高等數(shù)學(xué)全套課件(同濟(jì)五版)第八章 7微分法在幾何上的應(yīng)用_第1頁(yè)
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微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面定義設(shè)M是空間曲線L上的一個(gè)定點(diǎn),M*是L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)M*

沿曲線L趨于M時(shí),割線MM*

的極限位置MT（如果極限存在）稱為曲線L在M處的切線下面我們來導(dǎo)出空間曲線的切線方程Ⅰ。設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M0

點(diǎn)且與切線垂直的平面.解切線方程法平面方程Ⅱ。空間曲線方程取x

為參數(shù)法平面方程為Ⅲ。空間曲線方程切向量切線方程法平面方程為所求切線方程為法平面方程為二、曲面的切平面與法線Ⅰ。設(shè)曲面方程為在曲面上任取一條通過點(diǎn)M的曲線曲線在M處的切向量令則切平面方程為法線方程為垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.曲面在M處的法向量即Ⅱ?？臻g曲面方程形為令曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量其中解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，滿足方程所求切點(diǎn)為切平面方程(1)切平面方程(2)例6在橢球面上求一點(diǎn)，使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角解令則注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角相等故解得所求的點(diǎn)為的法線的方向向量為故橢球面上任一點(diǎn)例7設(shè)

z=z(x,y)由方程確定，

其中f(u,v)可微證明z=z(x,y)表示錐面為曲面上一點(diǎn)則連接PP0

的直線的方程為證得出直線上的點(diǎn)都在曲面上，所以曲面是以(a,b,c)為頂點(diǎn)的錐面。曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)）思考題三、小結(jié)空間曲線的切線與法平面（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求

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