探索三角形相似的條件　【核心素養(yǎng)提升+備課精講精研】北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

4.4.2

探索三角形相似的條件第四章圖形的相似舊知回顧1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．2.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是

(

)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一個(gè)角是80°的兩個(gè)等腰三角形相似；③有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似；④有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似．

A.4

B.3

C.2

D.1C

B自學(xué)互研探索三角形相似的判定定理2思考1.有兩邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似嗎?3355不一定相似2.可以添加什么條件來判定上述兩個(gè)三角形相似？利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，

量出BC及B′C′的長(zhǎng)，兩個(gè)三角形相似活動(dòng)1問題1它們的比值等于

k嗎？再量一量?jī)蓚€(gè)三角形另外的兩個(gè)角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？

BACB'A'C'我們來證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，求證：△ABC∽△A′B′C′.證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D，

使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′，

交A′C′于點(diǎn)E.

∵DE∥B′C′，

∴△A′DE∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴證一證∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴歸納總結(jié)三角形相似的判定定理2：

兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．對(duì)于△ABC和△A′B′C′，如果AB

:A′B′＝AC

:A′C′，∠C=∠C′，這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？試著畫一畫.不一定會(huì)相似，如下圖，△ABC和△A′B′′C′不相似．ABCA′B′B″C′活動(dòng)2如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角.結(jié)論如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長(zhǎng).ACBED提示：解題時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊.自主探究三角形相似判定定理2的應(yīng)用解：∵AE=1.5，AC=2，

∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴ACBED典例講解例1根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.如圖，已知△ABD∽△ACE.求證：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，則∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再進(jìn)一步證明

，則問題得證．證明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.例2證明：∵CD是邊AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且，求證∠ACB=90°．ABCD∵

例3

解題時(shí)需注意隱含條件，如垂直關(guān)系，三角形的高等.點(diǎn)撥練一練1.下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是(

)A.B.∠B＝∠ADEC.D.∠C＝∠AEDC2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足AB2＝DB·CE.求證：△ADB∽△EAC.證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD＝∠ACE.

∵AB2＝DB·CE，∴△ADB∽△EAC.課堂小結(jié)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運(yùn)用檢測(cè)反饋1.下列條件能判斷△ABC和△A′B′C′相似的是（

）C2.已知：如圖，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.

求證：△AEF∽△ACB.證明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，

∴△AEC∽△AFB，

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB.3.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長(zhǎng)．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴4.如圖，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝

AE

·

AC，

求證：△ABC∽△AED.