全等三角形旋轉(zhuǎn)模型 易錯(cuò)題難題測(cè)試綜合卷學(xué)能測(cè)試試卷

全等三形旋轉(zhuǎn)模型錯(cuò)題難題測(cè)綜合卷能測(cè)試試卷一、全三角形旋轉(zhuǎn)型1．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（）圖，

與都等邊三角形，直線(xiàn)

BD,CE

交于點(diǎn)．線(xiàn)，AC

交于點(diǎn)H．

的度數(shù)（）知：與ADE位置如②所，直線(xiàn)BD,交點(diǎn)F．線(xiàn)，

交于點(diǎn)H．

ABC，ACBAED

，求

的度數(shù)應(yīng)用結(jié)論：（）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

O

的坐標(biāo)為

(0,0)

，點(diǎn)

的坐標(biāo)為

(3,0)

，

為

軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN將線(xiàn)段MN繞M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得線(xiàn)，接NK

，

，求線(xiàn)段

長(zhǎng)度的最小值答案：A解析：1）的數(shù)為60）BFC的數(shù)為長(zhǎng)度的最小值為

1

；（）段

【分析】（）過(guò)證明

CAE可得ACE

，再由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解

即可；（）過(guò)證明

ADE

可得

DAE

，

ABAE

，可證ABD

，可得

，由外角性質(zhì)可得

BFC

，再有三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；（）旋轉(zhuǎn)的質(zhì)可得MNK是等邊三角形，可得

MN

，NMK

，如圖將MOK繞點(diǎn)M順針旋轉(zhuǎn)60△MQN

，連接OQ，得

60

，=，MOMQ，當(dāng)NQ為小值時(shí)，OK有最小值，由垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)QN軸NQ有小值，由直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（）

ABC

與ADE是邊三角形，

60

BADCAE()ABDABCACEDBC60BFC180ACEACB

；（）

ADEACBAED

ADEBACDAE

，，

ABACADABADAE

ABDBHCABDBACBFCACEBAC

BFC

BFC180

；（）將段MN繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到線(xiàn)段MK

，

60MNK是邊三角形

MN，NKM如下圖，將

MOK

繞點(diǎn)順針旋轉(zhuǎn)

，得到△MQN，連接OQ

MQN，60NQ，=△MOQ是邊三角形

QOMNOQNQ當(dāng)NQ為最小值時(shí)OK有小，由垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)QN軸時(shí)NQ有小值點(diǎn)

M

的坐標(biāo)為

(3,0)

OQQN軸32線(xiàn)OK長(zhǎng)的最小值為

．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC中，ABC＝，＝＝，過(guò)點(diǎn)作AC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、分是線(xiàn)段、BC上點(diǎn)且BE＝，接交BD于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EH交AF于P，交于H．

（）BF＝，eq\o\ac(△,)ADQ的積；（）證：＝；（）圖2，＝，接EFeq\o\ac(△,)繞在面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，取EF的點(diǎn)，連接，，將線(xiàn)段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°線(xiàn)段AN，接MN、，過(guò)點(diǎn)N作NRAC交AC于點(diǎn)R當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)eq\o\ac(△,)CMN的長(zhǎng)．答案：A解析：1）；2）明見(jiàn)解析；3）【分析】

3．（）用等腰角三角形的性質(zhì)求出

2

，再利用三角形面積相等和勾股定理分別求出AQ和QD，后利用三角面積公式即可求解；（）圖，先輔助線(xiàn)構(gòu)造

≌

，得到AH，通過(guò)轉(zhuǎn)化得到DQ

，最后利用，得到一個(gè)相等關(guān)系，即

，利用等式性質(zhì)即可得到所求；（）圖，通做輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形確定出當(dāng)，且N點(diǎn)于H、之時(shí)，此時(shí)的長(zhǎng)最小，接著利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出CM、MN、CN的長(zhǎng)，相加即可．【詳解】解：

，∠ABC90

°

，∴AC，又

ACBDBD平分AC，的平分線(xiàn)

BDADCD

AC

，點(diǎn)到和BC邊的距離相等；

，

SS

ABQBFQ

64

，

2232223232

，

AB

2

BF

2

6

2

2

13

，

6AF，5

QD32，ADQ5

2

2

，ADQ的面積為1．（）圖，作CG，垂足為C，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∠ACG

°

∠45°，

GCB45

°

，EHAF，

AEP90

°

,又∠AFB∠AEP，

∠CFGBE，

BAAE，在AEH和中CF

FCG≌AH；BDAC，ACBD，D點(diǎn)是的點(diǎn)，且BD，DQ是

ACG

的中位線(xiàn)，

DQ

，

2

；AC=2BD，

，

AHDQ

，CH2BQ（）圖，作AH且AHABHAM+=90°，=，AB=AH，=AN

≌AHN

，=BMBE==3，，

BE，由M點(diǎn)是EF的點(diǎn)，可

BM

3EF，2

NH

2

，N點(diǎn)在以H點(diǎn)圓心，

為半徑的圓上，如圖，HN，且N點(diǎn)于H、之間時(shí)，此時(shí)NR的長(zhǎng)最小，為HR，=45°，=45°HR，

，

HR

2

2

2

，HRAR

62

，

22

，

AC

2，

22

CRAC2，

3，2MAN，AM=，

MN

2AN，ABM，，點(diǎn)在上點(diǎn)CB延線(xiàn)上，如圖，作MP，垂足為，

BP

EB

，

PCPBBC

2

，

MCMP

2

PC

2

，

MCMNCN

10，CMN周長(zhǎng)為

26310．2【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、圓等知識(shí)，要求學(xué)生熟練掌握相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用它們，本題的綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形以及線(xiàn)段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化等，考查了學(xué)生綜合分析和推理論證以及計(jì)算的能力，本題屬于壓軸題，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法等．3．如圖，

△ABD

和

△ACE

都是等邊三角形．

（）接CD、交點(diǎn)P，求BPD；（）接，斷線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（）圖，等ABC中AB＝，BAC＝（0＜），在內(nèi)一點(diǎn)M，接MA、、．MA＋＋最小時(shí)，ABM＝（含的子表示）答案：D解析：1）

BPD

（）PBPA，明見(jiàn)詳解（）

【分析】（）明

BAE

，得

，就可以證明BPD；（）DP上取PF=PB，連BF，明

DBFABP

，得DF，即可證明PBPA；（）別以和AC為邊，向兩邊作等邊三角形ABD和邊三角形ACE，連接BE和，交于點(diǎn)M連接，此時(shí)MAMBMC最小，然后利用等腰三角形ADC求出

ADC

的度數(shù)，即可得到的數(shù)．【詳解】解：（）

△

和

ACE

是等邊三角形，AD，

AE

，

CAE

，

DABBAC

，

BAE

，在和BAE中ADAB

，

ACAE

，

ABE

，

BPD

，

BPD

；（）圖，在DP上取PF=PB，連接BF

，

，△PFB是邊角形，BP，

60

，，F(xiàn)BAFBP，，在DBF和△ABP中ABABP

，

BFDBFABP

，

，PF，PDPA

；（）圖，分以和AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接BE和，交于點(diǎn)M連接，此時(shí)MAMBMC最小，由（）的論可得MAMB，當(dāng)、、三共線(xiàn)時(shí)最小，即CD的，由（）

ADCABM

，

ADAB，DAC60

，

ADC

180

6022

，

ABM

，

eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)ADE故答案是：

．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形來(lái)進(jìn)行證明求解．4．探究：（1）圖，eq\o\ac(△,)中，＝，AB于D若B＝，ACD的數(shù)是．拓展：2）圖，MCN＝，射線(xiàn)CP在MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、分別存CM、CN上，分別過(guò)點(diǎn)A、作ADCP、CP于點(diǎn)E，＝，則、DE、三間的數(shù)量關(guān)系為．說(shuō)明理由；應(yīng)用：3）圖，、分在MCN的、上射線(xiàn)CP在的內(nèi)部，點(diǎn)D、在線(xiàn)CP上連AD、、，使MCN＝ADP＝BEP．AC＝時(shí)

；此時(shí)如果CD2DE，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)6，eq\o\ac(△,)ACE的積是．答案：D解析：1）（）＝﹣；理由解析（）；；【分析】（）用直角角形的兩銳角互余，即可得出結(jié)論；（）用同角余角相等判斷＝BCE，進(jìn)而判eq\o\ac(△,)ACD，即可得出結(jié)論；（）用等式性質(zhì)判斷CEB，進(jìn)而判斷eq\o\ac(△,)ACD，出，再求出＝即可得出結(jié)論．eq\o\ac(△,)【詳解】解：探究：AB，＝，B＝，＝﹣＝，＝90°，ACD＝90°＝28°，故答案為：；拓展：MCN＝，ACD+BCE90°，CP，，

eq\o\ac(△,)ACD

＝

ADEeq\o\ac(△,)ACD＝＝，ACD+CAD90°，＝BCEeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CBE中，CEBBCE

，

ACBCCBE（）CD，AD＝，DE＝﹣＝﹣，故答案為：＝﹣；應(yīng)用：MCN＝ACD+，MCN＝ADP，＝ACD+BCD，＝ACD+CAD，＝BCE＝BEP，＝CEBeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CBE中，CEBBCE

，

ACBCCBE（）

eq\o\ac(△,)ACD

＝，eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)

＝，

eq\o\ac(△,)ACD

＝，CD2DE，

eq\o\ac(△,)ACD

＝，

eq\o\ac(△,)ADE

＝

12

eq\o\ac(△,)ACD

＝，

eq\o\ac(△,)

＝＝，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，等式的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷eq\o\ac(△,)ACDCBE是解本題的關(guān)鍵．5．已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考與頂點(diǎn)連接“三合．

請(qǐng)利用上面信息解決以下問(wèn)題：已知Rt中，BC，90

，為AB的中點(diǎn)，

EDF

，EDF繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、．（）繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到

DE

于時(shí)（如圖）求證：S

△DEF

△

S

△ABC

；（）繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到DE和

不垂直時(shí)，在圖和③兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、、△DEF△量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需要證明．

ABC

又有怎樣的數(shù)答案：D解析：1）解析；2）成立，圖3不立：

S

△DEF

△

S

△ABC【分析】（）據(jù)等腰角三角形和正方形的性質(zhì)得到AED、△DFB、、ECF為等的等腰直角三角形，據(jù)此即可證明；（）于圖2：點(diǎn)D作

AC

，

DN

，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)和等量代換證得

和

MDENDF

，結(jié)合

DME

，證得DMEDNFDMEDNF

，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；對(duì)于圖：據(jù)ASA證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證．【詳解】（）明：連CD∵D為AB

邊的中點(diǎn)，

AC

，，

DACDCA又DE，90四形ECFD為形CFD=90°又DCF=45°CF=DF四形ECFD是方形DE=DF

，S

△

△

△

△又

eq\o\ac(△,S)

△DBF

S

，且△ABCeq\o\ac(△,S)DCF△DBF

S

△DEF

△

S

△ABC（）成，圖3不立對(duì)于圖2：過(guò)點(diǎn)D作DMAC，DNBC，如圖2，DMEDNFMDN90又

BCD為AB邊的中點(diǎn)根中位線(xiàn)定理到：MD=ND

1AC，MDBC2

EDFEDN90NDF在DME與

中DMEDNFND

NDFDME

yyyyDMES四邊DMCN

四邊DECF

S

DMCN

eq\o\ac(△,S)

S

△DEF

△

S

△ABC對(duì)于圖3：連接，在DECDBF中DBF135DB

CDEBDFDECDBF

S

DEF

五邊形D

DBC

CFE

S

ABC

S

DEF

S

ABC

．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，題目較為綜合，利用作出的輔助線(xiàn)將不規(guī)則的三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決．6．如圖所，在

eq\o\ac(△,)ABC

中

BAC90

，

，

，以

所在直線(xiàn)為軸邊

的垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，將

繞點(diǎn)0,順針旋轉(zhuǎn)．（）空：當(dāng)B旋轉(zhuǎn)到軸半軸時(shí)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A坐為；（）圖2所，若邊與軸交點(diǎn)為E，與直線(xiàn)證：的長(zhǎng)為定值；（）（）的條件下，求AEF內(nèi)圓徑的最大值．

y

的交點(diǎn)為，

yy解析：1）【分析】

1

；（）解析；）2（）出圖形

A''C'

是

ABC

繞點(diǎn)順針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B旋到y(tǒng)軸正半軸時(shí)得到的圖形，連接BP，

CP

，根據(jù)

BC

，軸直平分

BC

，

AB

，P

ABPC

是正方形，則有

'

''2

，B'0B'P2

，可得點(diǎn)

A

坐標(biāo)；（）

，交長(zhǎng)線(xiàn)于

點(diǎn)，根據(jù)四邊形

是正方形，得到

，

BPCP

，可證△BPQCPF

，得BQ，QPFP

，利用ASA再證得QPEeq\o\ac(△,)

，得QEFE則的長(zhǎng)22（），

，Rt的切圓半徑為r，（）得AF則

r

EF

2，最小時(shí)，r最大．得到n

22mnm

整理得：n

222m0

，關(guān)于

的一元二次方程有解，即

m222m0化得

2m，用二次函數(shù)圖像可得m或m2（合題意，舍去）可得的小值為

42

，即r的大值為222

，則有AEF內(nèi)圓半徑的最大值為32．【詳解】解：（）圖，

''C

是繞P點(diǎn)1順針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B旋到y(tǒng)軸正半軸時(shí)得到的圖形，連接，CP

BC

，

y

軸垂直平分

BC

BO又eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC中，AB

，

ABAC

PAOPO四形

是正方形

B'0

''

PO

'2

2點(diǎn)

A

坐標(biāo)為

21（）圖2所，作

BPQ

，交AB延線(xiàn)于Q四形

ABPC

是正方形

90

，

CP

△BPQASA

BQCF，點(diǎn)

在直線(xiàn)

y

FPE45BPE

QPE45

EP

AEF

的周長(zhǎng)

EFAFBQAE22

（），，的切圓半徑為r，由（）得2則2

r

AF當(dāng)小時(shí)，r大在AEF中AE2

n

22mn

m

整理得：

22

2m0關(guān)n

的一元二次方程有解

m22422

2m利用二次函數(shù)圖像可得或不合題意，舍去）

的最小值為

42

r的大值為

3即AEF內(nèi)圓半徑的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、三角形內(nèi)切圓等知識(shí)，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖１，eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ADE中，DAE=，AD=AE，AB=AC．（）證eq\o\ac(△,)ACE；（）圖2，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中BAC，，，，點(diǎn)在內(nèi)延長(zhǎng)DE交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是BC中點(diǎn)；（）為腰三角形，，，點(diǎn)eq\o\ac(△,)ABC所平面內(nèi)一點(diǎn)，

，，，直接寫(xiě)出CP的長(zhǎng)．答案：D解析：1）明見(jiàn)詳解；）證明見(jiàn)詳解；37或2．【分析】（）為DAE=，可以得DAB=EAC，因?yàn)椋?，可得到；（）接CE延長(zhǎng)EF至點(diǎn)H，CF=CH，接，（）可eq\o\ac(△,)ACE，以和，可以推出CEF，再證eq\o\ac(△,)DBF，所以BF=CH，等量代換即可得到BF=FC，可解決；（）P在ABC內(nèi)部，eq\o\ac(△,)ABP逆針轉(zhuǎn)120°，到PP

和PC，可以得eq\o\ac(△,)角角形，利用勾股定理即可求出PC的；當(dāng)點(diǎn)P在ABC外，將APB繞逆針旋轉(zhuǎn)120到

PDC

，連接PP

和PC，過(guò)點(diǎn)P作PDCP

于點(diǎn)，接PD可以得eq\o\ac(△,)PPeq\o\ac(△,)角三角形和，利用勾股定理即可求出DPPC的值．【詳解】解：（）明BACDAB=AD=AE，ACE（）明：連CE，長(zhǎng)EF至，取，接，圖所示：

及AEC，ADB=AEC=90°AD=AEADE=ADE+EDB=AED+CEH=90°EDB=CEHCF=CHCFH=CHFDFB=HCE=BD

DBFBF=CF點(diǎn)是BC的中點(diǎn)（）點(diǎn)Peq\o\ac(△,)ABC內(nèi)部，如圖所示，eq\o\ac(△,)ABP逆針旋轉(zhuǎn)，到ACPPP

和PCeq\o\ac(△,)ABP旋得

PAP

=120°，AP=

AP

=2，

CP

=4

=2，AP，，PP，

23

7．當(dāng)點(diǎn)P在ABC外，如圖所示，eq\o\ac(△,)繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120eq\o\ac(△,)C，點(diǎn)作PDCP'

于點(diǎn)D，接，eq\o\ac(△,)ABP旋得

PAP

=120°，AP=

BP=

=2，

APPP

，PP在'

中，

PD

PP'3

，'2PD

，DCDP''C

，2

3

．綜上所述，PC7或213

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形以及旋轉(zhuǎn)，合理的作出輔助線(xiàn)以及熟練旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．矩形中，AB6,BC，M分在邊BC上且BM3,DN2

，連接

MN

并延長(zhǎng)，交

CD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，

為射線(xiàn)

MN

上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作AQ的線(xiàn)，交CD于P．（）例發(fā)現(xiàn)如圖，若點(diǎn)恰與點(diǎn)重，填空：①；

QA

與

的等量關(guān)系_________．（）展探究如圖，若點(diǎn)Q在MN的長(zhǎng)線(xiàn)上，QA與QP能否相等？若能，求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（）維延伸如圖，點(diǎn)

G

是線(xiàn)段

CD

上異于點(diǎn)一，接

AG

，過(guò)點(diǎn)

G

作直線(xiàn)

，交直線(xiàn)于點(diǎn)I，否存在點(diǎn)G，AG相？若存在，請(qǐng)直寫(xiě)出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：E解析：1）；②

QA

；（）

QA

與

能夠相等，理由詳見(jiàn)解析；（）（）AG能相等，【分析】

DG

（）根據(jù)

END

EMC

，利用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出ED長(zhǎng)；②過(guò)作

HG//BC

，交AB于點(diǎn)H，DC于點(diǎn)，

QG

，利用AHQQGD

，對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出，到這兩個(gè)三角形其實(shí)是全等的，所以QP

；（）點(diǎn)作QF，的長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，長(zhǎng)FQ交于點(diǎn)，造k字型全等三角形，設(shè)AF，利用相似三角形的性質(zhì)列式求解；（）點(diǎn)作點(diǎn)K，點(diǎn)I作IS，交KG的長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)AD交于，（）造k字全等三角形，DGy，利用相似三角形的性質(zhì)

列式求解．【詳解】（）/MC

，

ENDEMC

，

EDNDEC

，MC，2

，解得，故答案是：；②如，過(guò)點(diǎn)作

HG//BC

，交AB于點(diǎn)H，DC于，可得

HG

，

HGDC

，

AHQ90

，AQQD，AQHDQG90

，

QAHAQH90

，

QAHDQG

，

AHQQGD

，

HQQGGD

，設(shè)QG，

HQ

，

//

，

EMC

，

QGEG，MCAH，

，得

DGx

，根據(jù)

HQQGGD

x，得，解得x，xx

AHHQGD

，

AHQQGD，AQQDQP

，故答案是：

QA

；（）

QA與QP能夠相等，

，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作，的延長(zhǎng)于點(diǎn)F，長(zhǎng)FQCE于G，又

90AQF，PGQ90PQGDP,AFFQ

，設(shè)AF，

,DGx,EG

，

EDQGNDx

，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)，

x

是該分式方程的根，

4,,

；（）AG能相等，

DG

，如圖，過(guò)點(diǎn)

G

作

于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)I

作

，交

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

，延長(zhǎng)AD交

IS

于點(diǎn)，據(jù)”字全等得

AKG,AKGSISKG

，設(shè)DGy則AKTSDTy,NTy

，tan

ITED8y,2

，解得

，故

DG

的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查”字全等三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)k”字型全等，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解．9．如圖，在四邊形ABCD中，AB是角線(xiàn)，BAC

，（）

ADC

的度數(shù)；（）

ADCD

，求證：平

∠BDC

；（）（）的條件下，E、F分在

、，連接、

CF

，交于點(diǎn)P使得BPCBDC

，若BDEF，AD，求的積

答案：A解析：1）

ADC=60

；（）明見(jiàn)詳解；）

．【分析】（）由四邊內(nèi)角和得到+C+BDC

，再由

可得答案；（）△ABD繞A逆針旋轉(zhuǎn)

60

得到

ACE

，由（）題易得、、三共線(xiàn)，從而得到ADE是邊角形，由等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得

，故得證；（）點(diǎn)B、點(diǎn)分作CD，AC，分別交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)、于點(diǎn)，接，（）及題意易得，BDC易得

，進(jìn)而得到△AFC≌

，設(shè)，據(jù)勾股定理得到、、的長(zhǎng)，最后根據(jù)BFE、【詳解】

的面積比等于與PC的比，進(jìn)而求解即可（）：

BAC=60

，+BDC

，又

，B

，

ADC

；（）明：把△ABD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ACE，由）得：

AD=AE，，=ADC=60ADBD

，

、、三點(diǎn)共線(xiàn)，

2222

ADE是邊三角形，ADB

，ADC60

，

AD平

∠

；（）：過(guò)點(diǎn)、分別作BGCD，AC，分別交的長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)、于，接，BC由題意及2）可得：ABC是邊三角形，AB=AC=BC，60

,BD7

，

AD

，

，BG，DC=AD-BD=8，GCDC

，在Rt△中，BCBG

2

2

2

2

，又BPC=120

，PBCPCB

，ECPPCB

，ECP=EBC

，60BC，△△

，

CE=AF，x

x，F(xiàn)H，在FHE中，F(xiàn)H

2

2

2

3x3即

2

，解得x1

，①當(dāng)CE=AF=5時(shí)，則AE=8，

S

BEC

53653

，S

ABC

BEC

33，

ABE

3

，設(shè)

BFP

EFP

，

BPC

，S

EPC

d

，則有：

cd

，

BFE

BFP

FEP

,S

BEC

BPC

EPC

，

∶BFE

BEC

∶

，

S

∶S

BEC

64∶PC=16=，又

S

1CE24

，

S

FEC

25；4129②當(dāng)CE=AF=8時(shí)，，有：

S

36532

，S

CBE

ABC

BEC

3653263，

BFE

ABE

AFE

34由可：S

∶

∶PC=

∶3=，又

1332

S

33；綜上所述：S

．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形與四邊形的綜合問(wèn)題，主要是利用全等三角形、等邊三角形、三角形面積比的轉(zhuǎn)換及勾股定理，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，尤其是第三問(wèn)的面積轉(zhuǎn)換問(wèn)題是本題的難點(diǎn)．10．中＝，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線(xiàn)段AM繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與BAC相的角度，得到線(xiàn)段AN，連結(jié)．（感知）如①，M是線(xiàn)段BC上的任意一點(diǎn)，易證

ACM

，可知NAB＝，＝．（探究）（）圖②，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若點(diǎn)M是CBE內(nèi)射線(xiàn)BD上意一點(diǎn)，連結(jié)MC，感知）中的結(jié)論是否仍然立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（拓展）（）圖③，在DEF中＝，DEF＝，EDF＝，是EF上任意點(diǎn)，連結(jié)，DP繞點(diǎn)按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線(xiàn)段DQ，結(jié)EQ，則EQ的

小值為．解析：1）立，見(jiàn)解析；（2）42【分析】（)根證MAC即可．（)如3中在DF上截取

DN

，連接

PN

，作NHEF于，DM于．理由全等三角形的性質(zhì)證明

，推出當(dāng)

PN

的值最小時(shí)，

的值最小，求出HN

的值即可解決問(wèn)題．【詳解】(1)結(jié)仍然成立．理由：，∴MAC

，∴

，AB

，

AN

，()

，

．（)如3中在DF上取

DN

，連接

PN

，作NHEF于H，DMEF于．FDE

，，DQDP

，DN，

QDEPDN(SAS)，EQPN，當(dāng)?shù)淖钚r(shí)，QE的最小，在△DEM中，，DEM60DE，sin603MDFEDF，DF，DFDN46在，，NH32根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與H合時(shí)，的最小值為432．

PN

的值最小，【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用垂線(xiàn)段最短解決最值問(wèn)題．11．合與實(shí)踐實(shí)踐操作：①如1，

是等邊三角形，為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

ACD

繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

得到AEF，接CE．②如2，

中，AD

于點(diǎn)D，ABD繞逆針旋轉(zhuǎn)

90

得到AEF，延長(zhǎng)FE與BC交點(diǎn)．③如3，圖2中得到AEF沿AE再次折疊得到AME，接MB．問(wèn)題解決：（）明在探圖1時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是形．小是這樣想的：

請(qǐng)根據(jù)小明的探索直接寫(xiě)出圖1中段CD，CF，之間的數(shù)量關(guān)系為：（）想圖2中邊形ADGF的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題再探：（）圖3中若，，MB長(zhǎng)為．答案：C解析：1）；（）邊形為正方形；理由見(jiàn)解析；）13【分析】（）證明C、、在一直線(xiàn)上，再證eq\o\ac(△,)（）則ADB=，BD=CF，得AC=CF+CD；（）根ADC=F=90°證明得四邊形ADGF是形，由鄰邊相等可得四邊形是方形；（）eq\o\ac(△,)BAMEAD（）根據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：（）圖由旋轉(zhuǎn)得：DAF=60°=，AD=AFBAD=CAF，ABC是邊三角形，，（）ADB=，，ADC+ADB=AFE=180°，C、、在一直線(xiàn)上，，故答案為：

；（）邊形是正方形，理由如下：如圖：

eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得eq\o\ac(△,)AEF，，DAF=90°，，ADC=DAF=，四形是形，，四形是方形；（）圖3，接DE四形是方形，，繞A逆針旋轉(zhuǎn)90°，eq\o\ac(△,)AEF，BAD=EAFBD=EF=2，，eq\o\ac(△,)AFE沿AE折得eq\o\ac(△,)AME，MAE=，AF=AM，BAD=，BAD+EAM+DAM，即BAM=DAE，，，eq\o\ac(△,)BAMeq\o\ac(△,)中AM

，

BAMEAD（）

EG

2

DG

2=

4

2

2

13

．

故答案為：213．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．12．究問(wèn)題：(1)方感悟：如圖，正方形中，點(diǎn)，分為DC，邊的點(diǎn)，且滿(mǎn)足BAF＝，連接EF，證＋＝．悟解題方法，并完成下列填空：eq\o\ac(△,)ADE繞A順針旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)，時(shí)AB與重合，由旋轉(zhuǎn)可得：＝，＝DE，＝2，ABG＝，ABG＋ABF＝＋＝，此，點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上．EAF＝＋3BAD－90°45°＝＝，1＋3＝．即GAF＝________．又＝，＝．_________＝，＋＝．(2)方遷移：如圖，eq\o\ac(△,)沿邊折得eq\o\ac(△,)，E，分為DC，BC邊上的點(diǎn)，且EAF＝DAB試猜想DEBFEF之有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．答案：E解析：、EAF、；(2)DE＋＝【解析】【分析】（）用角之的等量代換得GAF=，利用得eq\o\ac(△,)GAF，得出答案；（）eq\o\ac(△,)ADE順針旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)ABG再證eq\o\ac(△,)AGFAEF，即可得出答；【詳解】解：（）圖所示；

根據(jù)等量代換得GAF，利用得eq\o\ac(△,)GAF，GF，故答案為：；EAFGF；(2)DE＋＝，由如下：假設(shè)的度數(shù)為m，eq\o\ac(△,)ADE繞順針旋轉(zhuǎn)，得eq\o\ac(△,)ABG，如圖，此時(shí)與重，由旋轉(zhuǎn)可得：＝AD，BG＝，1＝2，ABG＝＝，ABG＋ABF90°90°＝，因此，點(diǎn)G，，在一條直上．

，＝，1＋3．即GAF＝．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AEF中，GAF（）．GF＝．

．又GFBG＋＝＋，DE＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、以及折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識(shí)，證得GAF≌EAF是題的關(guān)鍵．

13．圖1，邊形中BD，為上點(diǎn)，＝，BD，＝（）知AB＝，＝，；（）圖2，為AD上一點(diǎn)，＝，接BF，交BF交AE于G，G作于H，＝．證：BF22．答案：B解析：1）【分析】

；2證明見(jiàn)解析（）勾股定得出BD＝

＝，證得eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)BEC，得出＝，則CE＝＝﹣＝BD﹣＝，等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（）接CF，證AF＝，CE得出四邊形AECF是行四邊形，則AE＝，AECF，出＝EAD，CFB＝AGF，由eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)，出CBE＝EAD，出CBE＝CFD，證eq\o\ac(△,)BCF是等腰直角三角形，則BF＝

BC

CF

AE，F(xiàn)BC＝BFC＝，出AGF＝45°＝60°＝，AG＝，出BF2

AE＝（），即可得出結(jié)論．【詳解】（）：BD，＝

＝2＝，CEBD，＝＝，在eq\o\ac(△,)ADE和eq\o\ac(△,)中，EDeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)（），BE＝，CE＝＝﹣＝＝﹣2，CD

＝CE＝

；（）：連接，圖2所示：

＝，＝，＝，ADCEBD，，四形AECF是行四邊形，＝，∥CF，CFD＝，＝AGF，由（）：eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，＝EAD，＝，F(xiàn)BD+BFC+CFD＝90°，F(xiàn)BD+BFC+＝，90°，＝，BC＝CF，BCF是腰直角三角形，BF

2

BC2

CF＝2

AE，F(xiàn)BC＝BFC＝，AGF＝45°，BGH75°，AGH＝﹣﹣＝，GHAB，30°＝，BF

AE＝2（）BF＝

EG．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、作輔助線(xiàn)構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵．14．題背景：如圖，在四邊形ABCD中BCD

，BA，120繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、

DC

于E．究圖中線(xiàn)段，，EF之的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到G使

CG

，連接

BG

，先證明

△

，再證明△BFE

，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；探究延伸1：圖2，四邊形

ABCD

中，

90

，

，BABC

，

，

MBN

繞點(diǎn)轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、

DC

于E．述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（直接寫(xiě)“成立或“不成”），不要說(shuō)明理由．探究延伸2：圖3，四邊形中，，

，

，

MBN

繞點(diǎn)轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、

DC

于E．述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O處北偏西的A處艇乙在指揮中心南偏東70處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東

的方向以100海里小的速度前進(jìn)1.2小后，指揮中心觀到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)、F處且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線(xiàn)之間的夾角為此時(shí)兩艦艇之間的距離．答案：E解析：．究延伸1結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2結(jié)論EF=AE+CF仍成立．實(shí)際應(yīng)用：210海．【分析】延長(zhǎng)到，

CG

，連接

，先證明

△BAE

，可得BG=BE，，證明

BGF

，可得GF=EF，可解題；探究延伸1：長(zhǎng)FC到，

CGAE

，連接

BG

，先證明

△≌

，可得BG=BE，CBG=ABE，證明BGF≌BEF，得，可解題；探究延伸2：長(zhǎng)FC到，CG，連接，先證明△≌△

，可得BG=BE，CBG=ABE，證明BGF≌BEF，得，可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接，延長(zhǎng)AE，相交于點(diǎn)C，后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，AE和CF的