微分幾何26曲面上的測(cè)地線課件

第六節(jié)曲面上的測(cè)地線平面上的直線（1）任一點(diǎn)的切向量平行；（2）曲率為0；（3）直線段是連接點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短線段。曲面上的測(cè)地線相當(dāng)于平面上的直線。6.1曲面上曲線的測(cè)地曲率一、測(cè)地曲率的定義給定曲面S：（c）是曲面上的一曲線：在曲線上一點(diǎn)P令，則是兩兩正交的單位向量且成右手系，P點(diǎn)的法面上。定義：曲線（c）在P點(diǎn)的曲率向量上的投影（即在S上P點(diǎn)的切平面上的投影）稱為曲線在P點(diǎn)的測(cè)地曲率。二、性質(zhì)命題1：證明：注意：都在P點(diǎn)的法面上。推論：曲面上的直線的測(cè)地曲率為0。這是因?yàn)榍嫔系闹本€在任一點(diǎn)的切平面上的投影還是直線，所以曲率為0。習(xí)題3。三、測(cè)地曲率的計(jì)算公式下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的形式。設(shè)曲線的切方向與u-線所成的角為，則同理代入前面的kg的計(jì)算公式可得這個(gè)公式稱為劉維爾(liouville)公式。也可寫為其中分別為u線和v線的測(cè)地曲率。事實(shí)上，對(duì)于u線和v線來(lái)說(shuō)，分別有，代入測(cè)地曲率的計(jì)算公式有6、2曲面上的測(cè)地線一、定義：曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率為0，則稱為測(cè)地線。二、性質(zhì)1）如果曲面上有直線，則必為測(cè)地線。2）命題3：曲面上非直線的曲線是測(cè)地線的充要條件是，除了曲率為0的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線。證明：設(shè)曲線（c）為測(cè)地線（不是直線），則但即，所以主法線重合于法線。反之，若主法線重合于法線，則，得

所以曲線是測(cè)地線。三、測(cè)地線的方程設(shè)（C）為測(cè)地線，則它的主法線重合于法線，即但又g=det(gkl)不為0，于是得到測(cè)地線方程為特別地，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時(shí)，由劉維爾公式也得到曲面上測(cè)地線的微分方程為若給出了初始條件：則有唯一解例題1，2。四、定理：過(guò)曲面上任一點(diǎn)，給定曲面上一個(gè)切方向，則存在唯一一條測(cè)地線切于此方向。證明：設(shè)測(cè)地線方程為滿足上述方程的曲線都是測(cè)地線，給出了初始條件：s=s0

，即一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)切方向由常微分方程理論，方程組有唯一解，即存在唯一一條測(cè)地線（C）：過(guò)已知點(diǎn)并切于定方向。首先，由于半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)是正交的，所以F=0，半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)中有一簇坐標(biāo)曲線是測(cè)地線，不妨設(shè)為u線，dv=0,即，它滿足測(cè)地線微分方程但由P165，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時(shí)，即E與v無(wú)關(guān)，只與u有關(guān)，可設(shè)在曲面上引進(jìn)新參數(shù)從而第一基本形式變?yōu)?.4曲面上測(cè)地線的短程性定理2：若給出曲面上充分小的鄰域內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q則過(guò)這兩點(diǎn)在小鄰域內(nèi)的測(cè)地線是連結(jié)這兩點(diǎn)的曲面上的曲線中弧長(zhǎng)最短的曲線。證明：設(shè)（C）是曲面上連結(jié)P，Q的一條測(cè)地線，在曲面上選取半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，使曲面上包含（C）在內(nèi)的一測(cè)地線族為u-線，它的正交軌線為v-線，于是曲面的第一基本形式為不妨設(shè)曲線（C）的方程為v=0，P和Q的坐標(biāo)分別為(u1,0).(u2,0)(u1<u2)，于是沿測(cè)地線（C）由P到Q的弧長(zhǎng)為又在這個(gè)小鄰域內(nèi)連結(jié)P和Q的任意曲線的方程為v=v(u)，于是沿，從P到Q的弧長(zhǎng)為只有當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)才成立，但此時(shí)v為常數(shù)，即為u-線，而且是過(guò)P，Q的u-線，即（C），表示此時(shí)重合，所以（C）是連結(jié)P，Q的最短線。（C）由這個(gè)定理，我們又稱測(cè)地線為短程線。注意：定理若不是限制在一個(gè)小鄰域內(nèi)則不一定成立。如球面上的大園是測(cè)地線，所以球面上不是直徑兩端的兩點(diǎn)，連結(jié)它們的大園弧有兩段，顯然長(zhǎng)的不是連結(jié)它們兩點(diǎn)的最短線，而短的是。引理：若在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，有則證明：由于坐標(biāo)網(wǎng)正交，F(xiàn)=0，由劉維爾公式定理證明：在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐網(wǎng)并由引理得兩邊沿邊緣積分對(duì)第二個(gè)積分用格林公式令又面積元素并由第五節(jié)習(xí)題6（5）（P144）知因此第二個(gè)積分為對(duì)于（*）式中的第三個(gè)積分，可設(shè)的切向量和u-線所成的角為，且由于，所以為單位向量，其中正負(fù)號(hào)的產(chǎn)生是由沿邊界積分時(shí)有兩種不同的方向，如果我們采用逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，可只取正號(hào)，即這時(shí)第三個(gè)積分變?yōu)椋?）式變?yōu)槠渲斜硎救切蔚膬?nèi)角和。故當(dāng)特別地，當(dāng)曲面為平面，K=0，多邊形的邊界為直線（平面上的測(cè)地線）所組成時(shí)，得到平面上的多邊形的外角和公式為推論2：如果是一個(gè)測(cè)地三角形，即三條邊由三條測(cè)地線組成的三角形，則有對(duì)于平面上的三角形有即三角形內(nèi)角和為6.6曲面上向量的平行移動(dòng)在前面我們看到曲面上的測(cè)地線相當(dāng)于平面上的直線，這里簡(jiǎn)單對(duì)比一下：平面直線1）曲率為0；2）兩點(diǎn)間最短距離是直線段；3）給定一個(gè)方向和一點(diǎn)決定一條直線；曲面上的測(cè)地線1）測(cè)地曲率為0；2）兩點(diǎn)間（小范圍）最短距離是測(cè)地線；3）給定一個(gè)方向和一點(diǎn)決定一條測(cè)地線；但直線還有一個(gè)性質(zhì)就是直線上任一點(diǎn)處的切向量都是平行的，這個(gè)性質(zhì)是否也可以推廣到測(cè)地線上去呢？另一個(gè)問(wèn)題是，歐氏空間中的平移具有兩條基本的性質(zhì)：保持線性關(guān)系和保持內(nèi)積，我們希望曲面上的平移至少保持兩個(gè)性質(zhì)。這一節(jié)就討論這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，表示向量從點(diǎn)M沿（C）的方向移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，微分沿法線的方向，換言之，把向量投影到點(diǎn)M的切平面時(shí)，我們得到向量，這時(shí)稱向量是向量從M點(diǎn)沿（C）的方向到鄰近點(diǎn)經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)而得到的向量。這樣定義的平移概念與所取的曲線有關(guān)，因此與稱為沿曲線在勒維—基維塔意義下的平行向量，即稱向量與沿曲線是勒維—基維塔平行移動(dòng)。特別地，在平面上向量的勒維—基維塔平行移動(dòng)和通常意義下的平移一致，這是由于在平面上，所以勒維—基維塔平行移動(dòng)是平面上通常平移在曲面上的推廣。3、絕對(duì)微分及平行移動(dòng)的分析表達(dá)式沿曲線（C）上的每個(gè)點(diǎn)，由于為切向量，在這個(gè)切平面上，以為基向量建立坐標(biāo)系，并設(shè)的坐標(biāo)為由于從式中可看出，只要在上面的式子中去掉法線分量就得到，如果它的坐標(biāo)用來(lái)表示，則這就是絕對(duì)微分的表達(dá)式。特別地，若向量作平行移動(dòng)，則，即從而得到向量由點(diǎn)M沿方向作平行移動(dòng)到鄰近一點(diǎn)的分析表達(dá)式：即在平移下，的坐標(biāo)微分可用坐標(biāo)微分來(lái)表達(dá)。4、絕對(duì)微分的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)是沿曲線（C）的向量場(chǎng)，f是定義在（C）上的數(shù)量函數(shù)，則有證明：（1）（2）直接驗(yàn)證。二、平行移動(dòng)的性質(zhì)對(duì)于歐氏平面上的平行移動(dòng)，它(1)保持向量的長(zhǎng)度和角度不變，(2)直線上的切向量都是平行的。下面說(shuō)明曲面上的平移也具有這兩個(gè)性質(zhì)。1、levi-civita平移保持兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，因而保持向量的長(zhǎng)度和夾角不變。證明：設(shè)是由曲面S上沿曲線（C）的平行的向量場(chǎng)，則有這說(shuō)明levi-civita平移保持內(nèi)積不變。由于向量的長(zhǎng)度與夾角都是由內(nèi)積所定義的，故也保持向量的長(zhǎng)度和夾角不變。2、曲線（C）為測(cè)地線的充要條件是它的切向量在levi-civita平行移動(dòng)的意義下沿（C）是相互平行的。證明：設(shè)（C）：，s為自