量子力學(xué)(周世勛)課后答案第一二章

量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章量子理論基礎(chǔ)由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長T成m反比，即 （常量；m并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式 d

8hv3

1 dvv v c

hvekT

， （1）以及 c， （2） dd|， （3）v*有 v

dvdcd|dcd()| () v c2 8hc 1 ,5 hcekT 1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是λ取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求 對(duì)λ的階導(dǎo)數(shù)為零由此可求得相應(yīng)的λ的值記作m但要注意的是還需要驗(yàn)證對(duì)λ的二階導(dǎo)數(shù)在m處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具體如下：d

1 hc 15 5

0d

hce

1

kT

1e

hc kT 5 hc kT

11e

0hc 5(1ehc

hc

hc)kT

kT

，則上述方程為

5(1ex)x這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=，經(jīng)過驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有、hcm Txkm把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知mT2.9103mK（如遙遠(yuǎn)星體溫度的高低。0K3eV解：根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知Ph。所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（動(dòng)能Ek

me

c20.51106eV，滿足E p2 ，k 2me—因此利用非相對(duì)論性的電子的能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系式，有hp2mE2mEe2mc2mc2Ee220.511063

hhc1.24106m0.71109m在這里，利用了

0.71nmhc1.24106eVm，mc20.51106eV。e2mEe最后，對(duì) 2mEe自然單位制：在粒子物理學(xué)中，利用三個(gè)普適常數(shù)（光速c，約化普朗克常數(shù),玻耳茲曼常數(shù)k）來減少獨(dú)立的基本物理量的個(gè)數(shù)，從而把獨(dú)立的量綱少到只有一種（V。例：V，電子質(zhì)量m=.核子（氫原子）M=938MeV，溫度8.6105eV.E意波長。

3kT（k為玻耳茲曼常數(shù)K時(shí)，氦原子的德布羅2解：根據(jù) K8.6105eV，#知本題的氦原子的動(dòng)能為E

3 kT kK1.29104eV2 23 顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

hc2m c2EHec2m c2EHe核 1.24106 m23.71091.291041.3109m1.3nm這里，利用了m c24938106eV3.7109eV。HeTkTh h2mE2mkT長就為 2mE2mkT須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布——玻色分布或費(fèi)米公布。（1）一維諧振子的能量；解：玻爾—索末菲的量子化條件為：

pdqnh]其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為m，于是有 p E kx22m 22m(E2m(E1kx2)2xp=0，1E kx22 2Ek可解出 x 2Ek這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有xx

x() 2m(E2m(E2m(E1kx2)dx2

kx2)dxnh121 x

2m(E1kx2)dxx

2m(E kx2)dxnh1xx2 21xx ^ xx

2m(E kx2)dxnh21212Ekx2Ek

sin這樣，便有 2

2Ek2mEcos2d2Ek

sinnh22 2E 2E

mk2cos22mk2mk2cos21dnh2mk2 22mk 2mk 2mk Emk E

22kmkmkm能量間隔 Ekm最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少—解：關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過程，如兩個(gè)光子以怎樣的概Ehvmc2e此外，還有 Epchc于是，有 hc

1.24106 m2.41012m2.4103nmmc2 0.51106e能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令(r,t)(r)eiEt，得iJ 2mi iEt iEt iEt iEt (r)e （(r)e **(r)e （(r)e ]2mi2m

(r)*(r)*(r)(r)]—可見J與t無關(guān)。由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：1 1(1)1

eikr (2r 2

reikr說明 表示向外傳播的球面波， 表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。1 2解：在球坐標(biāo)中e

1e 1 rr

r rsin所以，J和J只有e方向分量。1 2 riJ1

2m 1i 1

*1 1

*1 1

1

1 [

( eikr) eikr

( eikr2m r r r r r[ ik )[ ik ) ik 2m r r2k k e

r r r2 r rmr2 r mr3 J與r同向，表示向外傳播的球面波。1J2

i2m

(2

*2

*)22m r[e2m r[eikrr( eikr)

( eikrr r r r[ ik ) ik [ ik ) ik 2m r r2 r r r2 r rmr2e mr2e mrrr3 J與r反向，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。2·一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)，x0U(x)，0xa0，xa中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。補(bǔ)充：設(shè)已知 t=0 時(shí)刻波函數(shù)為1a1a(x,0)

sina

x sin1aa1a

x, 0xa

，求(x,t)。0, x0,xa解：U(x)與t無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程2 d22mdx2在各區(qū)域的具體形式為

(x)U(x)(x)E(x)Ⅰ：x0 2 d22mdx2

(x)U(x)1

(x)E1

(x) ①Ⅱ：0xa 2 d22mdx2

(x)E2

(x) ②Ⅲ：xa 2 d22mdx2

(x)U(x)3

(x)E3

(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必須` (x)01 (x)03即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)?/p>

d22

(x)2mE

(x)0dx22mE d

2 2(x)令k2 ，得2

2dx2

k22

(x)0其解為 2(x)AsinkxBcoskx ④根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A、B，由連續(xù)性條件，2(0)1(0) ⑤(a)(a) ⑥2 3⑤B0.⑥Asinka0A0sinka0kan (n∴(x)Asinnx2 a由歸一化條件

(x)2dx1得 A2

sina0a

na xdx1由三角函數(shù)正交性

a0 axsin xdx a a 2mn 2aA2a(x)2

sinnx2aa2ak

2mE2

22E n2n 2ma2

(n1,2,3,)可見E是量子化的。對(duì)應(yīng)于En

的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為(x,t)n

sin2aa2a

ixe, 0xa xa, xa補(bǔ)充：粒子的一般含時(shí)波函數(shù)為(x,t) cn

(x,t)，在t=0時(shí)刻n c

n2a1asinx, 0xa sin2a1a

x sinx, 0xa(x,0) n1a1a

a ax0,xa 0,

ax0,xa0, <所以cc1

1/ 2,cn

0，綜上得任意時(shí)刻粒子波函數(shù)為ii12(x,t)ii12

(x,t)

(x,t) 1221a1221a

sina

xeEt

1sina a

xeEt, 0xa0, x0,xaa.證明（）式中的歸一化常數(shù)是A 1a證：n

Asinn

(xa), xa） , x

a n1a

2dxA2sin2a1 n

a (xa)dxA2 cos (xa)]dxa2 aA2 a A2 na由歸一化，得 x 2 2a

cosa

(xa)dxA2 a n aA2aA2a

2

sin

a (xa)aa∴歸一化常數(shù) A 1a求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。2 1解：一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)(x) xe22x2， / 。2 1—得幾率密度為

(x)1

(x)2

2 x2e2x22 對(duì)其微分得

x2e2x23x x ed3x x e1 [2 2 2 3]x2dx由極值條件，令

d(x)1

0，dx可得 x0 x1

x由(x)的表達(dá)式可知，x0x1

(x)0。顯然不是最大幾率的位置。1d2而 1

x() [(22x2)2x(2x2x3)]() dx23 2x24x4)]e2x2 ed(x) 243 e即 1dx2

x1

0x1

m是所求幾率密度最大的位置。#在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U(x)U(x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。~證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為2 d2(x)U(x)(x)E(x) ①2dx2將式中的x以(x)代換，得2 d2(x)U((x)E(x) ②2dx2利用U(x)U(x)，得2 d2(x)U(x)(x)E(x) ③2dx2(x)和(xS-方程，都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。(x)和(x之間只c。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演(xx而得其對(duì)方，由xx反演，可得③，(x)c(x) ④由③再經(jīng)xx反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。>(x)c(x) ⑤④乘⑤，得 (x)(x)c(x)(x)可見，c21，即 c當(dāng)c當(dāng)c

(x)(x(x具有偶宇稱，(x)(x(x具有奇宇稱。如果體系存在簡并，對(duì)(x)和(x)做線性組合：22(x)(x)(x),(x)(x)(x)22根據(jù)疊加原理，(x),(x)也滿足S-方程，且滿足(x(x(x具有偶宇稱，(x(x(x具有奇宇稱。^S-方程的定態(tài)波函數(shù)可以表達(dá)為(x)（偶宇稱）和(x)（奇宇稱）的疊加形式。綜上，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U(x)U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#一粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，U(x)U0, xa 0, xa求束縛態(tài)(0EU )的能級(jí)所滿足的方程。0補(bǔ)充：取電子質(zhì)量，勢(shì)阱深20eV，a=，給出基態(tài)（和第一激發(fā)態(tài)）結(jié)果并作波出函數(shù)和概率密度的圖。S-方程為2 d22dx

(x)U(x)(x)E(x)按勢(shì)能U(x)的形式分區(qū)域的具體形式為Ⅰ：2 d2(x)U(x)

(x) xa ①2dx2 1 0 1 1`Ⅱ：2 d22dx

(x)E2

(x) axa ②Ⅲ：2 d22dx整理后，得

(x)U3 0

(x)E3

(x) ax ③Ⅰ：

2(U0

E) 0 ④1 2 1Ⅱ：.2

2E 0 ⑤2 2Ⅲ：

2(U0

E) 0 ⑥3 2 32(U E) 2E令 k2 01 2

k22 2則Ⅰ：k0 ⑦1 1 1Ⅱ：.k0 ⑧2 2 2{Ⅲ：k0 ⑨3 1 1各方程的解為1 AekxBek1 1 Csin2

xDcoskx2 21 EekxFek1 由波函數(shù)的有限性，有()有限 A01()有限 E03因此1 Bek111 Fek31由波函數(shù)的連續(xù)性，有(a)1

(a),BekaCsink121

aDcosk2

a (10)(a)(a),

Beka 1

Ccos

a

Dsin

a (11)1 2 1 2 2 2 21(a)12

(a),Csink2

aDcosk2

aFeka (12)1(a)(a),kCcoskakDsinkak12 3 2 2 2 2

Feka (13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得1ekaBsink12

aCcosk2

aD00kekaB k11

cosk2

aCk121

sink2

aD000sink2

aCcosk2

aDekaF00k

coskaCksinkaDkekaF012 2 2 2 11解此（四元一次）B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式。注必須系數(shù)矩陣的行列式為零eka1

sink2

a coska 02keka11

kcosk2

a k2

sink2

0 00 sink2

cosk2

eka10 kcosk2 2

ksink2

a kBeka11kcosk2 2

a k2

sink2

0 sink2

coska 020eka

sin

a cosk

ekakeka sinka

cosk

eka1 1 1 12 2 1 2 2kcoska2 2

ksink2

a keka k11 1

cos

a k2

sin

a keka12 111eka[kk112

ekacos2k121

ak2ekasink12 1

acoska2kk12

ekasin2k121

ak2ekasink12 1

acosk2

keka[kekasinkacoskakekacos2ka1 1 11 1 2 2 2 21kekasink11

acosk2

ak2

ekasin2ka]1211e2ka[2kkcos2kak2sin2kak2sin2ka]112 2 2 2 1 21e2ka[(k2k2)sin2ka2kkcos2ka]12 1 2 12 2∵e2a0∴(k2k2)sin2ka2kk cos2k2 1 2 12

a0即(k2k2)tg2ka2kk2 1 2 1

0 為所求束縛態(tài)能級(jí)(E)所滿足的方程。注意k,k 都依賴于做出函數(shù)f(E)(k2k2)tg2ka2kk

的圖，其中束縛態(tài)1 2 2 1 2 12要求0<E<U0，其零點(diǎn)即給出本征能量E的解。能級(jí)的特點(diǎn)：U0較?。?lt;1/a）且無論多小時(shí)，存在且只存在1個(gè)束縛態(tài)，隨U0的增大，束縛態(tài)數(shù)增加。B（分）化為（消元法）e