彈性力學(xué)空間問題的基本理論

第一頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

空間問題，一點(diǎn)的應(yīng)力分量有9個(gè)可以證明，這9個(gè)應(yīng)力分量作為一個(gè)整體是對稱的二階張量，故獨(dú)立的應(yīng)力分量有6個(gè)。第二頁，共七十三頁，2022年，8月28日1.斜面上的應(yīng)力矢量

已知一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)求：過該點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力矢量第三頁，共七十三頁，2022年，8月28日設(shè)ΔABC的面積為ΔS

四面體的體積ΔV=1/3×ΔS×Δh

Δh為P點(diǎn)到ΔABC的垂距P第四頁，共七十三頁，2022年，8月28日第五頁，共七十三頁，2022年，8月28日在外法向?yàn)閚的斜面上的正應(yīng)力為:2.斜面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力

沿斜面內(nèi)某切向的切應(yīng)力為

P第六頁，共七十三頁，2022年，8月28日將應(yīng)力矢量沿方向投影,得：3.的張量性（應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式

）

新舊基矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

于是，在以為外法向的斜面上的應(yīng)力矢量為

設(shè)：原坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量為第七頁，共七十三頁，2022年，8月28日主平面上的正應(yīng)力主應(yīng)力這種斜面主平面§6-2主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量

一般而言，與不共線，若共線，則在作用面內(nèi)無分量，即只有正應(yīng)力，而無切應(yīng)力。相應(yīng)的外法向主方向第八頁，共七十三頁，2022年，8月28日1記主應(yīng)力為σ

則又考慮到不全為0主應(yīng)力和主方向第九頁，共七十三頁，2022年，8月28日第十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

將三個(gè)主應(yīng)力分別代入式(*)，利用其中的任意二式，并結(jié)合

可以求得相應(yīng)的三個(gè)方向，即為應(yīng)力張量的主方向。第十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日2應(yīng)力張量的不變量第十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日第十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日31若干性質(zhì)第十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日可求出三個(gè)根第十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日2三個(gè)主方向兩兩正交第十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日第十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日12表明：在平面內(nèi)任何方向均可作為應(yīng)力主方向，可選任意二個(gè)正交方向作為應(yīng)力主方向。第十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日3表明：任何方向均可作為應(yīng)力主方向，可選任意三個(gè)正交方向作為應(yīng)力主方向。第十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6-3最大及最小的應(yīng)力

1最大和最小的正應(yīng)力斜面上的正應(yīng)力

因?yàn)槿齻€(gè)主向正交，所以可選擇xyz使得坐標(biāo)軸與應(yīng)力主向重合,則:第二十頁，共七十三頁，2022年，8月28日記：故：同理第二十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日2最大和最小的切應(yīng)力仍取前述坐標(biāo)系，則第二十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日第二十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日小結(jié)1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：二階張量，可以用矩陣表示234應(yīng)力張量向某斜面“投影”，得某斜面上的應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量向某方向投影，得某方向的應(yīng)力分量已知一點(diǎn)的應(yīng)力張量，可求出主應(yīng)力，主向，最大和最小應(yīng)力，可完全決定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第二十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6-4平衡微分方程

靜力平衡條件具有客觀不變性，可直接用張量描述。設(shè)想在彈性體內(nèi)任意劃出一個(gè)體積V，它的外表面為，外表面的法向?yàn)閚。該體積在體內(nèi)受到體力f作用，在表面受到應(yīng)力矢量t作用。這些力的合力和合力矩要滿足平衡條件。即第二十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日利用高斯積分公式，（ａ）式中的曲面積分可以轉(zhuǎn)化為體積分1力的平衡第二十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日第二十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日力矩平衡2第二十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日代入，得由于體積Ｖ是任意取的，并考慮到平衡微分方程得到:由于關(guān)于指標(biāo)i、j是反對稱的，因此有第二十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日曲線坐標(biāo)系的平衡方程3利用不變性記號(hào)，可以得曲線坐標(biāo)下的平衡方程第三十頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6-5應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動(dòng)張量幾何方程

1應(yīng)變張量的引入

考察彈性體區(qū)域V內(nèi)的任一點(diǎn)P的微小線段PP*在變形過程中長度和方向的變化情況。第三十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日變形后：第三十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日由:討論在直角坐標(biāo)系分量：第三十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日長度改變：定義：由商法則,為一階張量，進(jìn)而為

二階張量,故為二階對稱張量,稱為格林應(yīng)變張量。第三十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日見下頁第三十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日小變形：第三十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日簡稱應(yīng)變張量第三十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動(dòng)張量2第三十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日反偶矢量3曲線坐標(biāo)系的幾何方程利用不變性記號(hào)，可以得曲線坐標(biāo)下的幾何方程。進(jìn)一步可證明

稱為轉(zhuǎn)動(dòng)張量的原因第三十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日表明：已知一點(diǎn)的位移場，可求出其附近位移場，由位移的梯度來表示?！?-6變形的描述第四十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

位移的梯度由應(yīng)變張量ε和轉(zhuǎn)動(dòng)張量Ω組成1進(jìn)一步分析可知:應(yīng)變張量描述了微元的相對變形，轉(zhuǎn)動(dòng)張量描述了微元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。第四十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日相對變形轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)2位移的組成第四十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6－7一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，主應(yīng)變及應(yīng)變張量不變量已知：一點(diǎn)的應(yīng)變張量求：該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)即：任一線段的正應(yīng)變(相對伸縮)任二線段的夾角的改變主應(yīng)變和應(yīng)變主向最大和最小應(yīng)變第四十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日1、任一線段的正應(yīng)變單位方向矢量:

P

設(shè)第四十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日設(shè)微段的相對伸長(正應(yīng)變)為第四十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日小變形由于第四十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日2、任二線段夾角的改變二線段：長度：變形后：單位方向矢量為第四十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日dr′＝dr＋du,δr′＝δr＋δu第四十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日…………第四十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日小變形,保留一階微量第五十頁，共七十三頁，2022年，8月28日第五十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日3、主應(yīng)變與應(yīng)變主向定義：在變形過程中，除去剛體轉(zhuǎn)動(dòng)外，微元線段保持某方向不變，則此方向稱為應(yīng)變主方向，該方向微線段的相對伸縮量為主應(yīng)變。第五十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日第五十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日此時(shí)，根據(jù)應(yīng)變主方向的定義第五十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

說明：1與求主應(yīng)力類似；2也可由二階對稱張量的性質(zhì)，從數(shù)學(xué)上求第五十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日有三個(gè)實(shí)根，表明過一點(diǎn)有三個(gè)主應(yīng)變第五十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日4.應(yīng)變張量不變量展開后與（*）比較系數(shù)：第五十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日考慮一微元體，變形前：變形后：單位體積的改變：體積應(yīng)變第五十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6－8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

數(shù)學(xué)上：1第五十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日2這些條件稱為變形協(xié)調(diào)條件或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或相容方程第六十頁，共七十三頁，2022年，8月28日物理上：微元體變形后應(yīng)保持連續(xù)，要求不能任意，應(yīng)保持連續(xù)，不然則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)開、嵌入等現(xiàn)象，不是單值。因?yàn)槲灰仆耆梢悦枋鑫矬w的運(yùn)動(dòng)和變形12第六十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中分量形式的相容方程

第六十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

進(jìn)一步可以證明，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是存在單值連續(xù)位移場的必要條件。對于單連體，也是充分條件；對于多連體，加上位移單值條件，才是充分的。第六十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日§6－9各向同性彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

線彈性體最一般應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：相當(dāng)于：其中：E為四階張量（由商法則），稱為彈性張量，共有81個(gè)分量。（*）式稱物理方程，或本構(gòu)方程（關(guān)系）第六十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日對于各向同性材料：坐標(biāo)任意變換時(shí)，（*）形式不變，所以E為四階各向同性張量。又有：而：第六十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日第六十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日第六十七頁，