初中數(shù)學(xué)幾何證明題模型

初中數(shù)學(xué)幾何證明題模型第一頁，共26頁。1.補(bǔ)成三角形例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。初中幾何證明題輔助線訓(xùn)練營

分析：過一頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)作直線，交底的延長線于一點(diǎn)，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。第二頁，共26頁。

分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是對(duì)稱軸，故根據(jù)對(duì)稱性作出輔助線，不難發(fā)現(xiàn)CF＝2CE，再證BD＝CF即可。2.補(bǔ)成等腰三角形例2如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE第三頁，共26頁。3.補(bǔ)成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F(xiàn)、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，若BC＝18，AD＝8，求FG的長。

分析：從∠B、∠C互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕牵恃娱LBA、CD，要求FG，需求PF、PG。圖3第四頁，共26頁。4.補(bǔ)成等邊三角形例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，使AE＝BD，連結(jié)CE、ED。證明：EC＝ED分析：要證明EC＝ED，通常要證∠ECD＝∠EDC，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采用補(bǔ)形法即延長BD到F，使BF＝BE，連結(jié)EF。第五頁，共26頁。5.補(bǔ)成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直上，求證：EF和GH互相平分。

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊形GEHF是平行四邊形。第六頁，共26頁。6.補(bǔ)成矩形例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長。分析：矩形具有許多特殊的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造矩形，可使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，于是一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。圖6第七頁，共26頁。7.補(bǔ)成菱形例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面積分析：延長EA，CB交于P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形。圖7第八頁，共26頁。8.補(bǔ)成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。求△ABC的面積。圖8分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果從題設(shè)∠BAC＝45°，AD⊥BC出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方形的信息，那么問題立即可以獲解。第九頁，共26頁。9.補(bǔ)成梯形例9．如圖9，已知：G是△ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是△ABC外的一條直線，自A、B、C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝1/4(2AA1＋BB1＋CC1)。圖9分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來加以解決比較恰當(dāng)，故過D作DD1⊥L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。第十頁，共26頁。1、在△ABC中，AC=BC，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長線于E，又AE=BD，求證：BE平分∠ABC。課后作業(yè)：2、如圖，已知：在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP

第十一頁，共26頁。3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求證：∠ADB=∠CDE

4、設(shè)正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的任意一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和，求：S－t的值。第十二頁，共26頁。5.△ABC中，分別以AB,AC,BC為邊在同側(cè)作等邊三角形ABD,BCF,ACE探究下列問題（1）當(dāng)△ABC滿足______條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形.（2）當(dāng)△ABC滿足______條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形.（3）當(dāng)△ABC滿足______條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.如圖:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等邊三角形，首先我們來證明DAEF為平行四邊形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可證:DA=FE所以:DAEF為平行四邊形(1)如圖,如果角DAE=90度,則DAEF為矩形則必須:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一種情況,BC為短邊,F將落在DAECB的包圍之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能為矩形,而BC為短邊,角BAC<90度)(2)如果:DA=AE,則:DAEF為菱形，則必須:AB=AC(3)如果:角BAC=60度則:角DAE=3*60度=180度D,A,E共線,所以:以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在據(jù)此,(2)的結(jié)論應(yīng)稍加改變?yōu)?當(dāng)AB=AC,且角BAC不等于60度時(shí),四邊形DAEF是菱形第十三頁，共26頁。6.已知:如圖,三角形ABC中,∠BAC=90度,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分角ABC交AD于點(diǎn)M,EF⊥BC于F.求證:四邊形AEFM是菱形.解答：∵CE是角平分線，EA⊥CA，EF⊥CF，CE=CE，∴△CAE≌△CFE，∴EA=EF，∠AEC=∠FEC，又AD⊥CB，EF⊥CB，∴AD∥EF，∴∠AGE=∠GEF，∴∠AEG=∠AGE，∴AG=AE，∴AG=EF，∴四邊形AGFE是平行四邊形﹙有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形﹚又AG=AE，∴平行四邊形AGFE是菱形﹙一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形﹚。即：四邊形AEFG是菱形。第十四頁，共26頁。7.如圖，在正方形ABCD中，O為對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，E為CO上一點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)為∠OBE角平分線上一點(diǎn)，連接OF、AF，G為BE上一點(diǎn)且BO=BG。（1）若FG⊥OF，OF=1,求線段OG的長度；（2）若∠AFB＝90°，求證：AF＝BF+OG（1）、∵BF平分∠OBE∴∠OBF=∠GBF∵BO=BG，BF=BF∴△OBF≌△GBF∴OF=FG∵FG⊥OF∴△OFG是等腰直角三角形∴OG=√(OF2+FG2)=√2（2）、作OH垂直于OF交AF于H∵ABCD是正方形，BD、AC是對(duì)角線OA=OB，∠AOB=90°∵∠HOF=90°(做的OH⊥OF)∴∠AOH=∠BOF(同為∠HOB的余角）∵∠AFB=∠AOB=90°設(shè)AF與OB交于M，∠OMA=∠FMB(對(duì)頂角）∴∠OAH(∠OAM)=∠OBF(∠MBF)在△AHO和△BOF中OA=OB，∠AOH=∠BOF，∠OAH=∠OBF∴△AHO≌△BOF∴AH=BF，OH=OF∵OF=FG(第一步已經(jīng)證明）∴OH=FG∵∠OFG=∠HOF=90°(這一步有點(diǎn)問題，∠OFG在第一步是假設(shè)的，）∴OG=FHAF=AH+HF=BF+OG第十五頁，共26頁。8.如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC=6,BD=8,點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在ＢＤ上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值為多少？拓展：若Ｐ點(diǎn)在AC上運(yùn)動(dòng)，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值為多少？解：依題意得，當(dāng)P為EF與BD的交點(diǎn)時(shí)，PE+PF最小，為EF的長.∵點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=0.5×AC=3.即PE+PF的最小值為3.第十六頁，共26頁。拓展：用兩張等寬的長方形紙條交叉重疊地放在一起,重合的部分為四邊形abcd，若長為8，寬為2，求四邊形abcd的最大9.將倆張等寬的長方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD,若AD＝6，∠ABC＝60°，則四邊形ABCD的面積是?第十七頁，共26頁。10.如圖，已知菱形ABCD中，E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度數(shù)證明：連接AC∵菱形ABCD中，∠B=60°∴AB=BC=CD=DA，∴AB=AC，∠FCA=∠B=60°，又∠EAF=60°，∴∠CAF=∠BAE=18°∴△BAE全等于△CFA，∴AE=AF∴∠FEA=60°，∴∠AEB=180°-18°-60°=102°∴∠CEF=180°-∠FEA-∠AEB=180°-60°-102°=18°第十八頁，共26頁。11.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于點(diǎn)F，AD⊥BC于點(diǎn)D，交BG于點(diǎn)E，連結(jié)EF。（1）、求證：①、AE=AG；②四邊形AEFG為菱形。（2）、若AD=8，BD=6，求AE的長。證明:(1)AE=AG的關(guān)鍵是證明∠AGE=∠AEG；∵∠AEG=∠BED，又∠ADB=90°；∴∠AEG+∠GBD=90°；又因?yàn)椤螦GE+∠ABG=90°且BG為角ABD的角平分線，因此可以推斷∠AEG=∠AGE，所以得出△AEG為等腰三角形，所以AE=AG。

(2)∵線段GF平行于線段AD，所以∠AEG＝∠FGE；∴∠AGB=∠FGB，有前面的條件可知∠ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于三角形GFB，所以AG=AF，從而推出AE=GF，根據(jù)菱形的定義：四邊形AEFG為平行四邊形，又鄰邊相等，所以四邊形為菱形。(3)∵AD=8,BD=6,∴AB=BF=8,∵DE//GF,∴BD/BF=DE/FG.設(shè)AE=x，則ED=8-x,GF=X,即：6/10=(8-x)/x.解得x=8/3.第十九頁，共26頁。ABCDEFG（1）解：連接BD,∵點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn),BE⊥CD∴BD=BC∴∠DBE=∠CBE∵∠FBE=2∠EBC

∴∠DBE=∠CBE=∠DBF

∵BF=BG∴△FBD≌△GBC第二十頁，共26頁。13.如圖，在矩形ABCD中。已知AD=12,AB=5，P是AD上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E和F分別是垂足，求PE+PF的值.ABDCPFE

提示：用三角形的等面積法.SΔABO=SΔAPO+SΔDPOO第二十一頁，共26頁。14.已知：如圖，在直角三角形ABC中,∠C=90°,AD//BC,∠CBE=

∠ABE.求證：ED=2AB取ED的中點(diǎn)F并與A連接因?yàn)椋螩=90°，AD//BC，所以∠EAB=90°，AF為直角△EAB斜邊ED上的中線，AF=DF=1/2ED三角形AED為等腰三角形，∠D=∠FAD∠D+∠FAD=2∠D=∠AFB又因?yàn)椤螩BE=∠D（內(nèi)錯(cuò)角），所以∠CBE=1/2∠AFB而已知∠CBE=1/2∠ABE，所以∠AFB=∠ABE，三角形子BAF為等腰三角形，AB=AF=1/21/2ED所以，ED=2ABADBCEF第二十二頁，共26頁。15.如圖，E是矩形ABCD邊CB延長線上一點(diǎn),CE＝CA，F(xiàn)是AE的中點(diǎn).求證：BF⊥FD過F點(diǎn)做AD的平行線交AB于G點(diǎn),則有FG垂直于AB,三角形AFG全等于三角形BFG（全等條件：F中點(diǎn)所以G也是重點(diǎn)AG=FG都有一直角和公共邊FG邊角邊）所以有AF=BF角FAB=角FBA又得角FAD=角FBC（都加一直角）,又AD=BC所以三角形FAD全等于三角形FBC(邊角邊)所以有角BFC=角AFD角AFD+角DFC=90換量角BFC+角DFC=90,所以BF⊥FD第二十三頁，共26頁。圓的經(jīng)典例題模型解：連接OA，設(shè)正方形ABCD的邊長為X∵正方形ABCD的邊長為X∴AB＝BC＝CD＝X∵∠POM＝45∴OC＝CD＝X∴OB＝BC+CD＝2X∵M(jìn)N＝10∴OA＝MN/2＝5∵AB2+OB2＝OA2∴X2+4X2＝25X2＝5X＝√5∴AB＝√51、如圖，已知在圓O中，直徑MN=10，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑OM,OP,