高中數(shù)學(xué)-內(nèi)切球與外接球(學(xué)案)

內(nèi)切球與外接球講高考縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答。從實(shí)際教學(xué)來看，這部分知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼的題目。分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理、下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問題作深入的探究，以便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路，力爭(zhēng)在這部分內(nèi)容不失分。從近幾年全國(guó)高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.1球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題。1.1球與正方體如圖所示，正方體ABCD-ABCD，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,E、F、H、G為棱的中1111點(diǎn)，0為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形aEFGH和其內(nèi)切圓，則|OJ|二r二2；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFGH和其外接圓，則\OG\=R=;三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形ACA1C1和3a其外接圓，則|A]O|二R'二—。通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題,

常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。(1)正方體的內(nèi)切球，如圖1。位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；Abc常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。(1)正方體的內(nèi)切球，如圖1。位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；Abc■7丿0.E91數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2廠=a。(2)正方體的外接球，如圖2。位置關(guān)系：正方體的八個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=\：3a。(3)正方體的樓切球，如圖3。位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；D—-一D—-一y數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=\2a。例1、已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為2，E為棱AA的中點(diǎn)，截面CDE交棱AB111111于點(diǎn)F，則四面體CDFD］的外接球表面積為()

39k41兀A.〒B.~4C.12兀43kD.~4例239k41兀A.〒B.~4C.12兀43kD.~4例2、已知一個(gè)正方體的所有項(xiàng)點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為可，則正方體的棱長(zhǎng)為例3、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60°,E為AB中點(diǎn)。將ADE與/EC分別沿ED、EC折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）A.4\：3n27<6kD.<6k1.2球與長(zhǎng)方體例4.、已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的底邊長(zhǎng)為a，高為h，球的體積為^■■'6k,則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A.48邁B.24J2C.96邁D.12J2例5、《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臏。若三棱錐P-ABC為鱉膜，PA丄平面ABC，PA=ABPA=AB=2，AC=4，三棱錐P-ABC的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A.8kB.12kC.20kD.24k例6、已知矩形ABCD,AB=1,AD=\2，E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，CE將MBE,△DCE翻折，使點(diǎn)A，D重合，記為點(diǎn)P。則幾何體P-BCE的外接球表面積為1?3球與正三棱柱例7、（2021安徽池州市?高三期末（理））已知四棱錐A-BCDE的底面BCDE是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE丄平面ABE，AE=2，AC=2、：2，則四棱錐A一BCDE的外接球的表面積為例8、直三棱柱ABC-ABC的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，111AB丄AC，AA二12，求球O的半徑。1例9、已知正三棱柱ABC-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，當(dāng)正三棱柱的體積最111大時(shí)，該正三棱柱的高為2球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題。2.1正四面體與球的切接問題(1)正四面體的內(nèi)切球，如圖4。位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R。這時(shí)有4R=h=；(可以利用體積橋證明)(2)正四面體的外接球，如圖5。位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R。這時(shí)有4R=3h=\；6。；(可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到)(3)正四面體的棱切球，如圖6。位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切.正四面體的中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R。這時(shí)有4R=\:3h=x:2a,S則芒二S16ah=S則芒二S1例10、若一個(gè)正四面體的表面積為S’其內(nèi)切球的表面積為S2,例11、在四面體ABCD中，若AB=BD=2，AD二BC二J5，則四面體ABCD的外接球的表面積為2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R。這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解。例如，四個(gè)面都是直角三角形的三樓錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置。例12、（2021江西上饒市高三一模（理））在三棱錐A-BCD中,AB丄平面BCD，^BCD是TOC\o"1-5"\h\z邊長(zhǎng)為3的正三角形。AB二，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.21kB.6kC24kD.15k例13、（2021廣西名校聯(lián)考）已知三棱錐A-BCD中，AB丄平面BCD,AB=6，BC=4，ZBDC=30。，三棱錐A-BCD的項(xiàng)點(diǎn)都在球O上，則球O的表面積是（）B.50kC.B.50kC.IQQrtA.25兀D.3例14、菱形ABCD中,AB=2，ZDAB=12Q。。將"CD沿BD折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn)，當(dāng)四面體E-ABD的體積最大時(shí)，四面體E-ABD的外接球的面積為（）A.2QkB.4QkC.6QkD.8Qk例15、三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，BC丄平面PAB，PA丄AB，PA=2，AB=1，BC=J3，則球O的表面積為3球與球相切問題對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解。例16、已知有半徑分別為2、3的球各兩個(gè)，且這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與此四個(gè)球都相外切。則此球的半徑為例17、把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離.4球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解、如與正四面體各棱都相切的球的半徑2為相對(duì)棱的一半：r—a。4例18、把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為2cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使5球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系。例19、（2021山東德州市高三期末）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球項(xiàng)天立地.四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二。球的表面積也是圓柱表面積的三分之二、今有一“圓柱容球"模型，其圓柱表面積為12兀，則該模型中球的體積為（）B.4n例20、在棱長(zhǎng)