兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日5.1離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布已知隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布,

g(x,y)為已知的二元函數(shù),

轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件問題方法求Z=g(X,Y)的概率分布第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例1

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日可得所以第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例2

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求：的概率分布第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：P

X+Y

X

-Y

XYY/X(X,Y)(-1,-1)

(-1,0)

(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)-2-10112

0-12132

10-10-20

10-10-1/20第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日PXY-2-101PY/X-1-1/201第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日1.設(shè)

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨(dú)立，具有可加性的兩個(gè)離散分布：2.設(shè)

X~(1),Y~(2),且獨(dú)立，則X+Y~B(n1+n2,p)則X+Y~(教材P86例5.2)（習(xí)題課教程P383例18）第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日X~(1),Y~(2),則Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,,

Poisson分布可加性的證明第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日5.2連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

1.

Z=X+Y的概率分布第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,

當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),這兩個(gè)公式稱之為卷積公式。注意：被積函數(shù)變?cè)蛒+(z-x)=(z-y)+y=z第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日(教材P87例5.3)例3

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日得第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日說明：

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即正態(tài)分布具有可加性.

例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例４若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:

解法一由卷積公式也即（教材P88例5.4）第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域也即于是第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解法二

從分布函數(shù)出發(fā)x+y=z當(dāng)z<0時(shí)，1yx1第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)0z<1時(shí)，yx11x+y=z?z?z第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日x+y=z當(dāng)1

z<2

時(shí)，z-11yx1?z?z第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時(shí)，(書P90例5.5、P92例5.6）第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例５已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為Z=X+Y,求fZ(z)解（圖形定限法）由公式（1）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日zxz=xz=2xx=112當(dāng)z<0或z>2,zzzz當(dāng)0≤z<1,當(dāng)1≤z<2,

fZ

(z)=0第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日這比用分布函數(shù)做簡(jiǎn)便。第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解課堂練習(xí)：第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日此時(shí)第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.極值分布的分布函數(shù)則有第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日故有第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日推廣：第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日若X與Y相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為f(x),則M與N的分布密度為

上述結(jié)論可以推廣到n維情形,即若設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,令

第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日它們的概率密度函數(shù)分別為則它們的分布函數(shù)分別為

第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實(shí)用價(jià)值.第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例6

設(shè)X,Y獨(dú)立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律.解

第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日類似可得N的分布率為

N

1

2

3

P

5/9

1/3

1/9

M

1

2

3

P

1/9

1/3

5/9從而M的分布律為第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是解課堂練習(xí)：第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例7（教材Ｐ93例5.7）第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日附:平方和的分布Z=X2+Y2設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度

為f(x,y)，則第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例如，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互獨(dú)立，

Z=X2+Y2,則自由度為2的2分布稱為第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解

設(shè)的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有（教材P95例5.8）第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第四十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，