微積分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用演示文稿

微積分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共85頁(yè)。優(yōu)選微積分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用當(dāng)前2頁(yè)，總共85頁(yè)。第一節(jié)微分中值定理定理1(費(fèi)馬(Fermat)定理)設(shè)f(x)在U(x0,δ)，內(nèi)有定義，若f(x)在x0可導(dǎo)且對(duì)任意的x∈U(x0,δ)

，有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），則f｀(x0)=0.當(dāng)前3頁(yè)，總共85頁(yè)。通常稱f(x)=0的根為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．當(dāng)前4頁(yè)，總共85頁(yè)。定理2(羅爾(Rolle)中值定理)如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在[a,b]上連續(xù),(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),則至少存在一點(diǎn)∈(a,b),使得f()=0．在曲線上至少存在一點(diǎn)C,在該點(diǎn)曲線具有水平切線．或者說(shuō)，該點(diǎn)的切線平行于弦AB.當(dāng)前5頁(yè)，總共85頁(yè)。證因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,則f(x)在[a,b]上恒等于常數(shù)M,因此,對(duì)一切x∈(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一個(gè)不等于f(a).設(shè)M≠f(a),則f(x)應(yīng)在(a,b)內(nèi)的某一點(diǎn)處達(dá)到最大值,即f()=M,由費(fèi)馬定理知f()=0．當(dāng)前6頁(yè)，總共85頁(yè)。例1驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)f(x)=

x2-2x+3在區(qū)間[-1,3]上的正確性．顯然函數(shù)f(x)=-2x+3在[-1,3]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1∈(-1,3),使f(1)=0．當(dāng)前7頁(yè)，總共85頁(yè)。定理3(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．則至少存在一點(diǎn)∈(a,b),使得證作輔助函數(shù)F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且當(dāng)前8頁(yè)，總共85頁(yè)。F(x)滿足羅爾定理的條件,故至少存在一點(diǎn)∈(a,b),使得F()=0,即因此得當(dāng)前9頁(yè)，總共85頁(yè)。拉格朗日中值定理中的公式稱為拉格朗日中值公式,也可以寫成f(b)-f(a)=f()(b-a)(a＜＜b)是(a,b)中的一個(gè)點(diǎn),=a+(b-a)(0＜＜1),拉格朗日中值公式還可寫成f(b)-f(a)=(b-a)f[a+(b-a)](0＜＜1)當(dāng)前10頁(yè)，總共85頁(yè)。例3證當(dāng)前11頁(yè)，總共85頁(yè)。推論1如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(x)≡0,則在(a,b)內(nèi),f(x)恒為一個(gè)常數(shù)．證在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1,x2,設(shè)x1<x2,顯然f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件因?yàn)閒(x)≡0,所以f()=0.從而f(x2)=f(x1).當(dāng)前12頁(yè)，總共85頁(yè)。例5證當(dāng)前13頁(yè)，總共85頁(yè)。推論2若f(x)及g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),則在(a,b)內(nèi),f(x)=g(x)+C(C為常數(shù)).證因[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=0,由推論1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．當(dāng)前14頁(yè)，總共85頁(yè)。定理4(柯西(Canchy)中值定理)若函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且g(x)≠0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得證若g(a)=g(b),則由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)1∈(a,b),使g(1)=0,這與定理的假設(shè)矛盾.故g(a)≠g(b).當(dāng)前15頁(yè)，總共85頁(yè)。作輔助函數(shù)F(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件,于是在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得從而有當(dāng)前16頁(yè)，總共85頁(yè)。例6證當(dāng)前17頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前18頁(yè)，總共85頁(yè)。第二節(jié)洛必達(dá)法則一、型未定式定理1設(shè)f(x),g(x)滿足下列條件：(1)f(x)=0,g(x)=0；(2)f(x),g(x)在內(nèi)可導(dǎo),且g(x)≠0；(3)存在(或?yàn)椤?．則當(dāng)前19頁(yè)，總共85頁(yè)。證由條件(1),設(shè)f(x0)=0,g(x0)=0.由條件(1)和(2)知f(x)與g(x)在U(x0)內(nèi)連續(xù)設(shè)x∈,則f(x)與g(x)在[x0,x]或[x,x0]上滿足柯西定理的條件,當(dāng)x→x0時(shí),顯然有→x0,由條件(3)得當(dāng)前20頁(yè)，總共85頁(yè)。注意:(1)如果仍為型未定式,且f(x),g(x)滿足定理?xiàng)l件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則；(2)洛必達(dá)法則僅適用于未定式求極限,運(yùn)用洛必達(dá)法則時(shí),要驗(yàn)證定理的條件,當(dāng)既不存在也不為∞時(shí),不能運(yùn)用洛必達(dá)法則．應(yīng)該注意：求極限時(shí)應(yīng)將洛必達(dá)法則和無(wú)窮小代換等技巧結(jié)合使用，才能使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)便。當(dāng)前21頁(yè)，總共85頁(yè)。例2解當(dāng)前22頁(yè)，總共85頁(yè)。例3解上式右端的極限不存在且不為∞，所以洛必達(dá)法則失效．當(dāng)前23頁(yè)，總共85頁(yè)。推論1設(shè)f(x)與g(x)滿足(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X＞0,當(dāng)x＞X時(shí),f(x)和g(x)可導(dǎo),且g(x)≠0;(3)存在(或?yàn)椤?．則證令x=1/t,則x→∞時(shí),t→0當(dāng)前24頁(yè)，總共85頁(yè)。例4解當(dāng)前25頁(yè)，總共85頁(yè)。二、型未定式定理2設(shè)f(x),g(x)滿足下列條件：(1)f(x)=∞,g(x)=∞；(2)f(x)和g(x)在內(nèi)可導(dǎo),且g(x)≠0；(3)存在(或?yàn)椤?．則當(dāng)前26頁(yè)，總共85頁(yè)。推論2設(shè)f(x)與g(x)滿足(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X＞0,當(dāng)x＞X時(shí),f(x)和g(x)可導(dǎo),且g(x)≠0;(3)存在(或?yàn)椤?．則當(dāng)前27頁(yè)，總共85頁(yè)。例5解當(dāng)前28頁(yè)，總共85頁(yè)。解例6當(dāng)前29頁(yè)，總共85頁(yè)。三、其他未定式若對(duì)某極限過(guò)程有f(x)→0且g(x)→∞,則稱lim[f(x)g(x)]為0·∞型未定式．若對(duì)某極限過(guò)程有f(x)→∞且g(x)→∞,則稱lim[f(x)-g(x)]為∞-∞型未定式．若對(duì)某極限過(guò)程有f(x)→且g(x)→０,則稱limf(x)g(x)為00型未定式．若對(duì)某極限過(guò)程有f(x)→1且g(x)→∞,則稱limf(x)g(x)為1型未定式．若對(duì)某極限過(guò)程有f(x)→＋∞且g(x)→0,則稱limf(x)g(x)為0型未定式．當(dāng)前30頁(yè)，總共85頁(yè)。例9解當(dāng)前31頁(yè)，總共85頁(yè)。例10解當(dāng)前32頁(yè)，總共85頁(yè)。例13解這是型未定式

當(dāng)前33頁(yè)，總共85頁(yè)。第三節(jié)泰勒公式一、泰勒公式將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)f(x)用一個(gè)多項(xiàng)式Pn(x)＝a0＋a1x+…+a1xn來(lái)近似表示

當(dāng)x很小時(shí),有ex≈1+x,sinx≈x,兩點(diǎn)不足：(1)精度不高,誤差僅為x的高階無(wú)窮小o(x);(2)沒有準(zhǔn)確好用的誤差估計(jì)式．當(dāng)前34頁(yè)，總共85頁(yè)。設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)．

(1)試求一個(gè)關(guān)于x-的n次多項(xiàng)式使得在x0附近,有f(x)≈pn(x),換言之,要求

即f(x)和pn(x)在x=x0處的函數(shù)值及k階(k≤n)導(dǎo)數(shù)值相等.(2)給出誤差f(x)-pn(x)的表達(dá)式．將x=x0代入pn(x)的表達(dá)式,得到當(dāng)前35頁(yè)，總共85頁(yè)。對(duì)pn(x)求導(dǎo),再將x=x0代入,得到對(duì)pn(x)求導(dǎo),再將x=x0代入,得到當(dāng)前36頁(yè)，總共85頁(yè)。定理(泰勒中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù),x0∈(a,b),則對(duì)于任意x∈(a,b),有

其中(介于與x之間)證令G(x)=(x=x0)n+1函數(shù)f(x)在x=x0點(diǎn)的n階泰勒展開式.當(dāng)前37頁(yè)，總共85頁(yè)。在(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),由前面的公式知當(dāng)前38頁(yè)，總共85頁(yè)。對(duì)Rn(x)與G(x)在相應(yīng)區(qū)間上使用柯西定理n+1次,有當(dāng)前39頁(yè)，總共85頁(yè)。拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng)前40頁(yè)，總共85頁(yè)。拉格朗日中值定理可看作是零階(n=1)拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)于多項(xiàng)式pn(x)近似表達(dá)函數(shù)f(x),對(duì)于某個(gè)固定的n,當(dāng)x在開區(qū)間(a,b)內(nèi)變動(dòng)時(shí)有≤M(M為常數(shù)),則其誤差有估計(jì)式.而且=0.從而當(dāng)x→x0時(shí),Rn(x)是關(guān)于的高階無(wú)窮小,即余項(xiàng)又可以表示為稱這種形式的余項(xiàng)為皮亞諾(Peano)余項(xiàng)．當(dāng)前41頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)x0

=0時(shí)的泰勒公式,又稱為馬克勞林公式

具有拉格朗日型余項(xiàng)的馬克勞林公式也可寫成當(dāng)前42頁(yè)，總共85頁(yè)。二、函數(shù)的泰勒展開式舉例例1求f(x)=ex的n階馬克勞林公式.解當(dāng)前43頁(yè)，總共85頁(yè)。例2求f(x)=sinx的n階馬克勞林公式.解當(dāng)前44頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前45頁(yè)，總共85頁(yè)。第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè)f(x)∈C([a,b]),且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則(1)若對(duì)任意x∈(a,b),有f(x)＞0,則f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加;(2)若對(duì)任意x∈(a,b),有f(x)＜0,則f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.證對(duì)任意x1,x2∈[a,b],設(shè)x1<x2,由拉格朗日中值定理由f(x)＞0,得f()＞0,故f(x2)＞f(x1),(1)得證.類似地可證(2).當(dāng)前46頁(yè)，總共85頁(yè)。證因sinx∈(-/2,/2),(sinx)=cosx>0,x∈(-/2,/2),所以y=sinx在(-/2,/2)上嚴(yán)格單調(diào)增加.例1證明y=sinx在(-/2,/2)上嚴(yán)格單調(diào)增加.當(dāng)前47頁(yè)，總共85頁(yè)。函數(shù)單調(diào)增減區(qū)間的分界點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn).如果函數(shù)在定義域區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在,那么只要用f(x)=0的點(diǎn)及f(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義域區(qū)間,在每一區(qū)間上判別導(dǎo)數(shù)的符號(hào),便可求得函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．當(dāng)前48頁(yè)，總共85頁(yè)。例6證當(dāng)前49頁(yè)，總共85頁(yè)。二、函數(shù)的極值定義1設(shè)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.若對(duì)任意x∈(x0),有f(x)＜f(x0)[f(x)＞f(x0)],則稱f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值(極小值)f(x0),稱為極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))．極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)當(dāng)前50頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前51頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前52頁(yè)，總共85頁(yè)。例8解當(dāng)前53頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前54頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前55頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前56頁(yè)，總共85頁(yè)。例9解當(dāng)前57頁(yè)，總共85頁(yè)。第五節(jié)最優(yōu)化問(wèn)題一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值求一個(gè)函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題.當(dāng)前58頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前59頁(yè)，總共85頁(yè)。例1解當(dāng)前60頁(yè)，總共85頁(yè)。二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題舉例當(dāng)前61頁(yè)，總共85頁(yè)。1.最大利潤(rùn)與最小成本問(wèn)題設(shè)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q),總收益函數(shù)為R(Q)(Q為產(chǎn)量),則總利潤(rùn)L可表示為L(zhǎng)(Q)＝R(Q)-C(Q)假如L(Q)在(0,+∞)內(nèi)二階可導(dǎo),則要使利潤(rùn)最大,必須使產(chǎn)量Q滿足條件L(Q)=0,即R(Q)=C(Q)表明產(chǎn)出的邊際收益等于邊際成本還要求L(Q)=R(Q)-C(Q)＜0,即R(Q)<C(Q)“最大利潤(rùn)原則”“虧損最小原則”當(dāng)前62頁(yè)，總共85頁(yè)。單位成本(即平均成本)最小的問(wèn)題設(shè)某種產(chǎn)品的總成本為C(Q),則生產(chǎn)的平均成本為最小,,必須使產(chǎn)量Q滿足條件表明產(chǎn)出的邊際成本等于平均成本當(dāng)前63頁(yè)，總共85頁(yè)。例3解總收益R(Q)=PQ=60Q,總利潤(rùn)L(Q)=R(Q)-C(Q)令L(Q)=0,得唯一駐點(diǎn)Q0=200,又L(Q0)=L(200)=-0.6＜0，所以當(dāng)日產(chǎn)量為Q0=200單位時(shí)可獲最大利潤(rùn).最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(200)=3000(元)當(dāng)前64頁(yè)，總共85頁(yè)。2.庫(kù)存問(wèn)題假定計(jì)劃期內(nèi)貨物的總需求為R,考慮分n次均勻進(jìn)貨且不允許缺貨的進(jìn)貨模型.設(shè)計(jì)劃期為T天,待求的進(jìn)貨次數(shù)為n,那么每次進(jìn)貨的批量為q=,進(jìn)貨周期為t=,再設(shè)每件物品貯存一天的費(fèi)用為c1,每次進(jìn)貨的費(fèi)用為c2,在計(jì)劃期(T天)內(nèi)總費(fèi)用E由兩部分組成當(dāng)前65頁(yè)，總共85頁(yè)。(1)進(jìn)貨費(fèi)(2)貯存費(fèi)于是總費(fèi)用E可表示為批量q的函數(shù)最優(yōu)批量q*應(yīng)使一元函數(shù)E=f(q)達(dá)到極小值,當(dāng)前66頁(yè)，總共85頁(yè)。最優(yōu)進(jìn)貨次數(shù)為最優(yōu)進(jìn)貨周期最小總費(fèi)用當(dāng)前67頁(yè)，總共85頁(yè)。3.復(fù)利問(wèn)題例6設(shè)林場(chǎng)的林木價(jià)值是時(shí)間t的增函數(shù)V=,又設(shè)在樹木生長(zhǎng)期間保養(yǎng)費(fèi)用為零,試求最佳伐木出售的時(shí)間．解如果考慮到資金的時(shí)間因素,晚砍伐所得收益與早砍伐所得收益不能簡(jiǎn)單相比,而應(yīng)折成現(xiàn)值．設(shè)年利率為r,則在時(shí)刻t伐木所得收益V(t)=的現(xiàn)值,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算應(yīng)為當(dāng)前68頁(yè)，總共85頁(yè)。當(dāng)前69頁(yè)，總共85頁(yè)。三、其他優(yōu)化問(wèn)題例9巴巴拉小姐得到紐約市隧道管理局一份工作,她的第一項(xiàng)任務(wù)是決定每輛汽車以多大速度通過(guò)隧道,可使車流量最大.經(jīng)觀測(cè),她找到了一個(gè)很好的描述平均車速v(km／h)與車流量f(v)(輛/秒)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

試問(wèn):平均車速多大時(shí),車流量最大?最大車流量是多少?當(dāng)前70頁(yè)，總共85頁(yè)。解得唯一駐點(diǎn)v=26.15(km／h).由于這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，所以函數(shù)的最大值必存在.當(dāng)車速v=26.15km／h時(shí),車流量最大,且最大車流量為f(26.15)=8.8(輛/秒).當(dāng)前71頁(yè)，總共85頁(yè)。第六節(jié)函數(shù)的凸性、曲線的拐點(diǎn)及漸近線一、函數(shù)的凸性、曲線的拐點(diǎn)在(0,)上都是單調(diào)的,但它們?cè)鲩L(zhǎng)方式不同,從幾何上來(lái)說(shuō)，兩條曲線彎曲方向不同.函數(shù)圖形向上或向下凸的性質(zhì)稱為函數(shù)的凸性.當(dāng)前72頁(yè)，總共85頁(yè)。向下凸的曲線,其上任意兩點(diǎn)間的弧段總位于聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)的弦的下方,向上凸的情形正好相反．當(dāng)前73頁(yè)，總共85頁(yè)。一般，設(shè)曲線y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，任取x1,x2∈[a,b].若曲線是向下凸的，則由于連接點(diǎn)(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的弦在曲線y=f(x)的上方，從而弦上中點(diǎn)處的縱坐標(biāo)應(yīng)大于或等于曲線上相應(yīng)點(diǎn)（橫坐標(biāo)相同點(diǎn)）處的縱坐標(biāo)即當(dāng)前74頁(yè)，總共85頁(yè)。反過(guò)來(lái)，可以證明，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)來(lái)說(shuō)，若上述不等式在[a,b]上恒成立，則曲線在[a,b]上是向下凸的類似可得曲線向上凸的不等式.當(dāng)前75頁(yè)，總共85頁(yè)。定義1設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),若對(duì)[a,b]中任意兩點(diǎn)x1,x2,恒有則稱f(x)在[a,b]上是下凸的；若恒有則稱f(x)在[a,b]上是上凸的.若上述不等式中的不等號(hào)為嚴(yán)格不等號(hào)，則稱f(x)在[a,b]上是嚴(yán)格下凸（或嚴(yán)格上凸）的.當(dāng)前76頁(yè)，總共85頁(yè)。定理1設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f“(x)>0,則f(x)在[a,b]上是嚴(yán)格下凸的;(2)若在(a,b)內(nèi)f“

(x)<0,則f(x)在[a,b]上是嚴(yán)格上凸的.例2解當(dāng)前77頁(yè)，總共85頁(yè)。定義2設(shè)f(x)∈C(U(x0)),若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))的左右兩側(cè)凸性相反,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為該曲線的拐點(diǎn)．例5解當(dāng)前78頁(yè)，總共85頁(yè)。