第一章單元復(fù)習(xí)學(xué)案

第一章單元復(fù)習(xí)[網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建]

[核心歸納]1.集合的含義與表示(1)把一些能夠確定的、不同的對(duì)象看成一個(gè)整體就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集.組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素.集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.(2)集合常用的表示方法有：列舉法、描述法、維恩圖，它們各有優(yōu)點(diǎn)，要根據(jù)具體需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?2.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系是屬于、不屬于的關(guān)系，根據(jù)集合中元素的確定性，對(duì)于任意一個(gè)元素a，要么是給定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a?A)，不能模棱兩可.對(duì)于兩個(gè)集合A，B，可分成兩類(lèi)A?B，A?B，其中A?B又可分為AB與A＝B兩種情況.在解題時(shí)要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一個(gè)特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解決集合之間的關(guān)系時(shí)，要注意不要丟掉空集這一情形.3.集合與集合之間的運(yùn)算交、并、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，維恩圖與數(shù)軸是集合運(yùn)算的重要工具.注意集合之間的運(yùn)算與集合之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.4.充要條件在判定充分條件、必要條件時(shí)，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顧此失彼.證明題一般是要求就充要條件進(jìn)行論證，證明時(shí)要分兩個(gè)方面，防止將充分條件和必要條件的證明弄混.5.全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題(1)要注意全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.(2)常用“都是”表示全稱(chēng)肯定，它的存在否定為“不都是”，兩者互為否定；用“都不是”表示全稱(chēng)否定，它的存在肯定可用“至少有一個(gè)是”來(lái)表示.[要點(diǎn)匯聚]要點(diǎn)一集合的基本概念與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集、點(diǎn)集還是其它集合.(2)看這些元素滿(mǎn)足什么限制條件.(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿(mǎn)足元素的互異性.【例1】(1)設(shè)集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是() (2)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是() 解析(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6個(gè)元素，故選C.(2)當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，x－y＝0；當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，x－y＝－1；當(dāng)x＝0，y＝2時(shí)，x－y＝－2；當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，x－y＝1；當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，x－y＝0；當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，x－y＝－1；當(dāng)x＝2，y＝0時(shí)，x－y＝2；當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，x－y＝1；當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，x－y＝0.根據(jù)集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5個(gè).答案(1)C(2)C【訓(xùn)練1】(1)設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，則滿(mǎn)足A∪B＝{0，1，2}的集合B的個(gè)數(shù)是() (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為_(kāi)_______.解析(1)易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是：{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}.(2)當(dāng)m＋2＝5時(shí)，m＝3，M＝{1，5，13}，符合題意；當(dāng)m2＋4＝5時(shí)，m＝1或m＝－1.若m＝1，則M＝{1，3，5}，符合題意；若m＝－1，則m＋2＝1，不滿(mǎn)足元素的互異性，故m＝3或1.答案(1)C(2)3或1要點(diǎn)二集合的基本關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系是包含和相等的關(guān)系，判斷兩集合之間的關(guān)系，可從元素特征入手，并注意代表元素.【例2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿(mǎn)足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為() (2)設(shè)A＝{1，4，2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，則x＝________.(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析(1)用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個(gè)數(shù).由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.由題意知B＝{1，2，3，4}，∴滿(mǎn)足條件的C可為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4個(gè).(2)由B?A，則x2＝4或x2＝2x.當(dāng)x2＝4時(shí)，x＝±2，但x＝2時(shí)，2x＝4，這與集合元素的互異性相矛盾；當(dāng)x2＝2x時(shí)，x＝0或x＝2(舍)，綜上所述，x＝－2或x＝0.(3)當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2.當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為(－∞，4].答案(1)D(2)0或－2(3)(－∞，4]【訓(xùn)練2】已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m等于() 或3 或2或3解析當(dāng)m＝0時(shí)，方程mx－6＝0無(wú)解，B＝?，滿(mǎn)足B?A；當(dāng)m≠0時(shí)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,m)))，因?yàn)锽?A，所以eq\f(6,m)＝2或eq\f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.綜上m＝0或2或3.答案D要點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算是指集合間的交、并、補(bǔ)這三種常見(jiàn)的運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程中往往由于運(yùn)算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤，不等式解集之間的包含關(guān)系通常用數(shù)軸法，而用列舉法表示的集合運(yùn)算常用維恩圖法，運(yùn)算時(shí)特別注意對(duì)?的討論，不要遺漏.【例3】已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}.(1)求A∪B，(?RA)∩B；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.解(1)因?yàn)锳＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}，?RA＝{x|x<2或x≥7}，則(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}.(2)因?yàn)锳＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠?，所以a>2，所以a的取值范圍是(2，＋∞).【訓(xùn)練3】設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，則a＝________，b＝________.解析∵B∪C＝{x|－3<x≤4}，∴A(B∪C)，∴A∩(B∪C)＝A.由題意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.答案－12要點(diǎn)四全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，實(shí)質(zhì)上是對(duì)命題意義的考查.解決此類(lèi)問(wèn)題，一定要辨清參數(shù)，恰當(dāng)選取主元，合理確定解題思路.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，利用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)求解參數(shù)的取值范圍，解題過(guò)程中要注意變量取值范圍的限制.【例4】若對(duì)?x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}，由題意知，A?B，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－2，,3a＋1≥4，,1－a<3a＋1，))解得a≥3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥3}.【訓(xùn)練4】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥\f(7,4))).要點(diǎn)五充分條件與必要條件充要條件是數(shù)學(xué)的重要概念之一，在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，在高考中有著較高的考查頻率，其特點(diǎn)是以高中數(shù)學(xué)的其它知識(shí)為載體考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷.【例5】設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足a<x<3a，其中a>0，q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足2<x≤3.若綈p是綈q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解綈p是綈q的充分不必要條件，即綈p?綈q且綈q?綈p.設(shè)A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，則AB.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1<a≤2}.【訓(xùn)練5】(1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.(2)若－a<x<－1成立的一個(gè)充分不必要條件是－2<x<－1，則a的取值范圍是________.解析(1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a≠0時(shí)，x＝－eq\f(1,a).由題意知p?q，q?p，故a＝0舍