幾種典型物理模型的分析

幾種典型物理模型的分析第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說三種模型及其概要三種模型是指：碰撞模型、人船模型、子彈打木塊模型碰撞的分類彈性碰撞非彈性碰撞完全非彈性碰撞碰撞過程中所產(chǎn)生的形變能夠完全恢復(fù)的碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞過程中所產(chǎn)生的形變不能夠完全恢復(fù)的碰撞過程中有機(jī)械能損失的碰撞過程中所產(chǎn)生的形變完全不能夠恢復(fù)的碰撞過程中機(jī)械能損失最多的按形變恢復(fù)情況分按機(jī)械能損失情況1．碰撞模型:第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說m1、v1m2、v2m1、u1m2、u2碰撞過程的力學(xué)特征：經(jīng)歷的時(shí)間極短，所經(jīng)歷的時(shí)間在整個(gè)力學(xué)過程中可以忽略；碰撞雙方相互作用的內(nèi)力往往是遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)在碰撞前后遵從總動(dòng)量守恒定律，且碰撞前后能量不會(huì)增加彈性碰撞特例：遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒定律,即

m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能相等,即?m1υ12+?m2υ22=?m1u12+?m1u22

由此可得碰后的速度且碰撞前后,雙方的相對(duì)速度大小相等,即u2－u1=v1－v2第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說m1、v1m2、v2m1、m2、u完全非彈性碰撞特例：遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒定律,即

m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2具備碰撞雙方碰后的速度相等的特征，即△E=?m1υ12+?m2υ22―?m1u12―?m2u22=?m1υ12+?m2υ22－碰撞過程中機(jī)械能損失最大2．人船模型“人船模型”是由人和船兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)；該系統(tǒng)在人和船相互作用下各自運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中該系統(tǒng)所受到的合外力為零，即系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中總動(dòng)量守恒。第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說原型：長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的小船停在靜水中，一個(gè)質(zhì)量為m的人立在船頭。若不計(jì)水的阻力，當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，水平方向上動(dòng)量守恒，人走動(dòng)過程中的每時(shí)每刻它們的總動(dòng)量都是零。設(shè)人的速度為v人，船的速度為v船，人經(jīng)t秒從船頭到船尾，人相對(duì)岸的位移為s人，船相對(duì)岸的位移為s船.S人S船L由動(dòng)量守恒定律得：

mv人=Mv船由于運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻人，船速度大小v人和v船均滿足上述關(guān)系，所以運(yùn)動(dòng)過程中，人、船平均速度大小，

和

也應(yīng)

滿足相似的關(guān)系。即

兩邊同乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，則即

ms人=Ms船而s人+s船=L，所以有：

第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說3．子彈打木塊模型原型:如圖所示，一顆質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入靜止在光滑水平面上的木塊M中且未穿出。設(shè)子彈與木塊間的摩擦為f。子彈打進(jìn)深度d相對(duì)木塊靜止，此時(shí)木塊前進(jìn)位移為s。MmSd對(duì)子彈由動(dòng)能定理有：

②對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒有：

mv0=（M＋m）v①對(duì)木塊由動(dòng)能定理：③將②③相加可得④相互作用的力f與相時(shí)位移的大小d的乘積，等于子彈與木塊構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)能的減少量，亦即產(chǎn)生的內(nèi)能。第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題解說由①和④可得動(dòng)能的損失值：故打入深度明確:當(dāng)構(gòu)成系統(tǒng)的雙方相對(duì)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)往復(fù)的情況時(shí),公式中的d應(yīng)就理解為“相對(duì)路程”而不是“相對(duì)位移的大小”.專題聚焦1．碰撞模型例1

甲、乙兩球在光滑水平軌道上向同方向運(yùn)動(dòng)，已知它們的動(dòng)量分別是p甲=5kg·m/s，p乙=7kg·m/s。甲從后面追上乙并發(fā)生碰撞，碰后乙球的動(dòng)量變?yōu)?0kg·m/s，則兩球質(zhì)量m甲與m乙的關(guān)系可能是下面的哪幾種？（）

A.m甲＝m乙

B.m乙＝2m甲

C.m乙＝4m甲

D.m乙＝6m甲ABPAPB第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦ABPAPB解析：從題中給出的選項(xiàng)看，m甲、m乙是倍數(shù)關(guān)系，這樣可用km甲來表示m乙，設(shè)碰前甲、乙兩球的速度為v甲、v乙，碰后甲、乙兩球的速度為v/甲、v/乙。因甲從后面追上乙發(fā)生碰撞，則在碰前甲的速度應(yīng)大于乙的速度，即v甲>v乙。由已知m甲v甲=5，m乙v乙=7，則有＞①由動(dòng)量守恒定律可知，碰后甲的動(dòng)量為2kg·m/s，又因碰后，乙的速度大于等于甲的速度，v/乙≧v/甲，則同理也有≧②在碰撞的過程中，未說動(dòng)能有無損失，這樣可列出動(dòng)能的不等式為第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦將已知量代入，并分別解上述不等式；由＞

式得k＞7/5≥式得k≤5式得k＞51/21由此可知，只有選項(xiàng)C正確。A.m甲＝m乙

B.m乙＝2m甲

C.m乙＝4m甲

D.m乙＝6m甲例2

如圖所示．質(zhì)量為m的滑塊靜止在光滑的水平桌面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度v0向滑塊飛來，設(shè)小球不會(huì)越過滑塊，求滑塊能獲得的最大速度？此后小球做什么運(yùn)動(dòng)?第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦解析：小球m在滑塊M上先上升再下落，整個(gè)過程中M一直在加速，故M的最大速率出現(xiàn)在m與M分離時(shí)刻，整個(gè)相互作用的過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。即由方程可以看出，屬于彈性碰撞模型，故V1=0,小球做自由落體運(yùn)動(dòng)例3

如圖所示，水平光滑軌道寬和彈簧自然長(zhǎng)度均為d。m2的左邊有一固定擋板。ml由圖示位置靜止釋放，當(dāng)m1與m2相距最近時(shí)m1速度為v1，求在以后的運(yùn)動(dòng)過程中m1的最小速度和m2的最大速度。解析：

m1與m2相距最近時(shí)m1的速度v1為其最大速度，在以后的運(yùn)動(dòng)中，m1先減速，m2先加速；

第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)，此后m1將繼續(xù)減速，而m2將繼續(xù)加速。當(dāng)它們距再次相距d時(shí)，m1減速結(jié)束，而m2加速結(jié)束，此時(shí)m1與m2的速度v1/、v2/即為所求。以后m2將減速運(yùn)動(dòng)，而m1將加速運(yùn)動(dòng)，……此即彈性碰撞模型，則例4：如圖,弧形斜面質(zhì)量為M,靜止于光滑水平上，一質(zhì)量為m的小球以速度VO向左運(yùn)動(dòng)，小球最多能升高到離水平面h處，求該系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量。解：小球減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為小球的重力勢(shì)能和產(chǎn)生的熱量，即ΔEK=Q+mgh由完全非彈性碰撞模型知ΔEK=所以Q=ΔEK－mgh=－mgh.第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦

例5:如圖.質(zhì)量為m的小車靜止在光滑的水平軌道上,長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端固定在小車上,另一端拴一質(zhì)量也為m的小球.現(xiàn)給小球一初速度V,求其能上升的最大高度為多少?解：當(dāng)小球上升到最高點(diǎn)時(shí),二者具有共同速度,符合上述模型的條件.系統(tǒng)減少的動(dòng)能ΔEK全部轉(zhuǎn)化為小球的重力勢(shì)能ΔEP=m球gh,例6：如圖,在光滑的水平上,依次有質(zhì)量分別為m、2m、3m、…10m的10個(gè)小球,排成一直線,彼此有一定的距離.開始時(shí),后面的9個(gè)小球是靜止的,第一個(gè)小球以初速度VO向著第二小球碰去,結(jié)果它們先后全部粘合在一起向前運(yùn)動(dòng),由于連續(xù)地碰撞,系統(tǒng)損失的機(jī)械能為多少？解：把后面的9個(gè)小球看成一個(gè)整體，由完全非彈性碰撞模型,有第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日解：取人和氣球?yàn)閷?duì)象，系統(tǒng)開始靜止且同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，人下到地面時(shí)，人相對(duì)地的位移為h，設(shè)氣球?qū)Φ匚灰芁，則根據(jù)推論有

ML=mh得L=hmM地面Lh因此繩的長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)+h=(M+m)hM專題聚焦例7:載人氣球原來靜止在空中，與地面距離為h，已知人的質(zhì)量為m，氣球質(zhì)量（不含人的質(zhì)量）為M。若人要沿輕繩梯返回地面，則繩梯的長(zhǎng)度至少為多長(zhǎng)？2．人船模型第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日S1S2bMm解：劈和小球組成的系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒，且初始時(shí)兩物均靜止，故由推論知ms1=Ms2,其中s1和s2是m和M對(duì)地的位移，由上圖很容易看出：s1=b-s2代入上式得，m(b-s2)=Ms2,所以s2=mb/(M+m)即為M發(fā)生的位移。專題聚焦

例8.一個(gè)質(zhì)量為M,底面邊長(zhǎng)為b的劈靜止在光滑的水平面上，見左圖，有一質(zhì)量為m的物塊由斜面頂部無初速滑到底部時(shí)，劈移動(dòng)的距離是多少？θ第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日

拓展：如圖所示，三個(gè)形狀不同，但質(zhì)量均為M的小車停在光滑水平面上，小車上質(zhì)量為m的滑塊，由靜止開始從一端滑至另一端，求在此過程中，小車和滑塊對(duì)地的位移是多少？LRba專題聚焦第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日解:滑塊與圓環(huán)組成相互作用的系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。雖均做非勻速運(yùn)動(dòng)，但可以用平均動(dòng)量的方法列出動(dòng)量守恒表達(dá)式。soRR-s設(shè)題述過程所用時(shí)間為t，圓環(huán)的位移為s，則小滑塊在水平方向上對(duì)地的位移為（R-s），如圖所示.即

Ms=m(R－s)專題聚焦拓展:如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為R的光滑圓環(huán)靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小滑塊從與環(huán)心O等高處開始無初速下滑到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)發(fā)生的位移為多少？oR取圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，由?dòng)量守恒定律得第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦d例9.如圖所示，寬為d、質(zhì)量為M的正方形木靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量m的小球由靜止開始沿“Z”字通道從一端運(yùn)動(dòng)到另一端，求木塊-和小球的對(duì)地位移.解：把小球和木塊看成一個(gè)系統(tǒng),由于水平方向所受合外力為零,則水平方向動(dòng)量守恒.設(shè)小球的水平速度為v1、木塊的速度為v2，則有mv1=Mv2若小球?qū)Φ匚灰茷閟1、木塊對(duì)地位移為s2，則有ms1=Ms2且s1+s2=d解得第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦例10.

質(zhì)量為M的船靜止于湖水中，船身長(zhǎng)L,船頭、船尾分別站著甲、乙兩人，甲的質(zhì)量為m1，乙的質(zhì)量為m2，且m1＞m2，求當(dāng)甲、乙兩人交換位置后，船身位移的大小是多少？S人S船M+2m2m1－m2解析：船及甲、乙兩人組成的系統(tǒng)水平方向不受外力作用，故水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)每時(shí)每刻總動(dòng)量為零，符合人船模型的條件。甲、乙兩人互換位置相當(dāng)于質(zhì)量為（ml－m2）的人在質(zhì)量為M＋2m2的船上，從甲的位置走到乙的位置，如圖所示。可以應(yīng)用人船模型的結(jié)論,得船的位移：第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦Ot/sv/m.s-11234512ABv0v0

例11、質(zhì)量為M=4.0kg的平板小車靜止在光滑的水平面上，如圖所示，當(dāng)t=0時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量分別為mA=2kg、mB=1kg的小物體A、B都以大小為v0=7m/s。方向相反的水平速度，同時(shí)從小車板面上的左右兩端相向滑動(dòng)。到它們?cè)谛≤嚿贤Ｖ够瑒?dòng)時(shí)，沒有相碰，A、B與車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s2,求：（1）A在車上剛停止滑動(dòng)時(shí)，A和車的速度大?。?）A、B在車上都停止滑動(dòng)時(shí)車的速度及此時(shí)車運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間。（3）在給出的坐標(biāo)系中畫出小車運(yùn)動(dòng)的速度——時(shí)間圖象。第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦

解:(1)當(dāng)A和B在車上都滑行時(shí)，在水平方向它們的受力分析如圖所示：ABv0v0fAfBf車由受力圖可知，A向右減速，B向左減速，小車向右加速，所以首先是A物塊速度減小到與小車速度相等。設(shè)A減速到與小車速度大小相等時(shí)，所用時(shí)間為t1，其速度大小為v1，則：v1=v0-aAt1μmAg=mAaB ①v1=a車t1μmAg-μmBg=Ma車②由①②聯(lián)立得：v1=1.4m/st1=2.8s ③（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：mAv0－mBv0=(M+mA+mB)v ④v=1m/s ⑤總動(dòng)量向右，

當(dāng)A與小車速度相同時(shí)，A與車之間將不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)了。第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦設(shè)再經(jīng)過t2時(shí)間小物體A與B、車速度相同，則：－v=v1－aBt2⑥μmBg=(mA＋m車)aB⑦由⑥⑦式得：t2=1.2s所以A、B在車上都停止滑動(dòng)時(shí)，車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=t1+t2=4.0s ⑧

Ot/sv/m.s-11234512（3）由（1）可知t1=2.8s時(shí)，小車的速度為v1=1.4m/s，在0~t1時(shí)間內(nèi)小車做勻加速運(yùn)動(dòng)。在t1~t2時(shí)間內(nèi)小車做勻減速運(yùn)動(dòng)，末速度為v=1.0m/s,小車的速度—時(shí)間圖如圖所示ABv0v0第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦3．子彈打木塊模型例12

如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為M的盒子，盒子中央有一質(zhì)量為m的小物體（大小可忽略），它與盒底部的摩擦系數(shù)為μ。盒子內(nèi)部長(zhǎng)L，現(xiàn)給物體m以水平初速v0向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體與壁碰撞時(shí)無能量損失。求：（1）物體相對(duì)盒子靜止時(shí)，盒的速度大?。唬?）物體m與盒壁碰撞的碰撞次數(shù)。mv0L解析：由m以v0開始運(yùn)動(dòng)到m與M相對(duì)靜止的全過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，符合子彈打木塊模型。即mv0=（M＋m）v由可得

所以

第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦ABCMv0θ例13、如圖所示,傾角θ＝370的固定斜面AB長(zhǎng)L=12m,質(zhì)量為M=1kg的木塊由斜面上的中點(diǎn)C從靜止開始下滑,0.5s時(shí)被一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v0=600m/s沿斜面向上的速度正對(duì)木塊射入并穿出,穿出時(shí)速度u=100m/s.以后每隔1.5s就有一顆子彈射入木塊,設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間可忽略不計(jì)，且每次射入木塊對(duì)子彈的阻力都相同。已知木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25。(g取10m/s2，sin370＝0.60，cos370＝0.80)，求：⑴第一顆子彈從木塊中穿出時(shí)木塊的速度大小和方向。⑵木塊在斜面上最多能被多少顆子彈擊中。⑶在木塊從C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到最終離開斜面的過程中，子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是多少。第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦ABCMv0θ解：（1）木塊開始下滑時(shí):Mgsinθ—μMgcosθ=Ma1a1=g(sinθ—μcosθ)=4m/s20.5秒時(shí)下滑位移：m末速度v1=a1t1=2m/s設(shè)第一顆子彈穿過木塊時(shí)木塊的速度大小為V1/,方向沿斜面向上：由動(dòng)量守恒定律:mv0－Mv1=mu+Mv1/

∴v1/=

8m/s方向沿斜面向上(2）木塊沿斜面上滑時(shí)：對(duì)木塊:由－Mgsinθ－μMgcosθ=Ma2∴a2=－8m/s2

上滑時(shí)間：上滑位移：∵t2<1.5s，∴第二顆子彈擊中木塊前，木塊上升到最高點(diǎn)P1后又會(huì)下滑0.5秒。第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦ABCMv0θ故木塊到A點(diǎn)的最大距離為：木塊從P1再次下滑0.5s秒后被第二顆子彈擊中，與第一顆子彈擊中后過程完全相同，故再次上滑的位移仍為4m.9.5+4–0.5=13m＞12m由此可知，第二顆子彈擊中木塊后，木塊將滑出斜面。故共有兩顆子彈擊中木塊。（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：①兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能為：6940J②木塊在斜面上滑行時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)能：∵木塊在斜面上滑行的總路程為:s=0.5+4+0.5+3=8m那么產(chǎn)生的內(nèi)能為：ΔU2=μMgcosθs=16J∴總?cè)^程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量為:ΔU=ΔU1+ΔU2=6956J第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦

例14：如圖甲,一質(zhì)量為0.4kg足夠長(zhǎng)且粗細(xì)均勻的絕緣細(xì)管置與水平地面上,細(xì)管內(nèi)表面粗糙,外表面光滑有一質(zhì)量為0.1kg電量為0.1C的帶正電小球沿管以水平向右的速度進(jìn)入管內(nèi)，細(xì)管內(nèi)徑略大于小球直徑,已知細(xì)管所在位置有水平方向垂直于管向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為1特g取10m/s2)（2）若細(xì)管不固定,帶電小球以v0=20m/s的初速度進(jìn)入管內(nèi),且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)管沒有離開地面,則系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為多少?(1)當(dāng)細(xì)管固定不動(dòng)時(shí),在乙圖中畫出小球在管中運(yùn)動(dòng)初速度和最終穩(wěn)定速度的關(guān)系圖象（取水平向右為正方向

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20100vt/ms-1V0/ms-1乙v甲更多資源

第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日專題聚焦v甲解：帶正點(diǎn)的小球受力如圖qvBFNmgf洛侖磁力隨速度的變化而變化，導(dǎo)致支持力、摩擦力的變化。當(dāng)洛侖磁力等于重力時(shí)摩擦力為0.此時(shí),小球和細(xì)管的速度保持不變。達(dá)到穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).則：當(dāng)qvB=mg時(shí)v=mg/qB=10m/s

（1）當(dāng)初速度小于10m/s時(shí)，支持力方向向上，并隨速度的減小增大。