重慶市各區(qū)2021年中考模擬數(shù)學(xué)試題匯編：圖形的變化解答題

重慶市各區(qū)2021年中考模擬數(shù)學(xué)試題匯編:

圖形的變化解答

1.(2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)在△45。中，/期。=90°,點(diǎn)E為/。上一點(diǎn)，AB

=AE,AGX.BE,交于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)〃是BC邊上的點(diǎn).

(1)如圖1,若點(diǎn)〃與點(diǎn)G重合，AH=2,BC=-^,求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若連接ZHMG=ZMAH,求證：AM=2MHM;

(3)如圖3,若點(diǎn)“為的中點(diǎn)，作點(diǎn)4關(guān)于力〃的對(duì)稱點(diǎn)M連接/IMMN、

EN,請(qǐng)直接寫出N/MAANAE.N〃八石之間的角度關(guān)系.

2.(2021?萬州區(qū)模擬)如圖，點(diǎn)B,C,。在同一條直線上，44。戶和△48都是等

腰直角三角形.連接DF,延長(zhǎng)。尸交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,若AD=BD,OE是△/2。的平分線，BC=1,求。。的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,連接CE,求證：DE=?CE+AE;

(3)如圖3,改變△夕。戶的大小，始終保持點(diǎn)尸在線段力。上(點(diǎn)尸與點(diǎn)力,。不重

合).將即繞點(diǎn)后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到呼.取的中點(diǎn)。，連接。尸.當(dāng)/。=2

時(shí)，直接寫出。尸長(zhǎng)度的最大值.

圖1圖2圖3

3.(2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)在△ASC和尸中，AAFE=AABC=90°,￡AEF

=/月。石=30°,AE=^AC,連接EC,點(diǎn)G是E。中點(diǎn)，將△4E1尸繞點(diǎn)/順時(shí)針旋

轉(zhuǎn).

(1)如圖1,若后恰好在線段力。上，力8=2,連接尸G,求尸G的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸恰好落在射線CE上，連接BG,證明：GB=J^AB+GC;

(3)如圖3,若48=3,在△/珊旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)GB-/G。最大時(shí)，直接寫出直線

AB,AC,BG所圍成三角形的面積.

4.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,在四邊形力B8中，AC交BD于點(diǎn)、E,XADE

為等邊三角形.

(1)若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),AD=4,8=5,求△BCE的面積；

(2)如圖2,若BC=CD,點(diǎn)尸為8的中點(diǎn)，求證：AB=2AF;

(3)如圖3,若ABDCD,ABAD=90°,點(diǎn)P為四邊形/BC。內(nèi)一點(diǎn)，且2月0D

=90°,連接4尸，取8P的中點(diǎn)Q,連接CQ.當(dāng)AB=6近,AD=4五,tan/ZlBC

=2時(shí)，求?！?叵石。的最小值.

5.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖，已知△4B。中，N/1BC=45°,8是邊力B上

的高線，E是力。上一點(diǎn)，連接班，交8于點(diǎn)足

(1)如圖1,若N/8E=15°,BC=?+\,求分的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若BF=AC,過點(diǎn)。作。G,BE于點(diǎn)G,求證：BE=CE+2DG-,

(3)如圖3,若K為射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BR為斜邊向外作等腰直角△與

M為RH的中點(diǎn).在(2)的條件下，將繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，得到尸，E,歹的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為E,F,直線”少與直線48交于點(diǎn)P,tan//18=/,直接寫出當(dāng)MF

取最小值時(shí)Y?一的值.

rr

6.(2021?北硝區(qū)校級(jí)模擬)在△/BC中，NC43=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為/。上

一點(diǎn)，連接由，將AD繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到6后，連接CE,交于點(diǎn)足

(1)如圖1,若/43E=75°,BD=4,求力。的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)G為8。的中點(diǎn)，連接尸G交于點(diǎn)H.若/ABD=30°,猜想線

段。。與線段“G的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

(3)如圖3,若/B=4,。為/。的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)得△/'BD',連接

A'aA'D,當(dāng)4D^-A'。最小時(shí)，求SMBC.

7.(2021?渝中區(qū)校級(jí)二模)如圖1,在Rt^AB。與Rt△力中，/_ACB=AADB=

90°,/歷1。=60°,CELAB交AB于前E,AE=AD,點(diǎn)尸在線段由上，連接

AF.

(1)若/。=4,求線段由的長(zhǎng);

(2)如圖2,若NN4尸=60°,點(diǎn)〃為線段與尸的中點(diǎn)，連接CM,證明：2cM=

BF+檢C;

(3)如圖3,在(2)的條件下，將尸繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)得△/〃’F,連接B尸，點(diǎn)

M為線段B亍的中點(diǎn)，連接。'M,當(dāng)。'〃長(zhǎng)度取最小時(shí)，在線段43上有一動(dòng)點(diǎn)

N,連接MN,將線段繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至,連接?！疢,若AC=4,

請(qǐng)直接寫出(2MN'N')的最小值.

8.(2021?渝中區(qū)校級(jí)三模)如圖1,等腰中，N840=90°,月6=月。=8,

AD平分ZBAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E、尸分別是線段/C、/口上兩點(diǎn)，且AE=AF,連

接BE交AD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)少作FG1BE交BE于氤P,交BC于點(diǎn)G.

(1)若BF=2,求。。的長(zhǎng);

(2)求證：V2AC-2AQ=BG;

(3)如圖1,/￡=4,連接后五，將△區(qū)4歹繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為EF中點(diǎn),連

接BM,CM,以為直角邊構(gòu)造等腰Rt4BMN,過點(diǎn)N作NRLBC交BC于點(diǎn)R,

連接RM,當(dāng)八次最小時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)度.

9.(2021?重慶模擬)如圖，正方形/BCD的對(duì)角線/C,助交于點(diǎn)。，以正方形的邊

長(zhǎng)3。為斜邊在正方形內(nèi)作Rt^BEGABEC=9Q°.

(1)求證：BE-CE=MOE;

(2)若?！?3,BE=4,

①的面積為(直接寫出結(jié)果)；

②點(diǎn)尸為3。邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△。/五周長(zhǎng)的最小值為(直接寫出結(jié)果).

備用圖

10.(2021?銅梁區(qū)校級(jí)一模)△4BC為等邊三角形，將線段C4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到線段8,斤為平面內(nèi)一點(diǎn).接3斤，作N/3斤的角平分線交。戶延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡連

接DE.

(1)如圖1,連接助，若點(diǎn)尸恰好在線段加上，CE]_BC,BC=2,求斯的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若乙FBC=22ECD,證明：BE+DE=&EC;

(3)如圖3,當(dāng)BC=2,N/CE=45°時(shí)，以CE為斜邊構(gòu)造直角△取C,Q為CP

中點(diǎn)，連接力。.當(dāng)月。最大時(shí)，求△/1C。的面積.

E

E

11.(2021?重慶模擬)如圖，在RtZXABC中，N/3C=90°,NA4C=30°,點(diǎn)。在

直線3。上運(yùn)動(dòng)，連接AD,以為斜邊在直線AD的右側(cè)作RIAADE,其中/力助

=90°,NN4H=30°.

(1)如圖1,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，與4B相交于點(diǎn)。，當(dāng)力。平分/D4E

時(shí)，若。。=6,求40的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)。沿射線8。方向運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)助=/8時(shí)，連接8E,過點(diǎn)3作

用工與反交區(qū)4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,取8的中點(diǎn)G,連接EG.求證：DE+AE=^EG;

(3)如圖3,點(diǎn)。沿射線CS方向運(yùn)動(dòng)過程中，連接BE,將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)60°,得到線段皿連接CH.若/B=6,當(dāng)。/吟取得最小值時(shí)，

請(qǐng)直接寫出A/BE的面積.

圖1

圖2圖3

12.(2021?兩江新區(qū)模擬)如圖，△力C歸和均為等腰直角三角形，/_ACB=/_

DCE=q。。,AC=BC,DC=EC.現(xiàn)將△〃四繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,若4D、反三點(diǎn)共線，AD=?求點(diǎn)B到直線CE的距離；

(2)如圖2,連接力區(qū)BD,點(diǎn)b為線段的中點(diǎn)，連接。尸，求證：AELCF-,

(3)如圖3,若點(diǎn)G在線段上，且月。=8,AG=7版,在AACG內(nèi)部有一點(diǎn)O,

請(qǐng)直接寫出堂。。+如。4+噂OG的最小值.

13.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模)如圖1,在Rt△力BC中，NR4c=90°,AB=AC,點(diǎn)

。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接把4?繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到力H,連接。民

(1)如圖1所示，若BC=4,在。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)tan/8A￡=魯時(shí)，求線段8

的長(zhǎng)；

(2)如圖2所示，點(diǎn)戶是線段。后的中點(diǎn)，連接B尸并延長(zhǎng)交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連

接。河，交.AB于兼N,連接。尸，AF,當(dāng)點(diǎn)"在線段CN上時(shí)，求證：AD+BF=CF-,

(3)如圖3,若AB=2&,將△/B。繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△/呂'C',連接C。'，

尸為線段。上一點(diǎn)，且。C'=加尸。'，連接刀尸，將改繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到8。，連接尸。，K為PQ的中點(diǎn),連接。&請(qǐng)直接寫出線段次的最大值.

14

一動(dòng)點(diǎn)，連接力。，將線段49繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段力區(qū)連接。打交力。

于點(diǎn)足

(1)如圖1,若/力。。=60°,求證：DF=AF+EF;

(2)如圖2,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)是銳角時(shí)，點(diǎn)”在線段。C上，且4M

=AD,連接板，猜想線段板，MD,力。之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論;

(3)在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)是鈍角時(shí)，點(diǎn)N是線段。反上一動(dòng)點(diǎn)，連接av,

若CF=^AF=m,請(qǐng)直接用含m的代數(shù)式表示2cma的最小值.

5

圖1圖2備用圖

15.(2021?潼南區(qū)一模)如圖1.ZX/BC為等邊三角形，。為力。右側(cè)一點(diǎn)，且/C=

AD,連接8。交/。于點(diǎn)延長(zhǎng)ZM、C歸交于點(diǎn)?

(1)若/期戶=30°,AF=2^,求力。；

(2)證明：CF=AF+AE-,

（3）如圖2.若＞18=4,G為BC中點(diǎn)，連接力G,M為月G上一動(dòng)點(diǎn),連接?！?，將

CN繞著"點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MV,連接/MCN,當(dāng)4N最小時(shí)，直接寫出4

。放V的面積.

圖1圖2

參考答案

1.【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解

答即可；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

(3)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可.

【解答】解：(1)-：ABAC=90Q,AB=AE,

.,.△A4E為等腰直角三角形，

?：AGVBE,

.,.月”是△A4E的中線，

；.BE=2AH=4,

ABEA=45°,

：.ABEC=135°,

在△BCE中，過點(diǎn)。作交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖1,

?:NDEC=45°,

.?.△AEC是等腰直角三角形，

設(shè)ED=x,則。C=x,

在RtZ\38中，BC2=BZ>2+Z;C2,

即（V26）2=（4+x）2+x2）

；.的=1或w=-5（舍去），

:.CE=M；

(2)如圖2,過H作他交AM于點(diǎn)D,連接助,

圖2

■：AB=AE,NBAC=90°,

△力與￡是等腰直角三角形，

■：AGVBE,

.?.△/BA為等腰直角三角形，

：.BH=AH,ZBAN=45°,/BHA=9G°,

：./_BAM=ABMA,

■：ZHMG=ZMAH,

/BAM-ZMAH=/BMA-ZHMG,

即/A4H=N4l〃7=45°,

■：HDVHM,

：.△OHM為等腰直角三角形，

:乙DHM=9G°,

???ZBHD=ZBHA+ZAHD,ZAHM=ZDHM+ZAHD,

：.ZBHD=ZAHM,

在ABHD與AAHM中,

<BH=AH

<ZBHD=ZAHM,

DH=MH

:ABHD94AHM〈SAS),

ZDBH=ZMAH,BD=AM,

:.NBHA=/BDA=9G°,

是/”的中點(diǎn)，

：.AM=2DM=2MHM,

即AM=2近HM;

(3)?.”是BE的中點(diǎn),M是的中點(diǎn)，

；.MH是4BCE的中位線,

.-.MHIICE,

：./_AMH=/.MAC,

■：ABAC=90a,

：.AM=BM,

：.ZMAB=ZABM,

?.?點(diǎn)B與點(diǎn)TV關(guān)于線段對(duì)稱，

ZABM=ZANM,AB=AN,

：.AE=AN,

：./_AEN=LANE,

在△/￡7V中，ANAE+2^ANE=180°①，

???ZANE=ZANM+ZMNE,ZABM=ZANM=ZMAB=90°-/LMAC,

：.AANE=90°-^MAC+/.MNE,

；.4ANE=90°-/.AMH+/_MNE?,

將②代入①，得：ZNAE+2X(90°-/,AMH+AMNE)=180°,

NN4E+180°-2NAMH+2￡MNE=18G°,

ZNAE+2ZMNE=2ZAMH.

2.【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出戶C=8C=1,再判斷出24=咫，即

可得出結(jié)論；

(2)先判斷出△月Bg△。尸。，得出NBAC=N8"進(jìn)而判斷出△4CE9

得出AE=DH,CE=CH,即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出OE=OQ=2,再判斷出△?！辍?4。5尸，進(jìn)而求出PQ=OD=?即

可得出結(jié)論.

【解答】(1)解：???△3。尸和都是等腰直角三角形，

：.AC=CD,FC=BC=1,FB=?

■；AD=BD,是△/即的平分線，

???。瓦垂直平分AS,

:.FA=FB=\[^,

：.AC=FA+FC=-/2+^

CD=M+1;

(2)證明：如圖2,過劇C作CH_LCE交ED于點(diǎn)H,

???2X4。尸和都是等腰直角三角形，

：.AC=DC,FC=BC,NACB="CF=9G°;

:AAB8XDFC〈SAS),

ZBAC=ZCDF,

AECH=90°,

：.AACE+Z.ACH=90°,

■：^ACD=90°,

Z.DCH+^ACH=90Q,

：./_ACE=/_DCH.

在△力CE和△。次中，

fZBAC=ZCDF

<AC=DC,

ZACE=ZDCH

：.1\ACE^^DCH(ASA),

：.AE=DH,CE=CH,

:.EH=?CE.

?；DE=EH+DH=?CE+AE;

(3)解：如圖3,連接OE,將OE繞點(diǎn)、E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EQ,連接OQ,PQ,

貝ljOQ=42OE.

由(2)知，ZAED=ZABC+ZCDF=ZABC+ABAC=90°,

在Rt^AED中，點(diǎn)。是斜邊AD的中點(diǎn)，

OE=OD=—AD=^-AC=X2=75，

222r2，

OQ=MOE=&X&=2,

在△OED和△QE'尸中，

"OE=QE

<ZOED=ZQEP,

DE=PE

：.^OED^/\QEP(S4S),

；.PQ=OD=M.

-：OP<OQ+PQ=2-^/2,當(dāng)且僅當(dāng)。、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào),

的最大值是2地.

圖2

3.【分析】(1)如圖1中，過點(diǎn)戶作FHLAE于H.解直角三角形求出FH,GH,再

利用勾股定理求解即可.

(2)如圖2中，取/C的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BF.證明AA4m△3MG(S4S),

推出N4囪』NMSG,BF=BG,推出/￡SG=/4BM=60°,可得尸G是等邊三

角形，推出8G=FG,可得BG=EF+EG=?AE+CG=?AB+CG.

22

(3)如圖3中，取/C的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BF.在"C上取一點(diǎn)。，使得MD

=±MG,連接DG,BD.證明△M?Gs^"GG推出器=罌=焉,推出DG=±CG,

2GCMG22

推出GB/CG=GB-DGWBD,推出當(dāng)D,G共線時(shí)，3G-/cG的值最大，

最大值為助的長(zhǎng).

【解答】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)尸作FH1AE于H.

圖1

在RtZXABC中，/4C3=90°,AB=2,ZC=30°,

：.AC=2AJ3=4,BC=yf^AB=2M，

?：AE=EC=^AC=2,EG=GC,

：.EG=CG=1,

?；NAFE=9G°,AAEF=30a,

.'.EF=AE*cos30°=遂，

:.FH=^EF=^,HE=gFH=a，

5

：.GH=HE+EG=^,

...FG=JFM+HG2=J(年產(chǎn)+得)2=A

(2)證明：如圖2中，取/C的中點(diǎn)”，連接B〃，GM,BF.

圖2

?：AM=MC,AABC=90°,

：.BM=AM=CM,

-：AC=2AB9

.\AB=AM=BM9

/.zBAM=zAMB=ZABM=60°,

???/或紇=120°,

-：AE=2AF9/孫尸=60°,

???/84斤=120°+AEAC,

'：AM=MC,EG=GC,

/.GM=^AE=AF,GMIIAE,

??.ZCMG=ZEAC,

：.ABMG=120°+/CMG=120°/_EAC=/_BAF,

:.'BAmXBMC(SAS),

???ZABF=ZMBG,BF=BG,

：,Z_FBG=/_ABM=60°,

.??△E尸G是等邊三角形，

：.BG=FG,

??.BG=EF+EG=CG=?AB+CG.

22

(3)解：如圖3中，取ZC的中點(diǎn)/，連接BN,GM,BF.在上取一點(diǎn)。，使

圖3

同法可證：△氏4通△BMG(SAS),

：.AABF=/_MBGyBF=BG,

/.ZFBG=ZABM=60°,

.,.△BFG是等邊三角形,

：.BG=FG,

■：AM=CM,EG=CG,

：.MG=^AE,

-：AB=3,Z.ABC=90°,N/CB=30°,

：.AC=2,AB=6,AM=CM=3,

13

-：AE=—AC=3,MG=—,

22

13

：.MD=—MG=—,

24

ZDMG=/_GMC,

MCMG2

:.XMDGSXMGC,

.DG_=MD=1

,?而一而一T

：.DG=—CG,

2

GB-/CG=GB-DG<BD,

.?.當(dāng)B,D,G共線時(shí)，4G-/CG的值最大，最大值為的長(zhǎng),

直線/夕，AC,5G圍成的三角形為△/年>,

315

-/AD=AM+DM=3+—=—

44

15y3734573

4216

.?.當(dāng)G54G。最大時(shí)，直線極AC,BG所圍成三角形的面積為空1.

216

4.【分析】(1)如圖1中，過點(diǎn)。作于〃，設(shè)利用勾股定理構(gòu)建方

程求出為即可解決問題.

(2)如圖2中，延長(zhǎng)/斤到G,使得力戶=3，連接。G,CG,延長(zhǎng)GC交囪?于T,

過點(diǎn)。作CH18Z?于想辦法證明△力(SAS),可得結(jié)論.

(3)如圖3中，取力。的中點(diǎn)。，連接OP,OB,OC,取的中點(diǎn)J,連接QJ,

CJ,過點(diǎn)。作。尸14S于尸，在㈤上取一點(diǎn)T,使得JT=爺，連接QT,TC.想辦

5

法證明△QJTS^BJQ,推出襄=口=夸=堡，推出QT=^~BQ,推出

BQJQ逅"1010

C0率歸Q=COQ7>CT,求出CT,可得結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)。作CH：LBD于H,設(shè)EH=x.

???△4DE是等邊三角形,

.'.AD=DE=4,￡AED=￡CEH=6G°,

?"CHE=9G°,

/.CE=577*tan600=\[yc,

,:CU=Clf+Dff,

.1.25=3A2+(A+4)2,

.,.4A2+8X-9=0

”=匚手1或（舍棄），

22

.CJC/-V39-2V3

2

???S△詠=*X4X標(biāo)產(chǎn)=點(diǎn)一273.

解法二：過點(diǎn)B作BJ1/C交/。的延長(zhǎng)線于J,過點(diǎn)。作ATI力后于T.

圖1

證明反/=。7,求出。7,即可解決問題.

(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)力少到G,使得R7=/尸，連接。G,CG,延長(zhǎng)GC交BD

于T,過點(diǎn)。作?！?由于H.

?:AF=FG,CF=FD,

四邊形/CG。是平行四邊形，

：.ACIIDG,GCIIAD,

：.ACAD+AADG=180°,

???△力。后是等邊三角形，

：.AE=AD,ZAED=ZADE=ZEAD=60°,

：.AAEB=AADG=120°,

：./LCGD=AEAD=6G°=ZGDT,

.?.△Z?GT是等邊三角形，

：.DG=DT,乙CTE=乙CET=6D°,

.?.△CET是等邊三角形，

:.CT=CE,CTE=乙CET=6b°,

?1,CB=CD,CHLBD,

：.BH=DH,TH=EH,

：.BT=DE,

：.BE=DT=DH,

:?△AEB^XADG(SAS),

：,AB=AG=2AF.

(3)解：如圖3中，取4。的中點(diǎn)O,連接OP,OB,0G取。夕的中點(diǎn)J,連接

QJ,CJ,過點(diǎn)。作。尸148于5，在上取一點(diǎn)T,使得J7=零，連接。T,TC.

5

.\^ADC=90°,

CF_LAB9

：，ACFA=90°,

..?四邊形是矩形，

：.AD=CF=4?,

CF

vtanZCSz4=—=2,

BF

BF=2yl"^,

：.AD=AF,

???四邊形4F8是正方形，

BC=7BF2+CF2=d(2加產(chǎn)+(蚯)2=2Tio，co=VOD2+CD2=

7(2V2)2+(4>/2)2=2^.OB=VOA2+AB2=4VS.

CB=CO,

???CF=CD,ZCFB=ZCDO=900,

RtACFB^Rt^CDO（HL）,

ZBCF=ZDCO,

：.Z.BCO=Z.DCF=9GQ,

■：BJ=JO,

：.CJ=^OB=2yfs，

?-3歷春？=/哈）2+（2粕）2=零，

,:BQ=QP,BJ=JO,

:,QJ=￥P=?

??,Qj=2,TJ?JB=^X2娓=2,

5

:.Qj=JDJB,

.QJ=JB

,\TTQ.T，

?/ZQJT=ZQJB,

△QJTSXBJQ、

.QT_jT_^-_Vio

■'BQTQ宕10'

QT=^^~BQ,

10

/.CQ^-^-BQ=CQ+QT>CT=^^-,

???嬖8Q的最小值為喳5.

105

5.【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)戶作FHLBC于H.設(shè)FH=CH=m,則BH=43^,

根據(jù)5。=?+1,構(gòu)建方程求出m,即可解決問題.

(2)如圖2中，連接。區(qū)過煎D作DHLDE交BE于■H.證明3〃=EC,ADHE

是等腰直角三角形即可解決問題.

(3)如圖3中，過點(diǎn)“作兒。1反7于/過點(diǎn)尸作總16。于￡.證明tan/〃R7

=斗=2,推出點(diǎn)〃的在射線B"上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)C,F',〃共線，且C701BN時(shí)，

D.I

F'〃的值最小.設(shè)想辦法求出7?MPF可得結(jié)論.

【解答】(1)解：如圖1中，過點(diǎn)尸作W1BC于H

圖1

-：CD_LAB9

??."。。=90°,

"EC=45°,

/.ZZ?CS=90°-45°=45°,

??,FHtCH,

.\^FHC=90°,

:.乙HFC=/_HCF=45°,

；.CH=FH,

設(shè)FH=CH=m,

?：AABE=15°,

???/咫。=45°-15°=30°,

BH=^3222,

:

.\m=1,

??.CF=MCH=?

■：CD=^-BC=,

22_

DF=CD-CF=^+^-&=瓜—近.

2N2

(2)證明：如圖2中，連接?！?過點(diǎn)D作DH工DE交BE于H.

A

圖2

?；NADC=Z.FDB=90°,DB=DC,BF=AC,

.\RtABDF^Rt/\CDA(HL),

??.(DBF=/_ACD,

??,ZBFD=ZCFE,

:.XBFDsXCFE、

.DF_BF

??麗一瓦’

.DF_EF

??麗―麗’

?.?/DFE=ZBFC,

:.RDFESRBFC,

；,/_DEF=乙BCF=45°,

?:DHIDE,

:"HDE=9N,

???2DHE=￡DEH=45°,

??.DH=DE,

VZBDC=ZEDH=90°,

??.ZBDH=ZCDE,

?:DB=DC,DH=DE,

:.XBDH迫XCDE<SAS),

:.BH=EC,

?:DH=DE,DG1EH,

：.GH=EG,

:.DG=^EH,

/.BE=BH+HE=EC+2DG.

(3)解：如圖3中，過點(diǎn)〃作于/過點(diǎn)。作于K

圖3

，：ABHR,△ABC都是等腰直角三角形，

ZDBC=ZHBR=45°,

：.￡HBC=90°,

,:乙H=LHBJ=LMJB=90°,

???四邊形是矩形，

：.BH=MJ,HM=BJ,

■：BH=HR,HM=MR,

：.MJ=2BJ,

.?.tan/〃R/=?l=2,

B.T

.??點(diǎn)”的在射線上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)。，P,M共線，且?！〞r(shí)，P〃的值最小.

設(shè)4O=m,

?：tanAACD=—=—,

3CD

：,CD=BD=3m,DF=AD=m,CF=CF'=2m,BC=3y[^m,

?：/.CMB=90°,tanZCSAf=—=2,

BM

??.BM=亞如加血m,

55_

BJ=JM-BH=HR=^^m,

55

5

設(shè)BK=PK=n,CK=2n,

:.BK=PK=,CK=2yp^m,PC=y/~[Qm,

.-.PF'=PC-CF'=Ji而-2M,

.MR_3?m

,,pp---^=2——5--

6.【分析】(1)通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形求得線段的長(zhǎng)度；

(2)通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，設(shè)AC=a,利用中位線定理，解直角三角形，

用a的代數(shù)式表示8和HG,即可得CD與HG的數(shù)量關(guān)系；

(3)構(gòu)造阿氏圓模型，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定4(4)的位置，繼而求得相關(guān)三

角形的面積.

【解答】解：(1)過。作。G_L5C,垂足是G,如圖1:

?.?將由繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至ijBE,

：.AEBD=90°,

?：NABE=75°,

.-.^ABD=15°,

J/ABC=45°,

：.ADBC=30°,

在直角amG中有。G4BD=2,BG=V3DG=2/3,

??,//C6=45°,

在直角△OCG中，CG=DG=2,

：.BC=BG+CG=2+2V3>

-,AC=^BC=42^

(2)線段。C與線段的數(shù)量關(guān)系為：HG=4CD，

證明：延長(zhǎng)C4,過后作垂直于C4的延長(zhǎng)線，垂足是M連接加，ED,過G作

GMIAS于如圖:

B

圖2

：.￡END=9G,

由旋轉(zhuǎn)可知/后m=90°,

：.LEDB=4S°

:.(END=￡EBD=9G°,

.--E,B,D,N四點(diǎn)共圓，

:.(BNE=/_EDB=45°,ANEB+/_BDN=

■：ZBDC+ZBDN=1800,"8=45°,

ZBEN=ZBDC,

:.LBNE=45°=ZBCD,

在XBEN鄭XBDC中，

，ZBNE=ZBCD

"ZBEN=ZBDC,

BE=BA

：./\BEN^/\BDC(AAS),

：.BN=BC,

■：ABAC=90°,

在等腰△EVC中，由三線合一可知84是GV的中線,

,:乙BAC=/.END=90°,

:.ENHAB,

?.?/是CW的中點(diǎn)，

，尸是EC的中點(diǎn)，

???G是BC的中點(diǎn)，

.?.RG是△跳？。的中位線，

??,FGIIEE,FG=^BE,

?：BE1BD,

:.FG1BD,

??,ZABD=30。,

??.NBbG=60°,

?.240。=45°,

/.ZFGF=75°,

設(shè)AC=a.,則AJ3=a,

在RtZi4B。中，AD=?a，BD=BE=^^a，

33

：.FG=—BE,

2

；.FG=烏軟,

3

?/GMLAB,

.?.△BG"是等腰三角形，

■.MG=MB=^QJ1x|BC=^-x1x^AC-|a.

在RtZ\A/FG中，￡MFG=60°,

；FMF=MG,

：.BF=BM+MF=a,

6&

在RtZ\3酬中，ABFG=60°,

■.FH=^=^^a,

乙

：.HG=FG一吁與a-^~a=,仁1)a,

又；CD=a~^~a=^-(F-l)a'

oo

CD

'?,前=一_L

&

.?.〃G=-D；

4

(3)設(shè)AB=a,則BC=g,取BC的中點(diǎn)N,連接A'D,A'C,A'N,連接

DN,如圖3,

圖3

由旋轉(zhuǎn)可知/'B=AB=a,

a

?.9=啟=后,工=運(yùn)=

BN芋a72，￡§a

.A7B_BC

BN=AyB^r2,

又乙ABN=￡CBA,

.?.△4BN^^CBA',

.A7N_AyB_V2

"A7C"BCT，

,-.AN=^AC,

2

根據(jù)旋轉(zhuǎn)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，A'DC最小，即是47V最小，此時(shí)D、

4、N共線，即4在線段ZW上,

設(shè)此時(shí)4落在4處，過力作4/1/8于入連接44”，如圖4,

■.-D,N分別是月。，BC的中點(diǎn),

.,.￡W是△力B。的中位線，

：.DNHAB,

■：AB]_AC,

：.DN]_AC,

?."/=/4"=/4力力=90°,

???四邊形4'膽。是矩形，

：.AF=A'D,A'F=AD=2,

?.?又4歸=45=4,

設(shè)/斤=x,

在直角三角形用中，Al'Bi=A''f2+BFz,

,-.42=22+(4-x)2,

解得x=4-2A/3.

,此時(shí)S^BC=S▼BC-S^..AC=jAB-AC-^AB-A'F-1AC^D=^X4

X4-yX4x2-yX4X(4-273)=4?-4.

7.【分析】(1)利用30°角求出力B和5后的長(zhǎng)度，4E即為工。長(zhǎng)度，利用勾股求出

BD長(zhǎng)度;

(2)構(gòu)造兩個(gè)120°的等腰三角形，底邊郎=西4尸=百4。,得出西4。+咫=尸3,

根據(jù)S4S證得FB=BF,由中位線得M戶=2CM,即可得證結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)歹〃，便。尸=。尸’，由〃、〃分別為中點(diǎn)，得DM=FB,當(dāng)F\4B三

點(diǎn)共線時(shí)廣。最小，則。M最小，確定此時(shí)點(diǎn)〃在上，過〃作力。平行線〃產(chǎn)，

易得△〃次為等邊三角形，由△MAW是等邊三角形，根據(jù)S4s證二△RVW,

可得N"O7V=NMW=60°=LPDM,即確定了"運(yùn)動(dòng)軌跡在直線DP±,

2MN+MDN,可轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形得斜邊和直角邊數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)三角形兩

邊之差《第三邊(共線時(shí)取等號(hào))求出最小值即可.

【解答】解：(1)??,//。3=90°,"AC=6G°,AC=4,

：.AB=AC^cos60°=8,

?JCE1AB,

AE^2C?cos60°=2,

.\AD=AE=29

???/月。3=90°,

22=22=2

?1-BD=7AB-ADVS-2Vl5；

(2)延長(zhǎng)也至少，使DF=DF,延長(zhǎng)8。至B使C3=CB,連接收、AB.AF,

?:DF=DF,CB=CB,/ADF=NACB=90°,

：.AF=AF,AB=AB,

?；NCAB=NDAF=60°,

:.NBAB=NFAF=120°,

ZBAB+LFAB=ZFAF+AFAB,

即/9力4/A4斤，

:AABF^AABF(SAS),

：.BF=BF,

?：C.〃分別是BE、FB的中點(diǎn),

：.BF=2CM,

■：AC=2AE,AF=2AD,AD=AE,

：.AC=AF,

?：AF=AF,/必F=120°,

；.FF=■J^AF=yf^AC,

：.BF+42AC=BF+FF=BF=BF=2CM,

即2cM=BF+4^AC;

(3)延長(zhǎng)尸。至尸'，使歹'。=少〃

???〃、”分別為尸歹、尸4中點(diǎn)，

：.DMIIF'3且DM=￥'B,

當(dāng)F在線段上時(shí)，斤’3最小(如右圖3),

此時(shí)〃在線段/。上，此時(shí)〃〃最小=景歸=分4=2=4〃，

過點(diǎn)〃作MP///G交48于點(diǎn)尸，

連接。P,DN,

■：MPIIAD,APIIDM,AD=DM=2,

四邊形力〃MP是菱形，

■：ACAB=60°,

.?.△0MP是等邊三角形，2MPN=60。，

MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)60：

是等邊三角形，

△DMN94PMN(SSS),

：.￡MDN=￡MPN=6G°=ZPDM,

即N運(yùn)動(dòng)軌跡在DP上,

以O(shè)N為斜邊作等腰直角三角形ODN,

則ON=^DN,

2

,r(2MN-&DN)=2(MN-與DN)=2(MN-ON),

?：MN-ONaMO,

???當(dāng)"OAf三點(diǎn)共線時(shí)MN-CW最小為OM,

?；ZNDM=60°,ZTV270=45°,

/.ZOZ7M=15°,

作NGMD=ZGDM=15°,則N/GZ?=30°,

設(shè)OM=x,OG=、［^x,GM=DG=2x,DO=2x^yf^x,

?；DCP+MCP=DA^,

/.(2x+?x)2+9=22,

解得X=李_①，

22

(2MN-DN)最小值=2?！?戈-亞.

B

圖3

8.【分析】(1)過點(diǎn)￡作助12。于點(diǎn)H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出力。=助

=CD=4瓜由EHLBC可得出EH=HC=g^CE=近,則BH=BC-CH=7?

證出40//EH,可得ABDQS^BHE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得。。的長(zhǎng)；

(2)過點(diǎn)/作/K1BE交BC于點(diǎn)K,延長(zhǎng)氏4至點(diǎn)R,使得力7?=力E,連接CR,

延長(zhǎng)8E交CR于點(diǎn)T,利用4S4證明△A4g△力CK(4S4),根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得/。=?！?，再證445￡9/\/。/?(SAS),得//B反可得出N￡TC=

90°,則AKUCR,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得GK=CK,貝l]BC=?C=

BG+CG=BG+2CK=BG+2AQ,即可得出結(jié)論；

(3)解：連接力"，過點(diǎn)"作"SIR。于點(diǎn)S,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出

*EF=2?則點(diǎn)〃在以Z為圓心，2加為半徑的。月上移動(dòng)，利用44s證明△

MB24BNR〈AAS),可得BS=JVR,MS=BR,則當(dāng)7W?最小時(shí)，即6s最小，由

圖可得當(dāng)且僅當(dāng)MS與。/相切時(shí)，AS取得最小值，此時(shí)，AM=ME=2如，點(diǎn)E落

在線段月B上，AE=BE=4,BS=ES=2正,在RtAMSR中，根據(jù)勾股定理即可求

解.

【解答】(1)解：過點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,

■：AB=AC=8,/54。=90,

：.BC=yf^AB=8近,ABC=AACB=450,

,.,2。平分NA4G

：,AD]_BCyAD=BD=CD=4y[2^

-：AE=AF9

：,AB-AF=AC-AE,

：.BF=CE=2,

??,EH1BC,

：.ADIIEH,NEHC=9N,

:./_HEC=Z_HCE=45°,

HE=HC=堂CE=&,

：.BH=BC-CH=7近,

■：ADIIEH,

：.4BDQS4BHE,

.BD.DQ_W2_4

一麗同一7加7，

:.DQ=9HE=^&；

77

(2)證明：過點(diǎn)力作力43E交BC于點(diǎn)K,延長(zhǎng)氏4至點(diǎn)尺使得/欠=4E,連接

CR,延長(zhǎng)BE交CR于點(diǎn)T,

??,AD平分/期C,NBAC=9G°,

NBAD=45°,

:./_BAD=^ACB,

■：AKVBE,

：.AABQ^ABAK=90a,

???NA4aNG4K=90°,

在XABQXC4K中，

'NABQ:NCAK

<AB=CA,

ZBAQ=ZACK=45"

：./\BAQ^[\ACK(ASA),

:.AQ=CK9

在和△4C7?中，

'AB=AC

<ZBAE=ZCAR=90",

AE=AR

:.XABE^XACR〈SAS),

??.ZABE=ZACR,

^ABE+AAEB=90°,/_AEB=/_CET,

.\/_ACR+ACET=90°,

AETC=90°,

即CR_LBE,

,,AKIBE,

：,AK\\CR、

???2￡=2尸=月??,

??.GK=CK,

???BC=y/2AC=CG=BE2CK,

：,BG+2AQ,

2AQ=BG\

(3)解：連接Z",過點(diǎn)〃作“S1GC于點(diǎn)S,

A

■：AE=AF=4,NEAF=90°,

；.EF=y[^AE=4M,

?.?點(diǎn)〃是E戶的中點(diǎn)，

：.AM=^EF=2y/2,

.,.點(diǎn)”在以/為圓心，2料為半徑的。力上移動(dòng),

???是等腰直角三角形，

：.BM=BN,/.MBN=9G°,

：.ANBR+/_MBS=90°,

?：NRVBC,MSLBC,

：.ZNRB=ZBSM=90°,

：.Z.NBR+/LBNR=9Q°,

ZMBS=ZBNR,

在△A?S和△B7VR中，

，ZMBS=ZBNR

<ZBSM=ZNRB,

BM=NB

：./\MBS^^BNR(AAS),

：.BS=NR,MS=BR,

當(dāng)八次最小時(shí)，即AS最小，

如圖當(dāng)且僅當(dāng)MS與。/相切時(shí)，BS取得最小值,

此時(shí)，AM=ME=2近,點(diǎn)E落在線段A8上，AE=BE=4,BS=ES=2版,

：.MS=BR=ME+ES=4?

SR=BR-BS=2yj'^,

在RtZXAf