專(zhuān)題5函數(shù)的應(yīng)用（二）專(zhuān)題練習(xí)（含答案）

專(zhuān)題5函數(shù)的應(yīng)用（二）知識(shí)儲(chǔ)備1．幾類(lèi)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)“對(duì)勾”函數(shù)模型y＝x＋(a>0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax知識(shí)串講題型一：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】(鏈接教材P148例3)一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到．【解析】(1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過(guò)1年，w＝500(1－10%)＝500×；經(jīng)過(guò)2年，w＝500×；由此推知，t年后，w＝500×.(2)由題意得500×＝250，即0．9t＝，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得lg＝lg，即tlg＝lg，∴t＝≈.即這種放射性元素的半衰期為年．【解題技巧】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用1．在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常可以用指數(shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．2．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)過(guò)的三關(guān)(1)理解關(guān)：數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量較大，需要通過(guò)閱讀找出關(guān)鍵詞、句，確定已知條件是什么，要解決的問(wèn)題是什么．(2)建模關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)文字關(guān)系，進(jìn)而建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題．(3)數(shù)理關(guān)：建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法．【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)為ykPa，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強(qiáng)為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強(qiáng)為_(kāi)_______kPa.【解析】將(1000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝x，當(dāng)x＝2000時(shí)，y＝100(eln2＝81.【答案】81題型二：對(duì)數(shù)型模型的應(yīng)用【例2】大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)y=log3（），單位是m/s，θ是表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)某條鮭魚(yú)想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？【解析】(1)由y=log3（）可知，當(dāng)θ＝900時(shí)，v＝log3＝log39＝1(m/s)．所以當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的單位數(shù)為原來(lái)的9倍．【解題技巧】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類(lèi)型和求解策略：(1)基本類(lèi)型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求解；(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或根據(jù)給出的具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．【跟蹤訓(xùn)練】某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷(xiāo)售額x為8萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元；銷(xiāo)售額x為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元．若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷(xiāo)售額應(yīng)為_(kāi)_______萬(wàn)元．【解析】依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.∴y＝2log4x－2，當(dāng)y＝8時(shí)，2log4x－2＝8，解得x＝1024.故他的銷(xiāo)售額應(yīng)為1024萬(wàn)元．【答案】1024題型三：以圖表信息為背景的函數(shù)應(yīng)用題【例3】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)檢測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量為（微克）與服藥后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)，其中OA是線(xiàn)段，曲線(xiàn)ABC是函數(shù)（）的圖象，且是常數(shù)．（1）寫(xiě)出服藥后y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于2微克時(shí)治療疾病有效．若某病人第一次服藥時(shí)間為早上6:00，為了保持療效，第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天的幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥3個(gè)小時(shí)后，該病人每毫升血液中含藥量為多少微克．（結(jié)果用根號(hào)表示）【解析】（1）OA為正比例函數(shù)圖像的一段，∴可設(shè),又A(1,8),所以8＝b∵曲線(xiàn)ABC：過(guò)點(diǎn)A(1,8)、B(7,1)∴∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為…6分（2）依題意，由，得∴由圖像可知，第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天的11點(diǎn)鐘.……………10分（3）將代入，將代入即每毫升血液中，含第一次所服藥的藥量為微克，含第二次所服藥的藥量為4微克，所以第二次服藥3個(gè)小時(shí)后，該病人每毫升血液中含藥量為微克……………16分【解題技巧】1．解決這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：(1)觀察圖表，捕捉有效信息；(2)對(duì)已獲信息進(jìn)行加工，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；(3)求函數(shù)模型；(4)進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真，答案要符合實(shí)際情形．2．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路【跟蹤訓(xùn)練】某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)(單位：元/)與上市時(shí)間(單位：天)的關(guān)系符合圖1中的折線(xiàn)表示的函數(shù)關(guān)系，西紅柿種植成本(單位：元/)與上市時(shí)間(單位：天)的關(guān)系符合圖2中的拋物線(xiàn)表示的函數(shù)關(guān)系.（1）寫(xiě)出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，圖2表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的純收益最大？【解析】（1）由圖1可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；由圖2，設(shè)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為，又該函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，；（2）設(shè)上市時(shí)間為時(shí)的純收益為，則由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.綜上，當(dāng)，即從2月1日開(kāi)始的第天上市的西紅柿的純收益最大.題型四：建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例4】為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如表所示：年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)12345678910(1)描點(diǎn)畫(huà)出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫(huà)出圖象；(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm，則可以灌溉土地多少公頃？【解析】(1)描點(diǎn)，作圖如右圖所示．(2)從(1)圖可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線(xiàn)附近，由此，設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿(mǎn)足線(xiàn)性模型：y＝a＋bx.取其中的兩組數(shù)據(jù),，,，代入y＝a＋bx，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＝a＋，,＝a＋，))解得a≈，b≈，所以該函數(shù)模型為：y＝＋.作出函數(shù)圖象(如右圖)，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映積雪面積與灌溉面積的關(guān)系．(3)由(2)得y＝＋×25，求得y＝，即當(dāng)積雪深度為25米時(shí)，可以灌溉土地公頃．【解題技巧】建立擬合函數(shù)與預(yù)測(cè)的基本步驟【跟蹤訓(xùn)練】某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本（單位：元/（））與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間（單位：天）60100180種植成本（單位：元/（））11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系：，，，．利用你選取的函數(shù)，計(jì)算西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是________；最低種植成本是________元/（）．【答案】12080【解析】因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)和時(shí)種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用函數(shù)描述．將表中兩組數(shù)據(jù)和代入，可得，解得．所以．故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值80元/（）．故答案為：120；80.能力檢測(cè)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過(guò)x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿(mǎn)足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽(yáng)湖國(guó)家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似滿(mǎn)足關(guān)系式：y＝alog3(x＋2)，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2022年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2024年冬越冬白鶴有()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只3．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過(guò)圓柱形的電線(xiàn)時(shí)，其電流強(qiáng)度I與電線(xiàn)半徑r的三次方成正比，若已知電流通過(guò)半徑為4毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為320安，則電流通過(guò)半徑為3毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為()A．60安 B．240安C．75安 D．135安4.(多選)如圖，某池塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時(shí)間t(單位：月)的關(guān)系為y＝at.關(guān)于下列說(shuō)法正確的是()A．浮萍每月的增長(zhǎng)率為1B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)30m2C．浮萍每月增加的面積都相等D．若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t35．（2022·臨泉縣第二中學(xué)高三月考（理））我們處在一個(gè)有聲世界里,不同場(chǎng)合,人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求．音量大小的單位是分貝,對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為的聲波，其音量的大小可由如下公式計(jì)算：(其中是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)的聲音強(qiáng)度為，的聲音強(qiáng)度為，則是的（）6．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閍.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閍，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()A．125B．100C．75D．507．把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈，ln2≈()A．B．C．D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）6．某市的房?jī)r(jià)(均價(jià))經(jīng)過(guò)6年時(shí)間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長(zhǎng)率是________．7．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.8．某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間(單位：小時(shí))，y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則k＝________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)開(kāi)_______．即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.13．放射性物質(zhì)衰變過(guò)程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化．常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為它的半衰期，記為現(xiàn)測(cè)得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時(shí)間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：t(單位時(shí)間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_(kāi)_______個(gè)單位時(shí)間，剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式為A(t)＝________．三、解答題（本大題共4小題，共40分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）9．某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)8萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)8萬(wàn)元時(shí)，若超過(guò)A萬(wàn)元，則超過(guò)部分按log5(2A＋1)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金為y(單位：萬(wàn)元)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為x(單位：萬(wàn)元)．(1)寫(xiě)出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷(xiāo)售利潤(rùn)x的關(guān)系式；(2)如果業(yè)務(wù)員小江獲得萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？10．（2022·江西上高二中高一月考（文））一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，使森林面積每年比上一年減少p%，10年后森林面積變?yōu)椋阎浇衲隇橹?，森林面積為．（1）求p%的值；（2）到今年為止該森林已砍伐了多少年？14．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高一月考）近年來(lái)，我國(guó)大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來(lái)了嚴(yán)重影響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠(chǎng)新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，以降低對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為（，均為非零常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為時(shí)的污染物數(shù)量.若經(jīng)過(guò)5h過(guò)濾后還剩余90%的污染物.（1）求常數(shù)的值；（2）試計(jì)算污染物減少到40%至少需要多長(zhǎng)時(shí)間.（精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，，，，）15．（2022·湖北荊州中學(xué)高一期末）某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某商品一種小物品的銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該小物品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）每件的銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足（為正常數(shù)），日銷(xiāo)售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：/天10202530/件110120125120已知第10天的日銷(xiāo)售收入為121元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①，②，③，④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述日銷(xiāo)售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式.（3）求該小物品的日銷(xiāo)售收入（單位：元）的最小值.專(zhuān)題5函數(shù)的應(yīng)用（二）知識(shí)儲(chǔ)備1．幾類(lèi)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)“對(duì)勾”函數(shù)模型y＝x＋(a>0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax知識(shí)串講題型一：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】(鏈接教材P148例3)一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到．【解析】(1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過(guò)1年，w＝500(1－10%)＝500×；經(jīng)過(guò)2年，w＝500×；由此推知，t年后，w＝500×.(2)由題意得500×＝250，即0．9t＝，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得lg＝lg，即tlg＝lg，∴t＝≈.即這種放射性元素的半衰期為年．【解題技巧】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用1．在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．2．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)過(guò)的三關(guān)(1)理解關(guān)：數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量較大，需要通過(guò)閱讀找出關(guān)鍵詞、句，確定已知條件是什么，要解決的問(wèn)題是什么．(2)建模關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)文字關(guān)系，進(jìn)而建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題．(3)數(shù)理關(guān)：建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法．【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)為ykPa，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強(qiáng)為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強(qiáng)為_(kāi)_______kPa.【解析】將(1000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝x，當(dāng)x＝2000時(shí)，y＝100(eln2＝81.【答案】81題型二：對(duì)數(shù)型模型的應(yīng)用【例2】大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)y=log3（），單位是m/s，θ是表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)某條鮭魚(yú)想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？【解析】(1)由y=log3（）可知，當(dāng)θ＝900時(shí)，v＝log3＝log39＝1(m/s)．所以當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的單位數(shù)為原來(lái)的9倍．【解題技巧】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類(lèi)型和求解策略：(1)基本類(lèi)型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求解；(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或根據(jù)給出的具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．【跟蹤訓(xùn)練】某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷(xiāo)售額x為8萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元；銷(xiāo)售額x為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元．若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷(xiāo)售額應(yīng)為_(kāi)_______萬(wàn)元．【解析】依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.∴y＝2log4x－2，當(dāng)y＝8時(shí)，2log4x－2＝8，解得x＝1024.故他的銷(xiāo)售額應(yīng)為1024萬(wàn)元．【答案】1024題型三：以圖表信息為背景的函數(shù)應(yīng)用題【例3】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)檢測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量為（微克）與服藥后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)，其中OA是線(xiàn)段，曲線(xiàn)ABC是函數(shù)（）的圖象，且是常數(shù)．（1）寫(xiě)出服藥后y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于2微克時(shí)治療疾病有效．若某病人第一次服藥時(shí)間為早上6:00，為了保持療效，第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天的幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥3個(gè)小時(shí)后，該病人每毫升血液中含藥量為多少微克．（結(jié)果用根號(hào)表示）【解析】（1）OA為正比例函數(shù)圖像的一段，∴可設(shè),又A(1,8),所以8＝b∵曲線(xiàn)ABC：過(guò)點(diǎn)A(1,8)、B(7,1)∴∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為…6分（2）依題意，由，得∴由圖像可知，第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天的11點(diǎn)鐘.……………10分（3）將代入，將代入即每毫升血液中，含第一次所服藥的藥量為微克，含第二次所服藥的藥量為4微克，所以第二次服藥3個(gè)小時(shí)后，該病人每毫升血液中含藥量為微克……………16分【解題技巧】1．解決這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：(1)觀察圖表，捕捉有效信息；(2)對(duì)已獲信息進(jìn)行加工，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；(3)求函數(shù)模型；(4)進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真，答案要符合實(shí)際情形．2．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路【跟蹤訓(xùn)練】某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)(單位：元/)與上市時(shí)間(單位：天)的關(guān)系符合圖1中的折線(xiàn)表示的函數(shù)關(guān)系，西紅柿種植成本(單位：元/)與上市時(shí)間(單位：天)的關(guān)系符合圖2中的拋物線(xiàn)表示的函數(shù)關(guān)系.（1）寫(xiě)出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，圖2表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的純收益最大？【解析】（1）由圖1可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；由圖2，設(shè)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為，又該函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，；（2）設(shè)上市時(shí)間為時(shí)的純收益為，則由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.綜上，當(dāng)，即從2月1日開(kāi)始的第天上市的西紅柿的純收益最大.題型四：建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例4】為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如表所示：年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)12345678910(1)描點(diǎn)畫(huà)出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫(huà)出圖象；(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm，則可以灌溉土地多少公頃？【解析】(1)描點(diǎn)，作圖如右圖所示．(2)從(1)圖可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線(xiàn)附近，由此，設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿(mǎn)足線(xiàn)性模型：y＝a＋bx.取其中的兩組數(shù)據(jù),，,，代入y＝a＋bx，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＝a＋，,＝a＋，))解得a≈，b≈，所以該函數(shù)模型為：y＝＋.作出函數(shù)圖象(如右圖)，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映積雪面積與灌溉面積的關(guān)系．(3)由(2)得y＝＋×25，求得y＝，即當(dāng)積雪深度為25米時(shí)，可以灌溉土地公頃．【解題技巧】建立擬合函數(shù)與預(yù)測(cè)的基本步驟【跟蹤訓(xùn)練】某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本（單位：元/（））與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間（單位：天）60100180種植成本（單位：元/（））11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系：，，，．利用你選取的函數(shù)，計(jì)算西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是________；最低種植成本是________元/（）．【答案】12080【解析】因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)和時(shí)種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用函數(shù)描述．將表中兩組數(shù)據(jù)和代入，可得，解得．所以．故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值80元/（）．故答案為：120；80.能力檢測(cè)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過(guò)x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿(mǎn)足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】經(jīng)過(guò)1年，y＝a(1＋5%)，經(jīng)過(guò)2年，y＝a(1＋5%)2，…，經(jīng)過(guò)x年，y＝a(1＋5%)x.2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽(yáng)湖國(guó)家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似滿(mǎn)足關(guān)系式：y＝alog3(x＋2)，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2022年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2024年冬越冬白鶴有()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只【答案】C【解析】當(dāng)x＝1時(shí)，由3000＝alog3(1＋2)得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故選C.3．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過(guò)圓柱形的電線(xiàn)時(shí)，其電流強(qiáng)度I與電線(xiàn)半徑r的三次方成正比，若已知電流通過(guò)半徑為4毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為320安，則電流通過(guò)半徑為3毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為()A．60安 B．240安C．75安 D．135安【答案】D【解析】由已知，設(shè)比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.由題意，當(dāng)r＝4時(shí)，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝5，所以I＝5r3.故當(dāng)r＝3時(shí)，I＝5×33＝135(安)．故選D.4.(多選)如圖，某池塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時(shí)間t(單位：月)的關(guān)系為y＝at.關(guān)于下列說(shuō)法正確的是()A．浮萍每月的增長(zhǎng)率為1B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)30m2C．浮萍每月增加的面積都相等D．若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3【答案】ABD【解析】圖象過(guò)(1,2)點(diǎn)，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.∵，∴每月的增長(zhǎng)率為1，A正確．當(dāng)t＝5時(shí)，y＝25＝32＞30，∴B正確．∵第二個(gè)月比第一個(gè)月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三個(gè)月比第二個(gè)月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正確．∵2＝，3＝，6＝，∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正確．故選A、B、D.5．（2022·臨泉縣第二中學(xué)高三月考（理））我們處在一個(gè)有聲世界里,不同場(chǎng)合,人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求．音量大小的單位是分貝,對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為的聲波，其音量的大小可由如下公式計(jì)算：(其中是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)的聲音強(qiáng)度為，的聲音強(qiáng)度為，則是的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【解析】因?yàn)?，代入，，得，兩式相減，得得到，即，故選：B.6．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閍.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閍，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()A．125B．100C．75D．50【答案】C【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 設(shè)經(jīng)過(guò)t1天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)閍，則a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴，t1＝75.7．把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈，ln2≈()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知50＝10＋(90－10)·e－，整理得e－＝，即－＝ln＝－ln2＝－，解得t≈.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）6．某市的房?jī)r(jià)(均價(jià))經(jīng)過(guò)6年時(shí)間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長(zhǎng)率是________．【答案】－1【解析】設(shè)6年間平均年增長(zhǎng)率為x，則有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝－1.7．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.【答案】e6－1【解析】當(dāng)v＝12000m/s時(shí)，2000·ln＝12000，所以ln＝6，所以＝e6－1.8．某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間(單位：小時(shí))，y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則k＝________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)開(kāi)_______．【答案】2ln21024【解析】由題意知，當(dāng)t＝時(shí)，y＝2，即2＝k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e2×5×ln2＝210＝1024.即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.13．放射性物質(zhì)衰變過(guò)程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化．常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為它的半衰期，記為現(xiàn)測(cè)得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時(shí)間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：t(單位時(shí)間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_(kāi)_______個(gè)單位時(shí)間，剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式為A(t)＝________．【答案】4320·2－(t≥0)【解析】從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個(gè)單位時(shí)間，由初始質(zhì)量為A0＝320，則經(jīng)過(guò)時(shí)間t的剩余質(zhì)量為A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．三、解答題（本大題