物理上冊思考題第1章附加

第二章緒論中曾，液體質(zhì)點(diǎn)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，液體的粘滯性便不起作用，§2-1在靜止的液體中，圍繞某點(diǎn)取一微小作用面，設(shè)其面積為ΔA，作用在該面積上的壓力為ΔP，則當(dāng)ΔA無限縮小到一點(diǎn)時(shí)，平均壓強(qiáng)PA便趨近于某pp

P

(2-A0 N

，量綱為的作用力就是液體之間的相互作用力?，F(xiàn)取下半部分為體，如圖2-1所示。Mp的方向不是內(nèi)法線方向而是任意方向，p可以分解為切應(yīng)力τpn。Mxyz2-2所意方向的傾斜面積為dAnn的方向余弦為cosnxcosnycosn則

222P1p P1p P1p P1p 1dxdydz

dxdydz X、Y、ZFF1 F1 F1 x方向?yàn)槔?/p>

PxPncosn,xFx12

dydz1

dydz1dxdydzX6dx、dy、dzM點(diǎn)時(shí)，上式中左邊最后一項(xiàng)質(zhì)pxy

pnzpspnpxpyps

(2-1-ppx,y,

(2-1-§2-2dx、dy、dz2-3設(shè)其中心點(diǎn)O'xyz的密度為ρpX、Y、Z。xOx軸的直線與六面體左右兩端面分別交于點(diǎn)Mx1dxyzNx1dxyz2 2 MN的靜水壓強(qiáng)，可按泰勒級(jí)數(shù)展開并略去二階以上微量后， p1p 2 p1p 2 p1pdx 2 p1 2xdxxX·dxdydz。x方向上有(p-2

pdx)dydz-(p+

pdx)dydz+Xy,z

X-Z-

ppp 上式為液體平衡微分方程是由學(xué)者歐拉(Euler)于1775年首先導(dǎo)出的，(X，Y，Z)和表面力分量(

p,

p,

p)

pdx+pdy+pdz= (2-2- 因p=p(x,y,z)，故上式左端為p的全微分 于是上式成 (2-2-pd dW=Wdx+Wdy+Wdz，而dx,dy和dz為任意變量，故

,Y=

,Z=

(2-2-可知，坐標(biāo)函數(shù)W正是力的勢函數(shù)，而質(zhì)量力則是有。由此可見，液體只

dppW

(2-2-CW0p0，則由上式可得pp0WW0

(2-2-力的勢函數(shù)W在式(2-2-6)WW0p0的也必然隨著增減Δp、這就是著名的壓強(qiáng)傳遞帕斯卡(B.Pascal)定律。水壓機(jī)、水力起重機(jī)傳動(dòng)裝、在相連通的液體中，由壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面叫做等壓面(Isobaric等勢面(IsopotentialSurface)。XdxYdyZdz (2-2-X、Y、Z為已Mds，則作用在這一質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力所作的功應(yīng)為(2-4)：W=(fdmcosf為作用于該質(zhì)點(diǎn)的單位質(zhì)量力，dm為該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，θds之(fdmcos)ds=dm(XdxYdyZdzdp=XdxYdyZdz即 fdscos常見的等壓面有液體的自由表面(因其上作用的壓強(qiáng)一般是相等的大氣壓§2-3g。代入(2-2-2)，得 dz+dpz+p (2-3-(z+p)值相等。式中z代表某點(diǎn)到基準(zhǔn)面的位置高度，稱為位置水頭Head)p代表該點(diǎn)到自由液面間單位面積的液柱重量，稱為壓強(qiáng)水頭Head)；zp稱為測壓管水頭(PiezomericHead)12

z1+p1=z2+

(2-3- 在自由表面上，z=z0，p=p0C=z0p0。代入式(2-3-1)即可得出重力作用下靜

強(qiáng)p0它遵從帕斯卡定律等值地傳遞到液體內(nèi)部各點(diǎn)另一部分是液重壓強(qiáng)γh，34Pressure)p′表示。pa

p=

-

(2-3-如自由液面上的壓強(qiáng)為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，則式(2-3-3) (2-3-真空及真空壓強(qiáng)(VacuumPressure)：絕對(duì)壓強(qiáng)值總是正的，而相對(duì)壓強(qiáng)值稱為負(fù)壓，或者說該處存在著真空。真空壓強(qiáng)pv用絕對(duì)壓強(qiáng)比當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)小

pa-

(2-3-如果容器中液體的表面壓強(qiáng)降低到該液體的汽化壓強(qiáng)(飽和蒸汽壓強(qiáng)(SaturationVapourPressure))pvp時(shí)，液體就會(huì)迅速蒸發(fā)、汽化，因此，只要液面壓強(qiáng)降低到2-12-1溫度05pvp/γ(m水柱溫度Pa,kPa。h= (2-3-h=pat98000=10m(水柱 h=pat z+p=C式(2-3-1)zp兩部分組成，zp +z表示的是單位重量液體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢能(簡稱位能)Gz基準(zhǔn)面不同，z

p表示的是單位重量液體從壓強(qiáng)為大氣壓算起所具有的壓強(qiáng)勢能(p就是原來液體具有的壓強(qiáng)勢能。所以對(duì)原來單位重量液體來說，壓能即G /G=p靜止液體中的機(jī)械能只有位能和壓能，合稱為勢能。(z+p)等均系利用金屬受壓變形的大小來量測壓強(qiáng)的)及非電量電測儀表(這是利用傳［(b)p=γh(γ為液體重度)。lh放大了一些，便于測讀。但壓強(qiáng)應(yīng)為：phlsin

(2-3-0.74等等)ph。還可采用上述二者，量測較大的壓強(qiáng)，則可采用裝入較重液體(銀可取為13.6)的U形2-10hhA點(diǎn)的壓強(qiáng)為：，pH比壓計(jì)(DifferentialManometer)(差壓計(jì)

(2-3-?；蛐∮诖髿鈮簭?qiáng)pa。當(dāng)水管內(nèi)液體不流動(dòng)時(shí)，比壓計(jì)兩管內(nèi)的液面齊平流zBA、B兩點(diǎn)的壓差和測管水頭差。。忽略空氣柱重量所產(chǎn)生的壓強(qiáng)(20

所 由圖2- 從 (2-3-(zA+pA)-(zB+pB)= 強(qiáng))2-12A、B兩處的液體重度為γ，水銀重度為γH0-0zA、zB和Δh1-1點(diǎn)壓強(qiáng)計(jì)算寫如下等式左 右 故 (2-3-A、B(zA+pA)-(zB+pB)=B (zA+pA)-(zB+pB)=(') (zA、zB0-0均為負(fù)值。0-0的測管水頭。解h1-1p0=-44.5kN/m2，應(yīng)是相對(duì)pM41.56=-0.424patpat表示工程大氣壓

pM=41.56=-4.24m(水柱 pM′=56.44=56.44=0.576patpat

56.44=5.76m(水柱真空壓強(qiáng) M

pMzM+p

=41.56=4.24m(水柱§2-4設(shè)盛有液體的直立圓筒容器繞其中心軸以等角速度ω2-15所示。的相對(duì)平衡?，F(xiàn)將坐標(biāo)系置于旋轉(zhuǎn)圓筒上，z軸向上并與中心軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)

C=p0x2+y2=r2,ρg=γ，得pp0

- (2-4-p為任一常數(shù)，則由式(2-4-1)可得等壓面族(包括液面)方程為 (2-4-zs

(2-4-式 zs為液面上某點(diǎn)的豎直坐標(biāo)，將其代入式(2-4-1)， h=zs-z各點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)隨淹沒深度的變化仍是線性關(guān)系。但需，在旋轉(zhuǎn)平衡液體中n為多大時(shí)，水開始溢出?2-16所示。在自由液面r=D時(shí)，zs=H，將其代入上式(2-4-3)得2

89.81.2=13.86

n303013.8=132.4r/min(轉(zhuǎn)/分 §2-5相對(duì)壓強(qiáng)值。圖2-17為一直立矩形平板，一面受水壓力作用，其在水下的部分為ABB1A1，深度為H，寬度為b。圖2-18(a)便是作用在該上的壓強(qiáng)分布圖為一空間壓強(qiáng)分布圖圖2-18(b)為垂直于的剖面圖為一平面壓強(qiáng)分2-18難看出：作用于整個(gè)平面上的靜水總壓力PΩbP=Ω·b=1(γh1+γh2)l·b=1 (2-5- l為矩形平面的長度：hc=(h1+h2)/2，為矩形平面的形心在水下的深度；A2-18(a)a/22-18(b)和1/32-18(d)e12h1h2 h12-20所示，EF為一任意形狀的平面，傾斜放置于水中任意位置，與水面相交成D可按以下的方法來確定。EF平面上的靜水總壓力為上式中∫AhdAEFOxAyc的乘積，即∫AγhdA=ycApcC 下面分析靜水總壓力的作用點(diǎn)——壓力中心的位置：yDxD。這一位置可Ox式中∫Ay2dAEFOxJxcCJcxEFCOx軸平行的軸的慣性矩，則根據(jù)慣性矩的平行移軸定理可得：Jx=Jcx+y2A。因此有cC

sin(J

y2

JC yCyAC ysinC yCyACAycJcx2-2。 yCCx軸JCx121bh32231bh1bh2ha2b3ab h3a24abb236 a r424 9264 r8OyxDxD

yC

JcxyEFCOx、Oy軸平行的軸的慣性積。因?yàn)閼T性Jcxy可正可負(fù)，xDxcCDxD。例2-3設(shè)有一鉛直放置的水平底邊矩形，如圖2-21所示。已知高度H=2m，寬度b=3m，上緣到自由表面的距離h1=1m。試用繪制壓強(qiáng)分布圖的方法和解析法求解作用于的靜水總壓力。(1)

ABEF2-21所示。根據(jù)式(2-5-1)P=Ωb=12=12靜水總壓力P的方向垂直于平面，并指向。壓力中心D距底部的位置為H2h1h1H 2211e3hhH

P=γhcA=γ(h1+H)(H+b)=9.8×103×(1+2 靜水總壓力P的方向垂直指向平面。由式(2-5-4)得壓力中心D距自由表面的位為

J

H2yA 2yA 12

3 2 22 2 §2-6在實(shí)際工程中常常會(huì)遇到受液體壓力作用的曲面例如拱壩壩面弧形、U形液槽、泵的球形閥、圓柱形油箱等。這就要求確定作用于曲面上的靜水總壓2-22所示。P分解成水平分力和鉛直分種情況下，Py=0PxPz的大小及其作用線的位置。h處取一微元柱面ef，dA。由于該柱面極小，故可將其近似為一平面，則作用在此微元柱面上dPxdPz兩部分：dAzPx為∫AhdAxEFyOzOy

(2-6-EFPPx等于作用于該小和作用點(diǎn))PxPPz為2-23可以看出：γhdAzefefe″f″柱狀體壓力體(PressureVolume)V表示。

從曲面的邊界向自由液面(或自由液面的延展面)Pz的方向，則應(yīng)根據(jù)曲面與壓力體的關(guān)系而定：當(dāng)液體與壓力體PxPzPP2P2P2

(2-6-P的作用線與水平線的夾角αarctanPPxPzDDPPz也等于壓力體內(nèi)的液體重。三維曲面上PPx、Py、Pz合成，即P2PP2P2P2 例2-4圖2-25為一壩頂圓弧形的示意圖。門寬b=6m，弧形門半徑R=4m，此門可繞O軸旋轉(zhuǎn)。試求當(dāng)壩頂水頭H=2m、水面與門軸同高、關(guān)閉時(shí)所受的靜水總壓力。Px

2

9.8222

ABCABCAOB的面積減去三角BOCbBC=2m，OB=4m，故∠AOB=30°。AOB的面積

30πR2=1 BOC面積=2

BCOC124cos3002ABC的體積=(4.19-作用在上的靜水總壓力P為P2P2 P與水平線的夾角為αtan

117.62117.62O點(diǎn)，所以總壓PO點(diǎn)。§2-7G＞PzG=Pz(Submerged量才保持平衡，這稱為浮體(FloatingBodies)。船是其中最顯著的例子。CD在同一鉛垂線上。這樣，物體潛沒在液體中中處于任意方位都是平衡的，稱為隨遇平衡(NeutralEquilibrium)。平衡稱為穩(wěn)定平衡(Stableequilibrium)。DC之下時(shí)(2-26c)PzG組成的力(如潛艇)潛體的平衡及穩(wěn)定性要求重力G與浮力PzCD之下。對(duì)于浮體，Pz與G相等是自動(dòng)滿足的，這是物體漂浮的必然結(jié)果。但是浮DC的相對(duì)位置對(duì)于浮體的穩(wěn)定性，并不像潛體那樣，一定(RestoringCouple)圖2-27D和重心C的連線稱為浮軸(FloatingAxle)，DD′。此時(shí)，通過D′的浮力Pz′的作用線與浮軸相交于M點(diǎn)，稱為定傾中心(Metacenter)MD的距離稱為定傾半徑(MetacentricRadius)，以ρCDe表示。當(dāng)浮體傾斜角α不太大(α＜10°＝M點(diǎn)在浮軸上的位置是不浮力Pz′產(chǎn)生扶正力矩，使浮體恢復(fù)到原來的平衡位置，這種情況稱為穩(wěn)定平MC，即定傾半徑ρe。lD′。從圖中知

(2-7-式中，l的大小可以通過對(duì)浮體傾斜前后所受浮力的分析求得。浮體傾斜后所受PzPzAOA的體積相等，故浮體傾斜后失去的與增加的浮力亦相等，均以ΔP表示，則有Pz′=Pz+ΔP-ΔPD取矩，得 lPSP

Pzp Pzp式中，S為圖中兩三棱體形心之間的水平距離；VP為浮體所排開的液體體積(即L為浮體縱向長度；dA=L·dy為原浮面(即浮體與液面相交的平面上)上的O取矩，得 J=∫Ay2dAAO-O(即浮體傾斜時(shí)繞其轉(zhuǎn)動(dòng)的 VPsinJ

(2-7-由此可見，浮體定傾半徑ρO-OJ及浮體VP有關(guān)。求出定傾半徑ρe比較，便可2-5L=8mb=4mG=