探索三角形相似的條件　【核心素養(yǎng)提升+備課精講精研】北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

4.4.2

探索三角形相似的條件第四章圖形的相似舊知回顧1.兩角分別相等的兩個三角形相似．2.下列說法中正確的個數(shù)是

(

)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一個角是80°的兩個等腰三角形相似；③有一個角是100°的兩個等腰三角形相似；④有一個角相等的兩個等腰三角形相似．

A.4

B.3

C.2

D.1C

B自學(xué)互研探索三角形相似的判定定理2思考1.有兩邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似嗎?3355不一定相似2.可以添加什么條件來判定上述兩個三角形相似？利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，

量出BC及B′C′的長，兩個三角形相似活動1問題1它們的比值等于

k嗎？再量一量兩個三角形另外的兩個角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？

BACB'A'C'我們來證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，求證：△ABC∽△A′B′C′.證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，

使A′D=AB．過點D作DE∥B′C′，

交A′C′于點E.

∵DE∥B′C′，

∴△A′DE∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴證一證∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴歸納總結(jié)三角形相似的判定定理2：

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．對于△ABC和△A′B′C′，如果AB

:A′B′＝AC

:A′C′，∠C=∠C′，這兩個三角形一定會相似嗎？試著畫一畫.不一定會相似，如下圖，△ABC和△A′B′′C′不相似．ABCA′B′B″C′活動2如果兩個三角形兩邊對應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應(yīng)邊的夾角.結(jié)論如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長.ACBED提示：解題時要找準對應(yīng)邊.自主探究三角形相似判定定理2的應(yīng)用解：∵AE=1.5，AC=2，

∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴ACBED典例講解例1根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.如圖，已知△ABD∽△ACE.求證：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，則∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再進一步證明

，則問題得證．證明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.例2證明：∵CD是邊AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且，求證∠ACB=90°．ABCD∵

例3

解題時需注意隱含條件，如垂直關(guān)系，三角形的高等.點撥練一練1.下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是(

)A.B.∠B＝∠ADEC.D.∠C＝∠AEDC2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，且滿足AB2＝DB·CE.求證：△ADB∽△EAC.證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD＝∠ACE.

∵AB2＝DB·CE，∴△ADB∽△EAC.課堂小結(jié)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用檢測反饋1.下列條件能判斷△ABC和△A′B′C′相似的是（

）C2.已知：如圖，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.

求證：△AEF∽△ACB.證明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，

∴△AEC∽△AFB，

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB.3.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴4.如圖，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝

AE

·

AC，

求證：△ABC∽△AED.