２６】．入射空間為口吲ｒ一＝習(xí)一，院＝一，伍－ｙ＇伽＋ｑｙ＝。而３．２．２具有緊支撐勢(shì)的情況下面考慮ｓｕｐｐｑｃ【ｏ，１】的情況，以Ｌ記由下面的邊值問題２１３主要結(jié)果碩士論文導(dǎo)的Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．求解初值問題Ｉ－ｙ７＋ｑＹ＝而，滬＞０｛），（ｏ，ｏ－２）＝ＣＯＳＯ＇Ｉｙ（ｏ，礦）＝ｓｉｎｏ：可得Ｘ＞ｌ時(shí)的解ＹｇＯ（ｘ，礦）＝Ｃｌ已蟣＋ｃ２已一柵，其中ｃｌ＝Ｔ＋■ｉＦ，Ｔ一■ｉＦ，吠１，一）．礦（１，ｃｒ２）伙１，礦）ｃ２２礦（１，礦）并且可以計(jì)算出【３０】和（０ｒ２）＝曇而麗‰妣礦∈Ｒ．㈦～，㈧Ｖ㈨隊(duì)記Ｑ￡導(dǎo)出的酉算子群為ｗＬＯ），可以證明［２６】是相應(yīng)的出射空間，令理＝Ｗ－戊Ｌ（１），則有下面的結(jié)論一Ａ卜㈨匕脅（一囂卜地一碥，證明．記那／Ｚ、ｓｕｐｐ“ｃ【１，十ｏｏ）．按照定理３．１的證明，只要在譜表示下計(jì)算上面算子的作用，并將得到的函數(shù)對(duì)其偶函數(shù)部分和奇函數(shù)部分做逆表示既可以得到我們要的結(jié)論．因此，只要做下面的計(jì)算，過程和定理３．６相似．卜Ｕｌｍ南＝ｅ研＝Ｐ泖礦曠ｆ”“－∽毗，礦）出一ｆｊ－”（Ｉ嵋Ｍ吠五，）＿ｒ。㈣眠ｏ。２）ｄｘ＋礦ｒ”姒曲（ｃｌｅｉｏ＇ｘ＿ｃ２ｅ－ｉＯ＇Ｘ）ｄｘ）２２碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用－２沙（礦ｊ。聊∽ｑ㈤Ｐ鋼叫＝２礦ｆ“１（力ｃｌ（一ｅ一坼＋Ｏｄｘ＝礦廠”ｕｌ（ｘ）Ｏ（１，ｉｏ．（ｘ＋ｔ）ｄｘＵｌ＝礦ｆ√１，，啼∞ｏ－２）ｅｉＯ＇（Ｘ＋Ｏｄｘ＋廣。Ｕｌ（妨攀ｇｉ嘶ｆ）出＋ｆ（妨掣ｇ齜卅出“ｌ（砂礦（１，，）ｓｉｎ（ｃｒ（ｘ－Ｉ－ｔ））ｄｘＪｌ，’＋∞Ｊ１，呻∞，葉∞＝礦ｆ＋ｆＪ１Ｕｌ（曲吠１，礦）ｃｏｓ（ｃｒ（ｘ＋ｔ））ｄｘ＋ｆＪｌ廣＋∞ｆＩＴＵｌ（勸厭１，ｏ上）ｓｉｎ（ｃｒ（ｘ＋ｔ））ｄｘ—ｉｆＵｌ（工）礦（１，，）ｃｏｓ（ｏ－（ｘ＋Ｏ）ｄｘ一，ｌ廠。一“；∽（畎１，０ｒ２）ｃｏｓ（似茗＋Ｄ）＋亟生壘ｓｉＩｌ（礦＠＋Ｄ））出一ｆｒ。叫…１，咖ｏｓ（嘶卅華ｓｉＩｌ（嘶伽出＝（ｕ（一。Ｔ乃ｔＵ功ｌ；］］ｃ們，Ｖ礦∈Ｒ，卜娜㈨ｍ（一圳ｃ力＝吲叫二卜扎婦倒嘞注３．１０．這是文獻(xiàn)１２６，１）２３８，Ｔｈ５．ＩＩＣＰ的結(jié)論．那里使用算子半群的理論。在泛函分析的理論下證叨雖簡(jiǎn)潔但抽象，也看不出勢(shì)函數(shù)支撐的直接影響，而在上面的證明當(dāng)中只需要將問題換到譜的表示空間上作計(jì)算就可以７．并且可以明顯看到一咣生成的半群ｗ一蚪、）在Ｄ＋上作用之后可將函數(shù)都平移到勢(shì)函數(shù)的支撐外?。@樣當(dāng)矸，Ｌ（Ｄ傲用到跳上去的時(shí)候，譜表示的積分就可以從勢(shì)函數(shù)的支撐外開始．即在定理３．９的證明中積分都是Ｃ“．ｄｘ，１就是勢(shì)函數(shù)支撐的右端點(diǎn)．記珥＝阢瑤（１）ｚ）＋，注意到忙卜㈦ｂ‰辨勘３主要結(jié)果碩士論文其中Ｕｌ的定義見定理３．９的證明，那么可以得到與推論３．８類似的結(jié)論推論３．１１．ｎ舢ｗＺ（ｆ）Ｄ：＝ｆｏ），ＷＬＣｔ）Ｄ１＋ＣＤ：，ｔ＞ｏ．證明和出射空間的情況就不再這里重復(fù)了，詳細(xì)的結(jié)論和過程可以參考［２６】．碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用致謝謹(jǐn)在此對(duì)我的導(dǎo)師黃振友副教授致以崇高的敬意和衷心的感謝，從論文選題到論文撰寫都得到黃振友老師的悉心指導(dǎo)，特別重要的是在南京理工大學(xué)求學(xué)的這幾年，在業(yè)務(wù)方面受到黃老師無私的悉心指導(dǎo)，且在為人處事方面也多受他的影響，在此一并表示感謝！楊傳富老師和金國海師兄的指導(dǎo)和幫助，對(duì)于我深入了解我所從事的專業(yè)發(fā)揮了很大的作用，此外，微分算子討論班的全體老師和同學(xué)的討論與報(bào)告使我能更廣泛地了解這個(gè)專業(yè)，在此對(duì)他們表示衷心的感謝！完成論文的過程當(dāng)中，我還得到了許多其他人的幫助，感謝旌德才在使用Ｌａｔｅｘ軟件上無私的幫助．感謝郭東巖和他教研室的全體同學(xué)，我的論文主要是在那里錄入的，在那里受到了友好的待遇．感謝陳培鑫老師和王浩新室友，他們的算子代數(shù)討論班使我對(duì)算子理論有了更深入的了解．參考文獻(xiàn)碩士論文參考文獻(xiàn)【１】ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，Ｏｎｏｎｅｃｌａｓｓｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｃｈａｒａｃｔｅｒ－ｉｓｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎｓ，Ｄｏｋｌ．Ａｋａｄ．Ｎａｕｋ．ＳＳＳＲ，１６０，１（１９６５），９．１２．【２】ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，ＵｎｉｔａｒｙＭａｔ．Ｉｓｓｌｅｄ．，１，１（１９６６），２－６４．【３］ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，Ｏｎｏｆｅｖｅｎｃｏｕｐｌｉｎｇｓｏｆｓｅｍｉｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｆｏｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｓｐａｃｅｓｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，Ｆｕｎｋｔｓ．Ａｎａｌ．Ｐｒｉｌｏｚｈｅｎ．，８，Ｎｏ．４，５—２２（１９７４）．【４】Ｊ．Ｊ．Ａｌｖａｒｅｚ，Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，ＥＪ．Ｈ．Ｈｅｒａｓ，Ｌ．Ｍ．Ｎｉｅｔｏ，Ａｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｏｄｅｌｏｆｒｅｓｏｎａｎｃｅｓｗｉｔｈ４０２２－４０２７ａｄｅｌｔａｂａｒｒｉｅｒａｎｄｍａｓｓｊｕｍｐ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ．，３７３，４４（２００９），【５】Ｉ．Ｅ．Ａｎｔｏｎｉｏｕ，Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，Ｉｒｒｅｖｅｒｓｉｂｉｌｉｔｙ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓａｎｄＳｐａｃｅｓ，Ｌｅｅｒ．ＮｏｔｅｓＲｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔＰｈｙｓ．，６２２（２００３），２４５—３０２．Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ，Ｊ．Ｏｐｅｒａｔｏｒ【６】Ｈ．Ｂａｕｍｇａｒｔｅｌ，Ｏｎ２４５—３０２．Ｔｈｅｏｒｙ，５８，１（２００７），【７】Ｈ．Ｂａｕｍｇ￡ｉｒｔｅｌ，Ｇａｍｏｗｖｅｃｔｏｒｓｆｏｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ：Ａｌａｘ—ｐｈｉｌｌｉｐｓｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗ，Ｉｎｔｅｒｎａｔ．Ｊ．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｈｙｓ．，４６，８（２００５），１９５９?１９８５．【８】ＹＭ．Ｂｅｒｅｚａｎｓｋｙ，Ｚ．Ｇ．Ｓｈｅｆｔｅｌ，Ｇ．Ｅｌａｇ，１９９６．Ｕｓ，ＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓ，ＢｉｒｋｈａｕｓｅｒＶｅｒ－【９】Ｊ．Ｍ．Ｂｅｒｅｚａｎｓｋｉｉ，Ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓｉｎｅｒａｔｏｒｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＳｅｌｆａｄｊｏｉｎｔＯｐ—１７，Ｔｒａｎｓ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｏｇｒ．，１９６８．【１０】Ｈ．Ｂｒｅｚｉｓ，泛函分析一理論和應(yīng)用，清華大學(xué)出版社，２００９．【１１】Ｓ．Ｊ．Ｌ．ｖａｎＥｉｊｎｄｈｏｖｅｎ，Ｊ．ｄｅＧｒａａｆ，ＴｒａｊｅｃｔｏｒｙＳｐａｃｅｓ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＵｎｂｏｕｎｄｅｄＯｐｅｒａｔｏｒｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８５．碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ａｎｄｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＳｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅ【１２】Ｗ：Ｅｖｅｒｉｔｔ，ＣｈａｒｌｅｓＳｔｕｒｍｙｅａｒ１９００ｔｏ１９５０．Ｉｎ“Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉｌｌｅＴｈｅｏｒｙ，ＰａｓｔａｎｄＰｒｅｓｅｎｔ”ｅｄｉｔｅｄｂｙＷ：Ａｍｒｅｉｎ，Ａ．Ｈｉｎｚ，Ｄ．Ｐｅａｒｓｏｎ．Ｂｉｒｋｈｉｉｕｓｅｒ，２００４．【１３】Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，ＥＧｏｍｅｚ，ＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｓＡｃｔａ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．，１０９，３（２０１０），７２１—７４２【１４】Ｉ．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ，Ｇ．Ｅ．Ｓｈｉｌｏｖ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＮＩ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９６４．ａｎｄＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙ，【１５】Ｉ．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ，Ｎ．ＹＰｒｅｓｓ，１９６４．Ｖｉｌｅｎｋｉｎ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＶ，Ａｃａｄｅｍｉｃ【１６】Ｃ．Ｇ６ｒａｒｄ，Ｎ－ｂｏｄｙｑｕａｎｔｕｍｓｃａｔｔｅｒｉｎｇａｎｄｑｕａｎｔｕｍｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ：ａｎｏｖｅｒｖｉｅｗ，Ｉｎ“ＳｐｅｃｔｒａｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ：ＡＦｅｓｔｓｃｈｒｉｆｔｉｎＨｏｎｏｒｏｆＢａｒｒｙＳｉｍｏｎ’Ｓ６０ｔｈＢｉｒｔｈｄａｙ．＂ＰａｒｔＩ，ＥｄｉｔｅｄｂｙＥＧｅｓｚｔｅｓｙ，ＰＤｅｉｆｔ，Ｃ．Ｇａｌｖｅｚ，ＰＰｅｒｒｙａｎｄＷ：Ｓｃｈｌａｇ．ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２００６．【１７】Ｊ．Ａ．Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ，ＳｅｍｉｇｒｏｕｐｓｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９８５．ｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒ－【１８】黃振友，楊建新，華踏紅，劉景麟，泛函分析，科學(xué)出版社，２００３．【１９】Ｒ．ＶＫａｄｉｓｏｎ，Ｊ．Ｒ．Ｒｉｎｇｒｏｓｅ，Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｏｐｅｒａｔｏｒａｌｇｅｂｒａｓ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９８３．【２０】Ａ．Ｋｌｅｉｎ，Ａ．Ｋｏｉｎｅｓ，Ｍ．Ｓｅｉｆｅｒｔ，Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒｗａｖｅｓｉｎｉｎｈｏ－ｍｏｇｅｎｅｏｕｓｍｅｄｉａ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１９０，１（２００２），２５５—２９１【２１】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｔｈｅａｂｓｔｒａｃｔｓｃｈｅｍｅｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｆｏｒｏｎｅｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｆｕｎｋｔｓ．Ａｎａｌ．Ｐｒｉｌｏｚｈ．，３０，１（１９９６），５４—５７．【２２】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｏｆ１６２９．Ｌａｘ－ＰｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｓｃｈｅｍｅｆｏｒＰ－ａｎａｂｓｔｒａｃｔｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｕ皿Ｍａｔ．Ｚｈ．，５０，１２（１９９８），１６１５—【２３】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｃｏｍｉｎｇａｎｄｏｕｔｇｏｉｎｇｓｕｂｓｐａｃｅｓｆｏｒａｗａｖｅｉｎ礎(chǔ)，ＩＪｌｍＭａｔ．Ｚｈ．，５１，５（１９９９），７８７－７９２．２７參考文獻(xiàn)碩士論文ｏｆｆｒｅｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｉｎＬａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ【２４】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ６８，６（２０００），８５４—８６１．【２５】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｓｃｈｅｍｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｏｐｅｒａｔｏｒ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒ，Ｍａｔ．Ｚａｍｅｔｌｄ．，ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅＬａｘ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｏｔｈｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｏｆａｌｌａｂｓｔｒａｃｔｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ＵｈＭａｔ．Ｚｈ．，５５，５（２００３），７４９—７６０．【２６】Ａ．ＶＫｕｚｈｅｌ，Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，ＲｅｇｕｌａｒＥｘｔｅｎｓｉｏｎｓｏｆＨｅｒｍｉｔｉａｎＯｐｅｒａｔｏｒｓ，ＶＳＰ，Ｕｔｒｅｃｈｔ（１９９８）．【２７】ＥＤ．Ｌａｘ，ＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓ（影印版），高等教育出版社，２００７．【２８］ＰＤ．Ｌａｘ，Ｒ。Ｓ。ＰｈｉＵｉｐ，Ｓｃａ仕ｅｄｎｇＴｈｅｏｒｙ（Ｒｅｖｉｓｅｄｅｄｉｔｉｏｎ），ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９８９．【２９】ＰＤ．Ｌａｘ，Ｒ．Ｓ．ＰｈｉＵｉｐ，ＳｃａＲｅｄｎｇｔｈｅｏｒｙｆｏｒａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９７６．【３０】劉景麟，常微分算子譜論，科學(xué)出版社，２００８．【３ｌ】Ｒ．ｄｅｌａＭａｄｒｉｄ，ＱｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃｓｏｆｒｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅ，ＰｈＤｐａｐｅｒａｐｐｒｏａｃｈｉｎｔｅｒｍｓｏｆｓｔａｔｉｏｎ－【３２】Ａ．Ｋ．Ｍｏｔｏｖｉｌｏｖ，ＲｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＬａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓａｒｙｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ１６７．１８０．ｔｈｅｏｒｙ，ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，９８，Ｎｏ．２（１９９４），【３３】Ａ．ＢｄｅＭｏｎｖｅｌ，ＰＳｔｏＵｍａｎｎ，ＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｓｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｏｆＤｉｒｉｃｈｌｅｔｆｏｒｍｓ，Ｊ．Ｒｅｉｎｅ．Ａｎｇｅｗ．Ｍａｔｈ．，２００３，５６１（２００３），１３１—１４４．Ｙｏｒｋ，【３４】Ｒ．Ｇ．Ｎｅｗｔｏｎ，Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｗａｖｅｓａｎｄｐａｒｔｉｃｌｅｓ，ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，Ｎｅｗ１９６６．【３５】Ｔ．Ｐｏｅｒｓｃｈｋｅ，Ｇ．Ｓｔｏｌｚ，Ｏｎｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎｓａｎｄｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ，Ｍａｔｈ．Ｚ．，２１２，１（１９９３），３３７－３５７．【３６】Ｔ．Ｐｏｃｒｓｃｈｋｅ，Ｇ．Ｓｔｏｌｚ，Ｊ．Ｗｅｉｄｍａｎｎ，ＥｘｐａｎｓｉｏｎｓｉｎＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＳｅｌｆａｄｊｏｉｎｔＯｐｅｒａｔｏｒｓ，Ｍａｔｈ．Ｚ．，２０２，３（１９８９），３９７－４０８．２８碩士論文一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ｏｆｍｏｄｅｒｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓ【３７】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書出版公司，２００３．Ｉ，世界【３８】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書出版公司，２００３．ｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓ１１，世界【３９】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書出版公司，２００３．ｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＩＩ，世界［４０】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＶ，世界圖書出版公司，２００３．【４ｌ】ＥＲｉｅｓｚ，Ｂ．Ｓｚ．Ｎａｇｙ，泛函分析講義，第二卷，科學(xué)出版社，１９８０．【４２】Ｍ．Ａ．Ｓｈｕｂｏｖ，Ｓｐｅｃｔｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｄａｍｐｅｄｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｉｎｔｅｇｒ．ｅｑｕ．ｏｐｅｒ．ｔｈｅｏｒｙ，２８，３（１９９７），３５８—３７２．［４３】Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓａｎｄｃｏｍｐｌｅｘＣｈｅｍ．，１４，４（１９７８），５２９－５４２．［４４】Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｉｎＯｎｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎｓｃａｌｉｎｇ：Ａｒｉｇｏｒｏｕｓｏｖｅｒｖｉｅｗ，Ｉｎｔｌ．Ｊ．Ｑｕａｎｔ．ａｎｄＦｒｅｄｈｏｌｍＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１７８，２（２０００），３９６－４２０．［４５】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｃｏｍｐｌｅｘｓｃａｌｉｎｇａｎｄｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，Ｊ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，４，４（１９９４），７２９—７６９．【４６】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｌｏｅｓｎｅａｒｒｅａｌａｘｉｓ，Ｃｏｍｍ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１７，５（１９９２），１０２１－１０３５．［４７】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，ＬｏｗｅｒｂｏｕｎｄｓＣｏｍｍ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１８，５（１９９３），８４７－８５８．ｏｎ［４８】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，ＩＩ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１２３，２（１９９４），３３６—３６７．［４９】ＹＳｔｒａｕｓｓ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｉｎｔｈｅＲｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔＳｐａｃｅｓａｎｄＬａｘ—ＰｈｉｌｌｉｐｓＳｃａｔｔｅｒｉｎｇＴｈｅｏｒｙ，Ｉｎｔｅｍａｔ．Ｊ．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｈｙｓ．，４２，１０（２００３），２２８５－２３１４．【５０１Ｙ．Ｓｔｒａｕｓｓ，Ｓｚ．－Ｎａｇｙ－ＦｏｉａｓＴｈｅｏｒｙａｎｄＬａｘ－ＰｈｉｌｌｉｐｓＴｙｐｅＳｅｍｉｇｒｏｕｐｓｉｎｔｈｅＤｅ—ｓｃｆｉｐｆｉｏｎｏｆＱｕａｎｔｕｍＭｅｃｈａｎｉｃａｌＲｅｓｏｎａｎｃｅｓ，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．，４６，０３２１０４（２００５）．【５１】ＹＳｔｒａｕｓｓ，Ｌ．ＥＨｏｒｗｉｔｚ，Ｅ．Ｅｉｓｅｎｂｅｒｇ，ＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｑｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃａｌｉｎＬａｘ—ＰｈｉｌｌｉｐｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｒｅｓｏｎａｎｃｅｓｓｐａｃｅ，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．，４１，８０５０（２０００）．【５２】張恭慶，本征展開的一般理論，數(shù)學(xué)進(jìn)展，７，２（１９６３），１７２．２０５．【５３】Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ４６，３（１９９９），３１９—３２８．ｉｎｐｈｙｓｉｃｓａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｎｏｔｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｈｔ．Ｓｏｃ．，一類矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用學(xué)位授予單位：張少欽南京理工大學(xué)授權(quán)使用：無錫市圖書館(wxstsg)，授權(quán)號(hào)：5c782f8b-ba58-4b7f-a069-9e6100a1c97d下載時(shí)間：2021年1月4日矩陣分解的研究及應(yīng)用摘要：將一矩陣分解為若干個(gè)矩陣的和或積，是解決某些線性問題的重要方法，其技巧性、實(shí)用性強(qiáng)。本文首先分成四部分內(nèi)容來闡述矩陣分解的形式及一些很常見的分解。最后舉例說明矩陣分解的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：特征值分解秩分解三角分解和分解關(guān)于矩陣分解的形式的文獻(xiàn)已有很多，但對(duì)于這個(gè)問題的分析各不相同。本文從四個(gè)方面來論述矩陣的分解的形式，并以一些具體的例子來說明矩陣分解在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。一、特征值分解*??λ1?性質(zhì)1：任意n階矩陣A，存在酉矩陣T，使得A=T-1?T，其中λ1,,λn為矩陣A的0λn???特征值。稱形如這樣的分解叫做矩陣A的特征值分解。?J1??性質(zhì)1'：任意n階矩陣A，存在酉矩陣T，使得A=T-1?T，其中Js????λi??1λi?，i=1,2,,s且λ1,,λs為矩陣A的特征值。Ji=??1λi?ni?ni?對(duì)于對(duì)稱矩陣有如下結(jié)論：?λ1??定理1.1：若A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣T，使得A=T-1其中λ1,,λn?T，λn???為矩陣A的特征值。*??λ1?證明由性質(zhì)1,知存在酉矩陣T，使得A=T-1?T0λn???又由于A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，因此?*??'0?*??λ1?λ1?λ1????-1-1A'=T-1T=TT=A=T????T0*0?λn?λn?λn?????????*??λ10??λ1??從而，得?=?0λn?λn????*??λ1??因此A=T-1?T得證。λn???定理1.2：矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣B，使得A=B'B。證明必要性因?yàn)锳為正定矩陣，由定理1.1，得存在可逆的正交矩陣T，使得?λ1??A=T-1?T，且λi>0，i=1,2,,nλn???令B=T-1????T，則'????'?T?=T??????-1'-1?(T)=T????T?-1B'=T0??從而有B'B=T-1???-1?TT????T?=T-1?2??λ1????T=T-1?T=A??2λ?n????充分性因?yàn)锳=B'B，則A'=(B'B)'=B'(B')'=B'B=A因此A為對(duì)稱矩陣。又任意不為零的向量x，有x'Ax=x'B'Bx=(Bx)'(Bx)令Bx=(x1,,x2)，又B為非奇異矩陣，從而知Bx=(x1,,x2)≠0因此x'Ax=(Bx)'(Bx)=x12+x22++xn2>0所以A為正定矩陣。得證。定理1.3：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是存在正定矩陣B，使得A=Bk，k為任意正整數(shù)。證明必要性因?yàn)锳為正定矩陣，由定理1.1，得存在可逆的正交矩陣T，使得?λ1??A=T-1?T，且λi>0，i=1,2,,nλn???對(duì)任意的正整數(shù)k，令B=T-1????T，則有?Bk=T-1???????T????k?-1=T?k??λ1????T=T-1?T=A??kλ?n????必要性由于B為正定矩陣，因此對(duì)任意的非零向量x，有x'Bx>0。k又A=Bk，則有A'=Bk'=(B')=Bk=A即A為對(duì)稱矩陣()且有x'Ax=x'Bkx①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)又B為正定矩陣，因此Bx≠0，即有x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)>0②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)又B為正定矩陣，因此Bx≠0，即有x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)>0從而，知對(duì)任意不為零的向量x，有x'Ax>0。因此A是正定矩陣。得證。定理1.4：設(shè)A為一個(gè)n階可逆矩陣，則存在一個(gè)正定矩陣S和一個(gè)正交矩陣U，使得A=US或A=SU。證明由定理1.2，知B=A'A為正定矩陣由定理1.3,得存在正定矩陣S，使得B=S2令U=AS-1，則U'=AS-1'=S-1A'從而有kk-1k-1k-1kkkk()U'U=S-1A'AS-1=S-1S2S-1=E因此U=AS-1為正交矩陣。且又US=AS-1S=A同理可證A=SU的結(jié)論。得證。定理1.5：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，α1,α2,,αn是A的n個(gè)單位正交特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為'''λ1,λ2,,λn。則A=λα11α1+λ2α2α2++λnαnαn。證明因?yàn)锳為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，由定理1.1,知存在正交矩陣T，使得?λ1??A=T-1?Tλn????α1??α2設(shè)T=?，其中αi為T的的第i個(gè)行向量，則T-1=T'=(α1',α2',,αn')，于是有?α???n??λ1?α1????α2?'α2++λnαn'αn??=λ1α1'α1+λ2α2λn??α???n?A=(α1',α2',,αn')?因T的行向量是A的特征向量，且T為正交矩陣，故α1,α2,,αn為A的單位正交特征向量。得證。定理1.5：A為正定矩陣的充分必要條件是存在n個(gè)線性無關(guān)的向量α1,α2,,αn，使得'α2++αn'αn。A=α1'α1+α2證明因?yàn)锳為正定矩陣，由定理1.2，知存在可逆的矩陣B，使得A=B'B令B=(α1,α2,,αn)'，又由于B為可逆矩陣，因此α1,α2,,αn線性無關(guān)。?α1??α'''B'1α'α2+=(α1',α2,,α)2?=α+α2+'nαn又A=Bα得證。n1???α2?定理1.6：秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣A可表示成r個(gè)秩為小于等于1的對(duì)稱矩陣之和。其組合系數(shù)為A的特征值。?λ1??證明由定理1.1，知存在正交矩陣T，使得A=T-1?Tλn???2,r,?≠0,i=1,令T=(α1,α2,,αn)'，且設(shè)A的秩為r，則不妨令λi=?有r,+2,n,?0,i=r+1?λ1λr-1A=T???λ1???λr'?T=T0???0????????T0???0???λ1λr'''=(α1,α2,,αn)?????α1??α2?'α2++λrαr'αr??=λ1α1'α1+λ2α2?0????αn??0??由于秩(αi'αi)≤min秩{α',iαi}≤1，i=1,2,,r'α',iαi}≤1，且從而有秩(λαiiαi)≤min秩{'''A=λα11α1+λ2α2α2++λrαrαr組合系數(shù)為A的特征值。得證。二、矩陣的秩分解?E性質(zhì)2：任一矩陣Am?n，都存在可逆矩陣P、Q，使得A=Pr?0稱形如這樣的分解為矩陣的秩分解。定理2.1：秩為r的實(shí)矩陣Am?n都可分解成A=Pm?rQr?n。0??Q，其中r為矩陣A的秩。0??E證明由性質(zhì)2，知存在可逆矩陣P、Q，使得A=Pr?0?E因此，得A=Pr?00??Er?Q=P??(Er0??0?0??Q0?0)Q=Pm?rQr?n得證。定理2.2：秩為r的實(shí)矩陣Am?n可分解成r個(gè)秩為1的矩陣之和。?E證明由性質(zhì)2，知存在可逆矩陣P、Q，使得A=Pr?00??Q0??Er因此，得A=P?0?????0??????0r0???Q=P1???Q∑0?i=1??0????0?????in?n??????0???0???????????????00????Q=而秩P秩11?=1，i=1,2,,r???????00????????????00??????iin?nn?n????得證。三、三角分解性質(zhì)3：設(shè)A為n階實(shí)可逆矩陣，則可分解為A=QR，其中Q為正交矩陣，R為一個(gè)對(duì)角線上全為正數(shù)的上三角形矩陣。稱形如這樣的分解為矩陣的三角分解。定理3.1：實(shí)矩陣Am?n可以分解成一個(gè)正交矩陣和一個(gè)對(duì)角矩陣及一個(gè)正交矩陣的積。即A=URV，?a1ar其中U、V為正交矩陣，r為A的秩且R=??????，ai>0，i=1,2,,r。0???0???E證明由性質(zhì)2，知存在可逆矩陣P、Q，使得A=Pr?00??Q0?由性質(zhì)3，對(duì)P、Q'作三角分解，使得P=Q1R1，Q'=Q2R2，其中Q1、Q2為正交矩陣，R1、R2為上三角矩陣，從而有?EA=Q1R1r?00??R2'Q2'0??B1將R1、R2'分塊成與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形能積的形式：R1=?0B2??C1C2?'、R=??，B1、C1為r階方2B3?0C3??陣。記G=B1C1'，由定理1.2，得G'G為實(shí)對(duì)稱的正定矩陣。且有?ErA=Q1R1?00??B1''?R2Q2=Q100??B2??Er?B3??0?BC'0??C1'C2'?'?Q2=Q111?00?0C'??3??B1C2'?'?Q2（1）0??由定理1.1，得存在r階正交矩陣P1，使得?λ1??-1-1P=PG'G=P1?11λr????記R1=????，可得???i=1,2,,r其中λi>0，?P1，-11-1'1-1'1'(R1)-1)，從而知GP'1-1'GPEr=(R1)-1PG=(GP11(R)1(R))(GP1(R)為正交矩陣。?GP'(R1)-1??P?11??11??顯然U、V為正交矩陣?，F(xiàn)令U1=、V1=11?????11??n?n??m?m由（1）式，得?BC'A=Q1110??(GP'(R1)-1)R1P0??R10??R10?B1C2'?'11Q2=Q1Q2'=QU???V1Q2'=U?V11??0?00??00??00???a1ar'i=1,2,,r其中U=QU、為正交矩陣，現(xiàn)令，則R=aV=VQ11i12?且A=URV。得證。?????，0???0??四、和分解性質(zhì)4：任一n階矩陣A都可表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。證明令B=(A+A')、C=(A-A')，則1212'111??B'=(A+A')?=(A'+A)=(A+A')=B2?2?2'111??C'=(A-A')?=(A'-A)=-(A-A')=-C2?2?2知B為對(duì)稱矩陣，C為反對(duì)稱矩陣。且有11B+C=(A+A')+(A-A')=A。得證。22五、矩陣分解的應(yīng)用?308??例1：設(shè)矩陣A=316?，求A100-2A50。（東南大學(xué)06）-20-5???解對(duì)矩陣λE-A作如下的初等變換0-8??-3λ-1-6??-1λ-1λ-1??λ-3???λE-A=-3λ-1-6→λ-30-8→λ-30-8???2??0λ+5??20λ+5??20λ+5???λ-1λ-100?-1??1???→0(λ-1)(λ-3)(λ+1)(λ-5)?→02(λ-1)3(λ+1)?0?2(λ-1)3(λ+1)????0(λ-1)(λ-3)(λ+1)(λ-5)?????1?1?0000??→02(λ-1)3(λ+1)?→02(λ-1)6???11220-(λ+1)?00-(λ+1)?022?????10→0610-(λ+1)22??0??100???2(λ-1)?→010??00(λ-1)(λ+1)2??0???所以A的初等因子為λ-1，(λ+1)2。?100??所以A的Jardon標(biāo)準(zhǔn)形為A=T-10-10?T01-1???從而得?100??100???A100-2A50=T-10-10?T-2T-10-10?T01-1?01-1??????100??200???=T-1010?T-T-1?T01001?01002??????-100??=T-10-10?T=-E00-1???即A100-2A50=-E例2：設(shè)A為n階實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣。證明：rank(A-iE)=rank(A+iE)，其中i為虛數(shù)單位。（清華大學(xué)06）10050*??λ1?解由定理1,知存在可逆的酉矩陣T，使得A=T-1?T0λn???*??λ1+i?從而有A+iE=T-1?T0λn+i???*??λ1-i?