2022-2023學(xué)年江蘇省常州市華羅庚中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月階段調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期10月階段調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．焦點(diǎn)在x軸的橢圓的焦距是4，則m的值為（

）A．8 B．3 C．5或3 D．20【答案】A【分析】根據(jù)焦點(diǎn)的位置可得的取值范圍，結(jié)合焦距可求的值.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸，故，而焦距是4，故即，故選：A.2．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行列出方程，求出：或1，驗(yàn)證后均符合要求，從而得到“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，與的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直線與直線平行”，則滿足，解得：或1，經(jīng)驗(yàn)證，：或1時(shí)，兩直線不重合，故：或1，兩直線平行，故必要性不成立.故選：A3．過(guò)點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考慮直線是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.4．已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.【詳解】由，得，∵直線與圓相離，∴解得．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選:D．5．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”.已知橢圓C為“最美橢圓”，焦點(diǎn)在軸上，且以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)和為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由得到與，再由的最大值得，進(jìn)而求得，，故可得到橢圓C的方程.【詳解】由已知，得，故，∵，即，∴，得，故，所以橢圓C的方程為.故選：D.6．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A7．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【答案】C【分析】由題意可知兩條動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)、，且始終垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.【詳解】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋詣?dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，則有，，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故選：C．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，是直線上的兩點(diǎn)，若對(duì)線段上任意一點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)圓的切線為、，由得，即，再求得的取值范圍，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的最大值．【詳解】由題意，圓心到直線的距離為（半徑）故直線和圓相交；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)，才是最大的角，不妨設(shè)切線為，，則由，得，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，解得：，設(shè)，如圖，之間的任何一個(gè)點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，線段長(zhǎng)度的最大值為故選：C二、多選題9．下列說(shuō)法中正確的是A．若兩條直線互相平行，那么它們的斜率相等B．方程能表示平面內(nèi)的任何直線C．圓的圓心為，半徑為D．若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則t的取值范圍是【答案】BD【分析】由兩直線平行于軸排除；根據(jù)直線平行或不平行于坐標(biāo)軸，可確定方程均可以表示出來(lái)，知正確；整理得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而確定圓心和半徑，排除；由直線不過(guò)第二象限可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果，知正確.【詳解】對(duì)于，若兩條直線均平行于軸，則兩條直線斜率都不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線不平行于坐標(biāo)軸，則原方程可化為，為直線兩點(diǎn)式方程；當(dāng)直線平行于軸，則原方程可化為；當(dāng)直線平行于軸，則原方程可化為；綜上所述：方程能表示平面內(nèi)的任何直線，正確；對(duì)于，圓的方程可整理為，則圓心為，錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得：，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓部分相關(guān)命題的辨析，涉及到直線方程的應(yīng)用、根據(jù)直線所過(guò)象限求解參數(shù)范圍、由圓的方程確定圓心和半徑等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查.10．已知．則下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．若在內(nèi)，則B．當(dāng)時(shí)，與共有兩條公切線C．若與存在公共弦，則公共弦所在直線過(guò)定點(diǎn)D．，使得與公共弦的斜率為【答案】BC【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法判斷A，通過(guò)判斷圓與圓的位置關(guān)系確定與的公切線的條數(shù)，通過(guò)將兩圓方程相減確定兩圓的公共弦的方程，判斷C，D.【詳解】因?yàn)椋裕?，：，則，，，，則，由在內(nèi)，可得，即，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，，，所以，所以兩圓相交，共兩條公切線，B正確；，得，即，令解得所以定點(diǎn)為，C正確；公共弦所在直線的斜率為，令，無(wú)解，所以D錯(cuò)誤，故選：BC．11．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當(dāng)橢圓的離心率為時(shí)，的取值范圍是C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為1【答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A，根據(jù)離心率求出，則，即可判斷B，設(shè)上頂點(diǎn)，得到，即可判斷C，利用基本不等式判斷D.【詳解】解：由題意得，又點(diǎn)在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，，，由于，所以存在點(diǎn)使得，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故D正確．故選：BCD12．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ABD【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達(dá)式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達(dá)式求其范圍，由此判斷C，結(jié)合點(diǎn)差法判斷D.【詳解】依題意，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，又，所以，則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C不正確；由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．【點(diǎn)睛】橢圓的蒙日?qǐng)A及其幾何性質(zhì)過(guò)橢圓上任意不同兩點(diǎn)，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日?qǐng)A．橢圓的蒙日?qǐng)A有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：．性質(zhì)2：平分切點(diǎn)弦．性質(zhì)3：的最大值為，的最小值為．三、填空題13．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為_(kāi)_____________________________【答案】【分析】求出線段的中垂線方程即可．【詳解】，其中垂線的斜率為，又中點(diǎn)為，∴直線方程為，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的對(duì)稱性，考查求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸方程．掌握對(duì)稱的性質(zhì)即可求解．14．已知為圓C：上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______【答案】【分析】求的取值范圍表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，畫(huà)出圖形，可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率取到最值，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，表示圓上的點(diǎn)與圓外的點(diǎn)連線的斜率.把圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心，半徑.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最值.由，解得或.所以的取值范圍為.故答案為：.15．如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則值為_(kāi)____【答案】【分析】由已知的內(nèi)切圓的面積為得出半徑，從而求出的面積，再由面積，即可求出.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑，面積所以面積，所以故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，三角形的面積公式，屬于中檔題.16．把橢圓的長(zhǎng)軸分成2018等份，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于2017個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則這2017個(gè)點(diǎn)到的距離之和為_(kāi)_____.【答案】【分析】若設(shè)過(guò)2017等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于2017個(gè)點(diǎn)分別為，由橢圓的定義與橢圓的對(duì)稱性，得到，結(jié)合和題中的數(shù)據(jù)，可得答案.【詳解】解：由題意可知，若設(shè)過(guò)2017等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于2017個(gè)點(diǎn)分別為，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得，同理，……，，又因?yàn)?，所以故答案為?0085【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.四、解答題17．已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡(jiǎn)得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先設(shè)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）首先設(shè)，得到，從而得到，解方程得到，再求出和點(diǎn)到直線的距離，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€與直線垂直，且點(diǎn)在直線上，所以，解得，故.（2）設(shè)由題知：，所以，解得，即.，直線，即：.，點(diǎn)到直線的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.19．圓：與：相交于A、B兩點(diǎn).(1)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(2)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)圓系方程（為常數(shù)），根據(jù)圓心在直線上，求，即可求得圓的方程；（2）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，求出該圓的圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】（1）因?yàn)閳A的圓心不在直線上，所以所求圓不是圓，故可設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），即,則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，解得，故所求方程為.（2）因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以直線的方程為，即，由題意可知以線段AB為直徑的圓的面積最小，由兩個(gè)圓的方程相減可得直線的方程為，聯(lián)立，解得，則所求圓的圓心為，圓心到直線的距離，所以，所以所求圓的半徑為.故面積最小的圓的方程為.20．如圖，已知的圓心在原點(diǎn)，且與直線相切.點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P引的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B.(1)求四邊形面積的最小值；(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連接OA，OB，求出圓C的方程和，數(shù)形結(jié)合即得解；（2）求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，再求出兩圓的公共弦方程即得證.【詳解】（1）解：依題意得：圓心（0，0）到直線x+3y+40的距離d＝r，∴，∴圓C的方程為x2+y2.如圖，連接OA，OB，∵PA，PB是圓C的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴.∴當(dāng)PO取最小值為8時(shí)，.（2）證明：由①得，A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），∴以O(shè)P為直徑的圓方程為，即x2+y2﹣8x﹣by＝0.∵AB為兩圓的公共弦，∴由得直線AB的方程為，b∈R，即8（x）+by＝0，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（，0）.21．已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)T在上，過(guò)點(diǎn)T的兩條直線分別交軌跡C于A，B和P，Q兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率和直線PQ的斜率之和．【答案】(1)