演示文稿單純矩陣的譜分解

演示文稿單純矩陣的譜分解當(dāng)前1頁，總共24頁。（優(yōu)選）單純矩陣的譜分解當(dāng)前2頁，總共24頁。

矩陣的分解第四章當(dāng)前3頁，總共24頁。

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:當(dāng)前4頁，總共24頁。分析:設(shè)是的代數(shù)重復(fù)度則:當(dāng)前5頁，總共24頁。證明(1)

因為所以:證明(2)當(dāng)前6頁，總共24頁。(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設(shè)A有譜分解和當(dāng)前7頁，總共24頁。則由(3)知:由于,所以:同理可得:因為因為所以,唯一性得證當(dāng)前8頁，總共24頁。

可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關(guān)特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出當(dāng)前9頁，總共24頁。例1：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的特征向量:當(dāng)前10頁，總共24頁。于是當(dāng)前11頁，總共24頁。取令那么其譜分解表達式為當(dāng)前12頁，總共24頁。正規(guī)陣的譜分解:設(shè)為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達式。當(dāng)前13頁，總共24頁。

設(shè)正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數(shù)重數(shù)為，所對應(yīng)的個兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達式又可以寫成其中，并且顯然有:當(dāng)前14頁，總共24頁。（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，譜分解為:,若:則有當(dāng)前15頁，總共24頁。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。從而的特征值為當(dāng)前16頁，總共24頁。當(dāng)時，求得三個線性無關(guān)的特征向量為

當(dāng)時，求得一個線性無關(guān)的特征向量為將正交化與單位化可得當(dāng)前17頁，總共24頁。將單位化可得：當(dāng)前18頁，總共24頁。于是有當(dāng)前19頁，總共24頁。這樣可得其譜分解表達式為當(dāng)前20頁，總共24頁。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。練習(xí)從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的