尤承業(yè)基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義部分課后習(xí)題參考答案（第二版）

第頁(yè)碼頁(yè)碼頁(yè)/總NUMPAGES總頁(yè)數(shù)總頁(yè)數(shù)頁(yè)尤承業(yè)基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義部分課后習(xí)題參考答案（??二版）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院December24,20151 第20-21頁(yè)（拓?fù)淇臻g）練習(xí)1(1.. ?寫出集合X={,}上的所有拓?fù)洌猕C2={{,{,/,X；–3={{,/,X；–4={{,/,X．{ 練習(xí)2(2.). ?設(shè)X=x,y,z，下列子集族是不是X{ ）X,/,{x,,z；）X,/,{x,,x,}；）X,/,{x,,x,,,z．解是．不是．添加{x}．）不是．添加x,,z．練習(xí)3(3.. ?在R上規(guī)定子集族τ={∞,)|a∈R}∪{/,R，則τ是拓?fù)洌C明只需證明τ對(duì)有限交和任意并是封閉的．–abab(?∞a∞b∞aτ．–任取A?R，令μ=supA（可以是+，則a∈A(,)=(,μ)∈τ．練習(xí)4(4.). ?設(shè)τ是X上的拓?fù)洌珹是X的一個(gè)子集，則X的拓?fù)洌C明–U1,U2τ(AU1AU2AU1U2τ′．Uτ，則

U)

∈τ′.U∈U U∈U練習(xí)5(4.). ?證明X上任意一族拓?fù)渲蝗允荴上的拓?fù)洌C明∈{τλ|λΛ}X的一族拓?fù)洌应恕搔应耍蔝1,U2τλΛU1,U2τλτλU1∩U2τλ，U1U2τ；AτAτλλτλ是拓?fù)洌小萓τλ，從而U∈A

U∈τ．

U∈Ax練習(xí)6(6.). ?R2中的子集A={(x,sin1):x∈(0,1)}，求A?．x解首先(1sin1)∈A?，因它的每個(gè)鄰域都與A有交；–{011A??x11](0x)A有交；AA?．x–AA011])∪{(xsin1)x01]}．x練習(xí)7(7.. ?在實(shí)數(shù)集R上裝備拓?fù)洇?{∞,)|?∞≤a≤，求單點(diǎn)集的閉包．證明A{x是實(shí)數(shù)集的單點(diǎn)集．yxy(?∞a)（ay）xyA?；2當(dāng)y<x時(shí)，存在鄰域(,1(x?))不包含x，所以y/A?；2–綜上所述，A?=[x+∞)．練習(xí)8(8.).?在度量空間(Xd)B[xr]={yX|d(xyr}B[xr]B[x,r]?=B(x,r)．證明2任取a/B[x,r]r0=1d(x,)?ra的鄰域(,0)滿足B,r0)?B[x,rcB[x,r]2是閉集．事實(shí)上，任取y∈B(ar0)，則2d(x,y)≥d(x,a)?d(a,y)>d(x,a)?r0=1(d(x,a)+r)>r,2即y/B[x,r]，再由y的任意性有B,r0)?B[x,r]c．XB[x1XB(x1{x}．練習(xí)9(9.). ?設(shè)X是拓?fù)淇臻g，G是X的開集．證明G∩A??(G∩A)?．證明xGA?xUUA?=0．–UGx(UGA0UGA0，–xGA)?．練習(xí)10(10.). ?設(shè)A1,···,An都是X的閉集，并且A1∪···∪An=X，B?X，則B是X的閉集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)i，B∩Ai是Ai的閉集．證明BXBAiAi的閉集．BAiAiBAiXAi的交集．又因?yàn)锳i是X的閉集，所以每個(gè)BAi都是X的閉集，從而B=BX=(BA1···BAn)X的閉集．練習(xí)11(11.). ?設(shè)Y是X的子空間，x∈Y，則x∈DY(A)當(dāng)且僅當(dāng)x∈DX(A)，即DY(A)=DX(A)∩Y，這里，DY(A)表示A在Y中的導(dǎo)集．證明xDY(A)xXU(U∩Y)∩(A\{x0U∩(A\{x0，xDX(A)．xYxDX(AY．反之，任取x∈DX(A)∩Y，則存在x在X中的鄰域U使得U∩(A\{x}) –AYU∩(A\{xU∩(YAxU∩Y)∩(A\{x0xDY(A)．練習(xí)12(12.). ?設(shè)Y為拓?fù)淇臻gX的子空間，B?A．證明：( ClA(BClX(BA，這里，ClA(B)BA( A=A\\B，這里A表示B在A如果A是X的開集，則A=B?，證明( （1） –由上題得：ClA(BDA(BBDX(BABADX(BBAClX(B( A（2）·A\A\B?A\(A\B)=B，且A\A\B=A∩A\B 是A的開集，所以A\A\B?B?．A·另一方面，任取x∈BA，則存在x在X中的鄰域U使得U∩A?B．·U∩(A)=U∩)∩(A)=/，所以x/AB，因此x∈\B．證明（續(xù)）A–A是開集，則由上面的結(jié)論可知B?=A\A\BA(A\B)cX的開集，從而AA?B?．*xB?xXUUB．·這個(gè)U=U∩A也是x在A中的開鄰域，因此x∈A．{}練習(xí)13(13.). ?余可數(shù)拓?fù)淇臻gX的序列xn收斂于a{}a．證明{xn}a{xn}a；xnaaUX\{xn|nNa}n充分大時(shí)，xnU內(nèi)，NNnNxnUxna．練習(xí)14(14.). ?在R上規(guī)定拓?fù)洇?(,|a∈R∪{,}則這個(gè)拓?fù)淇臻g是可分的．證明有理數(shù)集顯然是稠密子集．可分性練習(xí)15(15.). ?證明：A是X的稠密子集當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)非空開集與A相交．證明提示：X的每個(gè)點(diǎn)都是A的閉包點(diǎn)．練習(xí)16(16.). ?證明：如果A是B的稠密子集，B是X的稠密子集，則A是X的稠密子集．證明由于A在B中稠密，所以A?∩B=B=，于是B??．BAA?．另一方面，BXBX．XBAXAX．練習(xí)17(17.). ?若A,B都是X的稠密子集，并且A是開集，則A∩B也是X的稠密子集．證明AABAB．xA∩BxUxUxAB?=0．*yUx∩A∩ByBUx∩AyUx∩(A∩BUx∩A)∩B0，xABABAB．*相反的包含式是顯然的．BXAABABAXXABAB稠密．2 第28-29頁(yè)連續(xù)映射練習(xí)18(1.). ?設(shè)f:X→Y，證明下列命題等價(jià)：（1）f連續(xù)；（2）XA，有f(Af(A)]?；（3）YB，有f?1(Bf?1(B)]?；（4）YB，有f?1(Bf?1(B)]?．?）YFf?1(F)XXA，有f(A)?f(A)．–A?f?1f(A)]?f?1f(A)]．*因?yàn)閒(A)Y的閉集，由假設(shè)知f?1f(A)]X閉集．*A?f?1f(A)]=f?1f(A)]，*于是得f(Aff?1f(A)])?f(A)．()?）()XA，有f(Af(A)YB，有f?1B?f?1(B)．對(duì)集合f?1(B)應(yīng)用假設(shè)條件，并注意ff?1(BB，得f(f?1(B))?f[f?1(B)]?B,*所以f?1(B)?f?1ff?1(B))?f?1(B)．()證明?） ()YB，有f?1B?f?1(B)．YF有 f?1(F)=f?1(F)?f?1(F)?f?1(F),即f?1(F)=f?1(F)，于是f?1(F)X的閉集。）（4）?（1）YB，有f?1(Bf?1(B)]?．YB有f?1(B)=f?1(B?)?f?1(B)??f?1(B),所以有f?1(B)=f?1(B)?，因此f?1(B)X的開集。*（1）?（4）設(shè)f連續(xù)，則f?1(B?)是開集．·由于f?1(B?)?f?1(B)，所以有f?1(B?)?f?1(B)?．練習(xí)19(2.). ?設(shè)B?Y，i:B→Y是包含映射．證明f:X→B連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)i?f:X→Y連證明YVi?1(VVBB的開集．如果fi?f連續(xù)．( ? ∩ ∩ifYV(if)?1( ? ∩ ∩但(if)?1(V)=f?1i?1(V)=f?1(V B)，所以對(duì)B的任意開集V B其f原像是Xf連續(xù)．練習(xí)20(3.). ?設(shè)f:X→Y為同胚映射，A?X，則f|A:A→f(A)也是同胚映射．證明f|A連續(xù)且f?1|f(A)連續(xù)，直接驗(yàn)證可得f?1|f(A)是f|A的逆．練習(xí)21(4.). ?證明下面幾個(gè)空間相互同胚：{ ∈ 2（１）X1={ ∈ 2（２）X=(x,y,z) R3x2+y2=1；（３）X3={(x,y,z)∈R3|x2+y2?z2=1}．證明?2112fXXf(xyzxezyez)，f?1XX?2112

ff?1(uv(ueu2+v2veu2+v2u2+v2)，(3 222(3 2222–設(shè)g:X X為g(x,y,z)= xx2+y2

, y√x2+y2√

z)，g?1X2X3gg?1(uvw(u√1w2v√1w2w)g是同胚。∈練習(xí)22(5.). ?拓?fù)淇臻gX的覆蓋C是局部有限的是指有對(duì)任意的x X，存在鄰域U只與∈C的有限個(gè)成員相交。{ |∈} →–設(shè)X具有局部有有限閉覆蓋C=Cλλ Λ，且f:X Y在{ |∈} →證明xXUxCC1···,Cn相交．((∪ )U=U∩X=U∩ Cλλ∈Λ=U∩(C1∪···∪Cn)=(U∩C1)∪···∪(U∩Cn),U是它的有限個(gè)閉集之并．因fi=f|CiUCiU上連續(xù)．練習(xí)23(6.). ?設(shè)f:X→Y連續(xù)，xn→x，則f(xn)→f(x)．證明ff(x)VxUf(UV．再由序列的收斂性可知，存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有xnU．nN，有f(xnV，所以f(xn)→f(x)．練習(xí)24(7.). ?設(shè)f:X→Y連續(xù)滿射，其中X是可分的，證明Y也是可分的．證明AXAX．由于f是滿射，有f(Af(XY．另一方面，由于fY=f(Af(AY，所以f(AY．因此(f(?=fA)∩Y=Y，即f()是Y的可數(shù)稠密子集．練習(xí)25(8.). ?證明恒等映射id:(R,τc)→(R,τf)是連續(xù)映射，但不是同胚．證明Vτfid?1(VVτCid(RτcRτf)連續(xù)．設(shè)U=c，則U∈c，但(i?1?1U)=U/τf，所以恒等映射的逆不連續(xù)．{練習(xí)26(9.). ?設(shè)f:R\[0,1)→R為{f(x)= x, x<0,x?1,x≥1,f連續(xù)，但不是同胚．證明為證f連續(xù)，只需證明f1R\[01)處連續(xù)．為此注意f(10．–R0ε(?εε)R\[01)1[11ε)，使得f([11+ε0εεε)，所以f1處連續(xù)．g是f的逆映射，則{g(y)=f?1(y)= y, y<0,{y+1,y≥0.gy0g(01．*11/2-U1/21/23/2)0δ-Vδg(Vδδ0[11δ￠U1/2g0處不連續(xù)．練習(xí)27(10.). ?舉例說(shuō)明開映射不必是閉映射，閉映射也不必是開映射．解設(shè)X=,,τ1={/,X,,}}τ2={/,X,,,}}．開映射不必是閉映射 *令f:(X,τ1)→(X,τ2)為f(x)=3，則f是開映射．*f({13}，{1}τ1-{3}τ2-閉集．閉映射不必是開映射 *令f:(X,τ1)→(X,τ2)，f(x)=2，則f是閉映射．*但不是開映射，因?yàn)閒,)=2,}是τ1-開集，但卻不是τ2-開集．映射．練習(xí)28(11.). ?如果f:X→Y是一一對(duì)應(yīng)，則f是開映射??f是閉映射??f?1是連續(xù)映射．證明????閉集的像的余集是開集（f是一一映射，所以余集的像等于像的余集）??閉集的像是閉集．f??f?1f?1連續(xù)．{ | 練習(xí)29(12.). ?設(shè)(X,d)是度量空間，A是X的非空子集，定義f(x)=d(x,A)=infd(x,a)a A，{ | A是非空閉集，則f(x0xA。證明?aA?x1x2Xd(x1ad(x1x2d(x2a)．–aAd(x1Ad(x1x2d(x2A)，即f(x1f(x2d(x1x2)．**同理有f(x2f(x1d(x1x2)|f(x1f(x2)|d(x1x2)．f連續(xù)．*下假設(shè)A是非空閉集．xA，則f(x0；反之，如果f(x0xA．用反證法．如果x/，由于Ac是開集，所以存在B(x,ε)?Ac．這說(shuō)明f(xd(xAε，與f(x0矛盾．{? |∈ →練習(xí)30(13.). ?設(shè)(R,τ)是拓?fù)淇臻g，其中τ=(∞,a)a R，且f:(R,{? |∈ →證明xyRxy．因f(x)R的閉集，由f的連續(xù)性可知f?1f(x))(Rτ)x的閉集．–因此f?1f(x))[x+∞)．–xyyx+∞f?1f(x))f(yf(x)．xy的任意性可知f是常值的。3 第34-35頁(yè)練習(xí)31(1.). ?設(shè)A,B分別是X,Y的閉子集，證明A×B是X×Y的閉子集．證明注意(X×Y)\(A×B)=[(X\A)×Y]∪[X×(Y\B)].AB[(X\AYXY\B)]是開集．AB是閉集．32.此題可由下題得．練習(xí)33(2.). ?設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，X×Y為積空間．證明?A?X，B?Y，有ClX×Y(A×B)=ClX(A)×ClY(B)；(A×B)=IntX(A)×IntY(B)；BdX×Y(A×B)=[BdX(A)×ClY(B)]∪[ClX(A)×BdY(B)]．–其中，ClX(A)，IntX(A)BdX(A)AX中的閉包，內(nèi)部和邊界．證明首先注意集合恒等式：

=(A∩C)×(B∩D);(A×B)\(C×D)=[(A\C)×B]∪[A×(B\D)].證明（１）x=(x1,2)∈(A×)12?xUUAB0/?對(duì)i的任意鄰域i有1×2)∩A×B)?/（）*?x1∈()1,x2∈(B2*?x=(1,x2)∈A)1×()2.證明（）（2） –x=(x1,x2)∈IntX1×X2(A×B)?xUUAB?xiUiU1A,U2B（為什么？）?x1∈IntX1(A),x2∈IntX2(B)·?x=(x1,x2)∈IntX1(A)×IntX2(B).）·由于Ab=A?∩A?=?∩A?c=?A?，所以由（１（２）有(A×B)b=(A×B)?\(A×B)?=(A?×B?)\(A?×B?)≡[(A?\A?)×B?]∪[A?×(B?\B?)]=(Ab×B?)∪(A?×Bb).練習(xí)34(3.). ?投影映射是開映射．證明投影映射把基開集變成開集，而開集是一些基開集之并，所以把開集變成開集．練習(xí)35(4.). ?設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，F(xiàn):X→X×Y定義為F(x)=(x,f(x))，則F是嵌入，即F:X→FX)=(x,f(x)|x∈X}是同胚．證明πiFF連續(xù)．F?1:XF(XXπ1:XYXF(X)上的限制，所以也連續(xù)．練習(xí)36(5.). ?如果X,Y都是可分的，證明X×Y也是可分的．證明ABX,YA?=X，BY．(ABABXYABXY的可數(shù)稠密子集．? 練習(xí)37(6.). ?設(shè)(Xi,τi)是拓?fù)淇臻g，Ai Xi，i=1,2，則A1 A2? 證明A1A2BV1A1V2A2)|Viτi}．–由于U1×U2V1∩A1)×(V2∩A2V1×V2)∩(A1×A2)BV1V2A1A2|Viτi}，A1A2X1X2的子空間拓?fù)涞幕毩?xí)38(7.). ?證明拓?fù)淇臻g上的連續(xù)函數(shù)的和差積商（分母非零）都是連續(xù)函數(shù)．證明設(shè)fgXRFXXR2，F(xiàn)(xyf(x)g(y))也是連續(xù)函數(shù)．GR2RG(xyxyG為連續(xù)函數(shù)．GF:XXR，(xy)?→f(xg(x)也連續(xù)．同理可證差、積、商的連續(xù)性．練習(xí)39(8.). ?證明B=(,|a∈}是R上某個(gè)拓?fù)涞幕?，并寫出該拓?fù)洌饬瞀?{∞,)|a∈R，則已證這是一個(gè)拓?fù)洌瓸τ的基．注記也可驗(yàn)證∪（１）B∈BB=R；∪（２）?AB∈B，ABB的某些成員之并．練習(xí)40(9.). ?在下限拓?fù)淇臻g，[a,b)既開又閉．證明[ab)是開集．另一方面，[a,b)=(?∞,a)∪[b,+∞)=(∞=

a?n,))

(

[,b+))是開集，所以[ab)是閉集．

n=1

n=1{ × | ∈ } 練習(xí)41(10.). ?設(shè)Bi（i=1,2）是(Xi,τi)的拓?fù)浠?，則B=B1 B2Bi { × | ∈ } 證明UiτiU1U2B的某些成員之并．∪CiBiUi=C∈CiC．∪(∪)(∪) (∪) ( U1×U2=C1∈C1

C1×C2∈C2

C2 =C1∈C1,C2∈C2

1×2)).–CC1C2|C1C1,C2C2}CBU1U2∪C∈CC．練習(xí)42(11.). ?設(shè)C是X的一個(gè)子集族，B是C的成員通過(guò)有限交運(yùn)算所得到的子集族，證明B是X的某個(gè)拓?fù)涞幕C明τBBττ是拓?fù)洌?/Bτ；XCB，進(jìn)而屬∪ ∪∈ 1 2ABτB1B2BA=C∈B1C，B∪∈ 1 2AB=CB,DB(CD)CDCCDB，故? ∈A∩B∈? ∈任取A τ，則A的每個(gè)成員都是C的一些成員的有限交之并，故AAA也是C的一些成員的有限交之并，從而屬于τ．4 第43-44頁(yè)練習(xí)43(1.). ?T0公理：對(duì)X中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，至少有一點(diǎn)的一個(gè)鄰域不包含另一點(diǎn)；．解–0而非1空間的例子：設(shè)X={,,}τ={/,{,{,},a,},X．練習(xí)44(2.). ?如果X滿足T0公理和T3公理，則也滿足T2公理．證明xyXx?=y．Uxy．xFUcFy（x）的閉集．xT3xVFWVW0．T2的．練習(xí)45(3.). 子集，則A的導(dǎo)集是閉集．證明設(shè)x∈A′′，則對(duì)x的任意的U∈x，有U∩(A′\{x)?/．–yUA′\{x})UOy，yxyA′．因X是1的，所以存在V∈y，使得x/V．因此有U∩(A\{x})=(U\{x})∩A?((V∩U)\{x})∩A=(V∩U)∩Ax∈A′，A′′?A′A是閉集．練習(xí)46(4.). ?設(shè)f,g:X→Y是連續(xù)映射，Y是Hausdor?空間，證明（1）ExX|f(xg(x)}X的閉子集；（2）如果AX的稠密子集且f|Ag|A，則fg．證明–xEc，則f(x?=g(x)，于是由T2公理可知存在GNf(x)WNg(x)使得fgU,VNxf(UG，g(VW．于是對(duì)任意的z∈U∩V，有f(z) g(z)，即U∩V?Ec．UVNxEcXE為閉集．*因f|Ag|AAEXAEEXE．xXf(xg(x)fg．練習(xí)47(5.). ?設(shè)Y為2空間，f:X→Y是連續(xù)映射則f的圖像Gf=(x,fx)|x∈X}為XY的閉集．證明f?(xyGcyf

f(x)Uf(x),UyUf(xUy0．因fxVx，使得f(VxUf(x)．因此f(VxUy0?xVx?yUyy?=f(x)VxUyGcGcf f是開集，從而Gf是閉集．閉集．練習(xí)48(6.). ?證明拓?fù)淇臻gX為2空間的充要條件是X×X的對(duì)角線?=(x,x|x∈X}為閉集．證明? –XT2(xy?cyx．Ux,UyUxUy0．UxUy?c?c?是閉集．? *??c是開集．*?xyXx?=y(xy?c．T空間．)T空間．2練習(xí)49(7.).T2T2空間。證明任取xy∈A，且x?=y，則由于X是T2的可知存在xU和yV使得UAVAxyA中的鄰域，并且不相交。練習(xí)50(8.). ?兩個(gè)T2空間的積空間是T2的．證明X1X2T2X1X2T2的。–任取(a1,a2),(b1,b2)∈X1×X2，(a1,a2) (b1,b2)。U1b1V1U1V10。–UU1X2，VV1X2U,V分別是(a1b1)(a2b2)的鄰域，并且U∩V=(U1V1X20。練習(xí)51(9.). ?證明拓?fù)淇臻gX為正則空間的充要條件是X的任意閉集A以及任意x/A在x的開鄰域U以及A的開鄰域V，使得U?∩V?=0/．證明充分性顯然，下證必要性．X?xAcxVAUUV0．xWWV．．→練習(xí)52(10.). ?設(shè)f:X 理．→證明B1B2YA1=f?1(B1)A2=f?1(B2)X的兩個(gè)不交閉子集．iWif(Uc))ci12WiY的開子集．iiiiii因?yàn)閒?1(BiAiUi，所以f?1(Bcf?1(Bi))cUc．iiiii由于fBc?f(Uc)Bif(Uc))cWiWiBi的鄰域．1212/1212W1W20．→ ∈ 練習(xí)53(11.). ?設(shè)f:X Y，x X，V是f(x)的一個(gè)局部基．如果V V，f?1(V→ ∈ f連續(xù)，反之亦然．證明運(yùn)用局部基的定義易證，從略。練習(xí)54(12.). ?設(shè)X是??一可數(shù)的，且其序列最多收斂到一個(gè)點(diǎn)，則X是T2的．證明∈用反證法，假設(shè)X不是T2的，則存在x,y X，使得對(duì)x的任意鄰域與y的任意鄰域都相交?！蔢是??x{Uny{Vn}。nNUnVn0。xnUnVnxnx，xny，這與假設(shè)矛盾。練習(xí)55(13.).證明正則空間的子空間是正則的．正則空間的積空間是正則空間．證明(1)X是正則空間，Y是其子空間．yY，BYyXB0BB0Y．因y/，所以y/B0．因X正則，所以分別存在y和0在X中的鄰域0和0使得UU0Y，VV0YU,VyBYUV0．證明(2)X1X2是正則空間，xx1x2X1X2，Uxx1X1中的開鄰域U1x2X2U2U1U2U．??X1X2中的鄰域，并且X1X2是正則的．練習(xí)56(14.). ?證明??二可數(shù)公理具有可乘性和遺傳性．證明可乘性提示：設(shè)B1是X在x處的可數(shù)局部基，B2Y在y處的可數(shù)局部基，則B={B1B2|BiBi}XY(xy)處的可數(shù)局部基。遺傳性提示：可數(shù)基在子空間上的限制就是子空間的可數(shù)基。練習(xí)57(15.). ?證明可分度量空間的子空間是可分的．證明可分的度量空間是??二可數(shù)的，??二可數(shù)空間的子空間也是??二可數(shù)的，因此是可分的。{ | ∈} { | ∈}練習(xí)58(16.). ?R上以B1=(a,b]a,b R和B2=[a,b)a,{ | ∈} { | ∈}證明上限拓?fù)淇臻g和下限拓?fù)淇臻g都是??一可數(shù)，但不是??二可數(shù)的．證明以下限拓?fù)錇槔?{ |∈ }對(duì)每個(gè)x R，Wx=[x,r)r Q是x關(guān)于τl的可數(shù)局部基，從而(R,τl)是??一可數(shù)的．同理(∈ { |∈ }(Rτl)不是??二可數(shù)的．設(shè)B是任意一個(gè)基，x∈R．由于[xx1)是下限拓?fù)淇臻g的一個(gè)開集，由基的特UxxUxxx1)．xRUxBxUx也不相同．RB，xUxB不可數(shù)．練習(xí)59(17.). ?在R上裝備拓?fù)洇?{∞,)|?∞≤a≤，則R,τ)是??二可數(shù)的．證明易證B=(,)|a∈Q}是可數(shù)局部基．練習(xí)60(18.). ?設(shè)τ0是R的通常拓?fù)?，記S是全體無(wú)理數(shù)集，τ={U\A|U∈τ0,A?S}．τR上的拓?fù)洌?Rτ)T2T3公理；(Rτ)C1空間；τSτS(SτS)是不可分的；(Rτ)C2公理．證明（1） –τ0τ0Rτ．U\A,V\BτU,Vτ0，ABS，則(U\A)∩(V\B)=(U∩V)\(A∪B)∈τ.AUα\Aα|αΛ,Uατ0AαSτ，則∪αAα)=(∪α)0,α∈Λ α∈ΛS0∪α∈ΛAα∪α∈Λ(Uα\Aατ．證明（續(xù)）–xyR，x?=y(Rτ0)T2U,Vτ0xU，yV，UV0．τ0τU,Vτ(Rτ)T2的．(Rτ)中，Q=R\SS是閉集．任給有理數(shù)r，則r與S不能用鄰域分離，因?yàn)镾的開鄰域都是有限個(gè)有理數(shù)r(Rτ)T3公理．·Q(Rτ0)xRτ0-Ux都有\(zhòng) ? \ ∩ ∩ 于是，對(duì)x的任意τ-鄰域UxA（其中A Q在(R,τ)\ ? \ ∩ ∩ 部基．xnnxxRV(nx((x1x1Q){V(n)}x的可數(shù)局部基．xnnx證明（續(xù)）nn–sS{s[(s1s1)\(S\{s})SτS-τS是離散拓?fù)洌畁n·(Rτ)C2(SτS)C2的，矛盾．5 第58-60頁(yè)練習(xí)61(1.).R關(guān)于余有限拓?fù)涫蔷o致的，關(guān)于余可數(shù)拓?fù)涫欠蔷o致的。Proof.略。練習(xí)62(2.).按照下列步驟證明序列緊致度量空間是緊致的：若X是序列緊致的，則每個(gè)可數(shù)開覆蓋有有限子覆蓋；若X是??二可數(shù)的，則X的每個(gè)開覆蓋有可數(shù)子覆蓋；序列緊致的??二可數(shù)空間是緊致的；序列緊致度量空間是??二可數(shù)的。k=1Proof. 1.用反證法。如果可數(shù)覆蓋{Un}沒有有限子覆蓋，取xn∈X\∪n Uk，得到序列{xnk=1因?yàn)閄xi→0∈mi≥m時(shí)有xi/mUmxnix0矛盾。?∈ ?∪X滿足??二可數(shù)公理，B是它的可數(shù)基，?∈ ?∪基的定義可知A A，存在BA B使A=B∈BA

A∈A

BAB，則它是一個(gè)X?B∈1?B∈AB?AB1=AB|B∈1A1AA1X的可數(shù)覆蓋．由于??二可數(shù)，所以每個(gè)開覆蓋具有可數(shù)子覆蓋；又由于序列緊致，每個(gè)可數(shù)開覆蓋有有限子覆蓋，因此序列緊致??二可數(shù)空間是緊致的。n∪···∪ 設(shè)An是X的有限1n∪···∪ 練習(xí)63(3..））拓?fù)淇臻g任意多個(gè)緊致閉子集之交仍然是緊致的．i證明.1）設(shè)1,···,An是XY=A1∪···∪n．如果A是Yi的開覆蓋，因此存在Ai的有限子覆蓋Ai．設(shè)B= Ai，則B是Y的有限覆蓋．=（2）閉子集之交是其中每一個(gè)的閉子集，由遺傳性即得結(jié)論．練習(xí)64(4.).A(Xd)的緊致子集，則存在x,y∈，使得dx,y)=(A，其中()=supd(x,)|x,y∈A}是A的直徑；yAd(xyd(xA)；BXAB0d(AB0。nProof.1.AA緊致，dAARd(AA)RD(A)。另證：取n,n∈A，使得d(n,n)≥()?1。由于xn,n}是Ax0y0Ad(x0y0D(A)。n令f(yd(xy)，則f(y)連續(xù)，從而f(y)Ad(xA)。令f(xd(xB)，則f(x)Ax0A使得f(0)=d(0,B)=d(,B。但x0/，且B是閉集，所以d(0,B)>。練習(xí)65(5.).證明緊致空間的無(wú)窮子集必有聚點(diǎn)（Bolzano-Weierstrass定理。Proof.X是緊致的，AX的無(wú)窮子集?！?∩ \{}用反證法．假設(shè)A沒有聚點(diǎn)，則對(duì)任意的x X，有鄰域Ux使得Ux ∈ ∩ \{}∈ ∩ {} ∈ x =∈ ∩ {} ∈ { | 令A(yù)=Uxx X，則它是X的開覆蓋。由X的緊致性，存在有限子覆蓋。然而，有限個(gè)Ux{ | 練習(xí)66(6.).X的每個(gè)緊子集都是閉集，則任意收斂序列的極限是唯一的。.XT1空間。\{} {}如果收斂序列xn有兩個(gè)極限點(diǎn)a,b，則U=X 在U內(nèi)，從而在\{} {}考慮A=xn|xn }∪{，則A是緊致的，從而是閉集，于是Ac就是開集，而且是a的開鄰域。但這個(gè)鄰域只含序列的有多限項(xiàng)，這與序列收斂于a矛盾。練習(xí)67(7.).X是可分的，從而使??二可數(shù)的（因?yàn)榭煞侄攘靠臻g是??二可數(shù)的。in證明.由于X(x(n),1)|i=,···,k(n)}覆in1k(n)n=1蓋X。令C(n)=x(n),···,x(n)C=∞C(n)，則C1k(n)n=1對(duì)任意的x∈X以及任意的n，存在B(x(n)1)，使得x∈B(x(n)1)。于是x(n)∈B(x1)，即i nnB(x1C0，xC，CX。n

i n i n練習(xí)68(8.).XYX,Y都是緊致的。Proof.投影映射是連續(xù)的滿射，而緊致空間在連續(xù)映射下的像是緊致的。練習(xí)69(9.). ?X緊致的充分必要條件是X的每個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族具有非空交。證明必要性：X緊致，F(xiàn)F具有非空交。用反證法。cF∈FF∈F1n如果∩F=/，則∪Fc=X，即Fc|F∈F}是對(duì)cF∈FF∈F1n{F···Fc}。1n1n證明（續(xù)）充分性：假設(shè)X的任意具有有限交性質(zhì)的閉集族有非空交，下證X緊致。用反證法。如果X非緊致，則存在開覆蓋O沒有有限子覆蓋?！伞O′X的真子集，因此其余集非空，即∩U∈O′·

c c{U|UO}{U|UO}具有非空交?？战弧！伞さ硪环矫?，∩U∈O

Uc=(∪∪

練習(xí)70(10.).（Wallace定理）ABX,Y的緊子集，WAB在積空間XYAXUBYVUVW．× {×| }證明.積空間X Y有拓?fù)浠鵅=U VU,V分別是X和Y× {×| }∈λΛW= (Uλ×Vλ)bBAA×{bA×{bAB∈λΛW,{UλVλ|λΛ}Ab}的開覆蓋，從而有有限子覆蓋{U1V1,U2V2···,UnVn}．Proof.UbU1U2···Un，VbV1V2···Vn,UbVbA的開鄰域，且?(U1×V1)∪(U2×V2)∪···∪(Un×Vn)?W.UUb1··UUb1···Ubn，VVb1···VbnU,V即為所求．證畢．練習(xí)71(11.).Yπ1:XYX是閉映射。111Aπ?1(π1(A))Ac?π?1(π1(A))cπ?1111Aπ?1(π1(A))Ac?π?1(π1(A))cπ?1(π1(A))cx∈(π1(A))c，則有x}×Y=?1(x)?AcAcx}×Y??x的鄰域U，使得U×Y=π?1U)?Ac，所以U?π1(Ac，從而(π1(Ac是開集。練習(xí)72(12.).T2X的任意多個(gè)緊致子集之交是緊子集．∩證明.AX的一族緊子集，F(xiàn)=∩A∈A

AT2空間的緊子集是閉集，所以F是閉集．?BAFBF是緊子集．練習(xí)73(14.).正則空間中緊子集的閉包是緊致的。證明.X是正則空間，AA?是緊致的。AA?X?aA?UaAaUaa的鄰域a使a∈a??aA???∪aA1,···,k}??k k

a∈A?===使A?1i，于是A??1i?1i．這樣我們找到了A的有限子覆蓋．===練習(xí)74(15.).度量空間緊致當(dāng)且僅當(dāng)任意連續(xù)函數(shù)有界。Proof.緊致度量空間是序列緊致的，因此連續(xù)函數(shù)是有界的。反過(guò)來(lái)，用反證法來(lái)證明：如果任意連續(xù)函數(shù)有界，則該度量空間是緊致的?！?{} ∈ ∈ \{}{}如果X不是緊致的，則也不是序列緊致的，有序列xn，它的任何子列都發(fā)散。不妨設(shè)該序列的各項(xiàng)不相同。記A是該序列的各項(xiàng)組成的集合，則對(duì)任意的x X，必有鄰域不含Ax的點(diǎn)，即x/A′，于是A′=0/，A是閉集，并且作為子空間是離散空間（因?yàn)閷?duì)任意的x A有開鄰域U，使得U A=x，這說(shuō)明單點(diǎn)集是開集。作函數(shù)f:A R為f(xn)=n，則∩ {} ∈ ∈ \{}{}練習(xí)75(16.).設(shè)f:XY是閉映射，并且?yYf?1(y)X的緊致子集，則對(duì)任意子集BYf?1(B)X的緊致子集。bf?1(b)WbVb=f(Wc)cVbb的開鄰域，且f?1(VbWb。Pof.bf?1(b)WbVb=f(Wc)cVbb的開鄰域，且f?1(VbWb。b|b∈B}又是B在Y中的開覆蓋，有有限子覆蓋1,···,bn，則n nf?1(B)?∪f(wàn)?1(Vbi)?∪Wbi.于是f?1(B)U的有限個(gè)成員所覆蓋。

i=1

i=1練習(xí)76(18.).(Xτ)Hausdor?X?，所得的集合記作τX?X?的子集族τ?=τ

∪{?}∪{?K|KX的緊致子集,（1）τ?X?τ?Xτ；（2）XX?中稠密；–（3）X?緊致；（4）XHausdor?X?Hausdor?空間。證明.（1）KXX?\KXKcKc?}KcKX中的余集。U,Vτ?U,VτUVττ?UτVX?\K=ccK∪{}K是X的某個(gè)緊子集或者空子集，則U∩V=U∩(Kc∪{)=U∩Kc∈τ??（因?yàn)镵X的閉集UX?\A，VX?\BABX的緊致子集或者空子集，于是U∩V=(Ac∪{?})∩(Bc∪{?})=(A∪B)c∪{?}=X?\(A∪B)∈τ?.?證明續(xù).AUα|αΛτA?Aτ，因此αUα?α))ττ?A?UαKc{?}，KαXα))αUα=αα

∪(Kc∪{?})=

cKαα

Kαα

∈τ?;αAA1?A2?A1τ，設(shè)為U，A2τ?Kc{?}，KXA的成員之并(UKc{?UcK)c{?}，UcKK的閉子集，所以是緊致的或者空的，從而，(UcK)c{?X?\(UcK)τ?。α證明續(xù).（2）?X?UKc{?}，KX的緊致子集或者空子集，則因?yàn)閄非緊致可知K?=X，即Kc?=/，所以U∩X=Kc∩X?/，因此?∈X?Proof.（3）AX?UA?UUτ?，所以存在KUKc?}。AKKAAA{U}AX?的有限子覆蓋，因此X?是緊致的。（4）如果X還是局部緊致的，下證X?是Hausdor?的。因?yàn)閄是Hausdor?的，所以任意xy∈X，可用τ-鄰域分離，從而可用τ?-鄰域分離。下面只需證明對(duì)任意的x∈X，x與?可用τ?-U=K是x的一個(gè)τ-緊致鄰域，?VKKc{?KKc0。練習(xí)77(19.).RnSn。Proof.由定義可知，同胚空間的一點(diǎn)緊致化是同胚的，我們只需證明Sn\{N}的一點(diǎn)緊致化與Sn()=NSn的北極點(diǎn)。作映射f:Sn\{N()=fx x, x?=?,N,x=?.f是一一對(duì)應(yīng)，且是連續(xù)的開映射，從而是同胚。第60頁(yè)∪ 練習(xí)78(1.).X1X2X的開子集，X1X2X，X1X2X1∪ 都連通。證明.用反證法。如果X1不連通，則可分解為兩個(gè)不相交的非空開集AB之并。因X1X2連通，ABX1X1X2ABX1X2BX2′X2B，則′′練習(xí)79(5.).XT4X是不可數(shù)的。→∈ ? {}{證明.x1x2Xx1x2，則x1,x2Urysohn引理，存在連續(xù)函數(shù)fXR，使得f(x10f(x21Xf連續(xù)，所以f(→∈ ? {}{練習(xí)80(9.).XHausdor?空間，F(xiàn)是一連通閉集族，其任意有限個(gè)成員之交是非空連G∩F∈FF是非空連通的。證明.X緊致，F(xiàn)是具有有限交性質(zhì)的閉集族，因此具有非空交。?Proof.GGABABG的非空不交閉集，從而也是X的非空不交閉集。由于X是Hausdor?的緊致，所以AB也是不交緊致子集，因此分別存U,VUV0。?X0UV)cX0F0FX0|FF}X0的閉集族，并且族，并且∩ ∩ F∈F0F=F∈F(F∩X0)=(F∈FF)∩X0=G∩X0=∩ ∩ ? ∩ ∩ ∩···∩ ∩ ∩···∩ ? ∪ c所以必存在有限個(gè)1,···,n∈F使得1∩0)∩···∩(n∩0)=/（緊致空間的有限交特征(F1 于U或