2023年江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽本科一級(jí)試題與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

2023本一試題解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題（每小題4分，共20分）(1)設(shè)則.(2).(3).(4)已知函數(shù)可微，函數(shù)由確定，滿足則.(5)設(shè)是區(qū)域的邊界曲線，取逆時(shí)針?lè)较?則.一.答案:(1)(2)(3)(4)(5)二.解下列兩題（每小題5分，共10分）(1)求極限(2)求極限解(1)記因?yàn)椋?分）所以（2分）因?yàn)閼?yīng)用夾逼準(zhǔn)則得（2分）(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)得（2分）（1分）因?yàn)閼?yīng)用夾逼準(zhǔn)則得（2分）三.（10分）已知函數(shù)在處可導(dǎo),數(shù)列滿足:且試求解由在處可導(dǎo)得(2分)(2分)應(yīng)用極限的性質(zhì)得(1分)(1分)代入原式得(2分)(2分)四.(10分)已知試判別:(1)在區(qū)間上是否連續(xù)?若有間斷點(diǎn),判斷其類型;(2)在區(qū)間上是否存在原函數(shù)?若存在,寫出一個(gè)原函數(shù);若不存在,寫出理由;(3)在區(qū)間上是否可積?若可積,求出若不可積,寫出理由.解(1)在區(qū)間上不連續(xù).(1分)由于不存在,所以不存在,在處不連續(xù),是第二類振蕩型間斷點(diǎn).(2分)(2)在區(qū)間上存在原函數(shù).(1分)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為(上式2分,下式1分)(3)由于是在上的唯一間斷點(diǎn)，在上有界,所以在區(qū)間上可積.(1分)下面用2種方法計(jì)算定積分:方法1(2分)方法2(2分)五.(14分)已知曲面與平面的交線是橢圓,在平面上的投影也是橢圓,(1)試求橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(位于第象限,);(2)判斷橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的投影是否是,寫出理由.解(1)橢圓在平面上的投影為(2分)因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),只要求橢圓上到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離與最小距離的點(diǎn).取拉格朗日函數(shù)(1分)由的1,2式消去得與第3式聯(lián)立解得(2分)當(dāng)時(shí)解得可疑的條件極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)解得可疑的條件極值點(diǎn)由于橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)存在,則上述的坐標(biāo)即為所求四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).(2分)(2)解法1橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的投影不是(1分)(反證)假設(shè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的投影是,則的坐標(biāo)為(2分)由于橢圓的中心是所以橢圓的短半軸長(zhǎng)半軸由此得橢圓所圍圖形的面積為(2分)這是不對(duì)的.因?yàn)樗詸E圓的長(zhǎng)半軸短半軸于是橢圓所圍圖形的面積為(1分)由于平面的法向量的方向余弦中所以橢圓所圍圖形的面積應(yīng)為導(dǎo)出矛盾.(1分)解法2橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的投影不是(1分)(反證)假設(shè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的投影是,則其中的坐標(biāo)為(1分)因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)滿足的方程,只要求橢圓上到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離與最小距離的點(diǎn).令(2分)由方程組中（1），（2），（3）式聯(lián)立消去，得(2分)將的坐標(biāo)代入得即的坐標(biāo)不滿足方程組，所以不是橢圓的頂點(diǎn)。導(dǎo)出矛盾。(1分)解法3應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求橢圓上四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(題目沒(méi)有這個(gè)要求，如果有學(xué)生用此方法求解,時(shí)間上可能得不賞失,而且往往解不到底，難得全分).因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),只要求橢圓上到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離與最小距離的點(diǎn).令(2分)由方程組中（1），（2），（3）式聯(lián)立消去，得(2分)將此式與（4），（5）式聯(lián)立并消去得令代入此式得解得(1分)當(dāng)時(shí)，可解得由此可得兩個(gè)可疑的條件極值點(diǎn)(1分)當(dāng)時(shí)，可解得由此可得兩個(gè)可疑的條件極值點(diǎn)由于橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)存在,則上述的坐標(biāo)即為所求四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).在平面上的投影顯然不是(1分)注上述解法3中若將改為則得下列等價(jià)結(jié)論：解得當(dāng)時(shí)，可解得由此可得兩個(gè)可疑的條件極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，可解得由此可得兩個(gè)可疑的條件極值點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).六.（12分）設(shè)取上側(cè),試求曲面積分解方法1設(shè)取下側(cè),原式(2分)記(2分)記與所圍的區(qū)域?yàn)閼?yīng)用高斯公式得原式(2分)(此積分下面用2種方法求)(法1)(3分)令(3分)(法2)(2分)(2分)令(2分)方法2采用統(tǒng)一投影法,由于(2分)所以原式(2分)(2分)(2分)(2分)(2分)七.（12分）已知二次錐面與平面的交線是一條直線,(1)試求常數(shù)的值,并求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)平面通過(guò)直線,且與球面相切,試求平面的方程.解(1)二次錐面與平面相交有3種可能:一條直線或兩條直線或一點(diǎn).令得相交為一條直線的充要條件是上式有唯一解,（2分）而上式有唯一解的充要條件是所以時(shí)是一條直線.（2分）時(shí)由解得所以直線通過(guò)點(diǎn)因直線又通過(guò)原點(diǎn)取直線的方向?yàn)閯t直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2分）(2)設(shè)平面的方程為其法向量為因故（1分）球面的球心為,半徑為為1,平面與球面相切時(shí)球心到平面的距離為1,所以有（2分）取由解得因此所求平面的方程為或（3分）八.（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展式為(1)試求;(2)證明級(jí)數(shù)收斂,并求該級(jí)數(shù)的和.