教輔同步 機(jī)械能守恒定律

第8節(jié)機(jī)械能守恒定律1．動能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能，即1．動能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能，即E＝Ek＋Ep。2．在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變，這叫做機(jī)械能守恒定律。3．機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式為：Ekl＋Epl＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp。4．在只有重力做功時，重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化，二者之和保持不變；在只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功時，彈性勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，二者之和保持不變。5．機(jī)械能守恒的條件：只有重力或彈力做功。一、動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化1．動能與重力勢能間的轉(zhuǎn)化只有重力做功時，若重力做正功，則重力勢能轉(zhuǎn)化為動能；若重力做負(fù)功，則動能轉(zhuǎn)化為重力勢能。2．動能與彈性勢能間的轉(zhuǎn)化只有彈力做功時，若彈力做正功，則彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能；若彈力做負(fù)功，則動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能。3．機(jī)械能動能和勢能(包括重力勢能和彈性勢能)統(tǒng)稱為機(jī)械能，即E＝Ek＋Ep。二、機(jī)械能守恒定律1．推導(dǎo)物體自由下落過程中經(jīng)過A、B兩位置，如圖7-8-1所示。圖7-8-12．內(nèi)容在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。3．守恒條件物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功。4．常用表達(dá)式(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。(2)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk＝－ΔEp。(3)ΔEA＝－ΔEB。1．自主思考——判一判(1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉(zhuǎn)換。(√)(2)物體的機(jī)械能一定是正值。(×)(3)合力為零，物體的機(jī)械能一定守恒。(×)(4)合力做功為零，物體的機(jī)械能一定守恒。(×)(5)只有重力做功，物體的機(jī)械能一定守恒。(√)2．合作探究——議一議(1)毛澤東的詩詞中曾寫到“一代天驕成吉思汗，只識彎弓射大雕”。試分析成吉思汗在彎弓射雕過程中，涉及機(jī)械能中哪些能量之間的轉(zhuǎn)化？圖7-8-2提示：箭被射出過程中，彈性勢能轉(zhuǎn)化為箭的動能；箭上升過程中，動能向重力勢能轉(zhuǎn)化；下落過程中，重力勢能又向動能轉(zhuǎn)化。(2)用細(xì)繩把鐵鎖吊在高處，并把鐵鎖拉到鼻子尖前釋放，保持頭的位置不動，鐵鎖擺回來時，會打到鼻子嗎？試試看，并解釋原因。圖7-8-3提示：不會打到鼻子。聯(lián)想伽利略的理想斜面實(shí)驗(yàn)，若沒有阻力，鐵鎖剛好能回到初位置，遵循機(jī)械能守恒定律。若存在阻力，機(jī)械能損失，鐵鎖速度為零時的高度低于開始下落時的高度，鐵鎖一定不能到達(dá)鼻子的位置。機(jī)械能守恒的判斷1．對機(jī)械能守恒條件的理解(1)從能量轉(zhuǎn)化的角度看，系統(tǒng)內(nèi)只有動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，而沒有其他形式能量(如內(nèi)能)的轉(zhuǎn)化，并且系統(tǒng)與外界沒有任何能量轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。(2)從做功的角度看，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，具體表現(xiàn)如下：①只受重力作用，例如所有做拋體運(yùn)動的物體機(jī)械能守恒。②系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力作用，如圖7-8-4甲、乙、丙所示。圖7-8-4圖甲中，小球在擺動過程中線的拉力不做功，如不計空氣阻力則只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒。圖乙中，各接觸面光滑，A自B上端自由下滑的過程中，只有重力和A、B間的彈力做功，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但對A來說，B對A的彈力做負(fù)功，這個力對A來說是外力，A的機(jī)械能不守恒。圖丙中，不計空氣阻力，球在下落過程中，只有重力和彈力做功，球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。但對球來說，機(jī)械能不守恒，這一點(diǎn)需要特別注意。2．判斷機(jī)械能守恒的方法(1)做功分析法(常用于單個物體)eq\x(\a\al(分析物,體受力))?eq\x(\a\al(明確各力,做功情況))?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(只有重力對,物體做功)),\x(\a\al(或者有其他,力對物體做功，,但W其＝0))))?eq\x(\a\al(物體,機(jī)械,能守,恒))(2)能量分析法(常用于多個物體組成的系統(tǒng))eq\x(\a\al(分析能,量種類))?eq\x(\a\al(只有動能、重力,勢能、彈性勢能))?eq\x(\a\al(系統(tǒng)機(jī)械,能守恒))1．如圖所示，下列四個選項(xiàng)的圖中，木塊均在固定的斜面上運(yùn)動，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的。圖A、B中的F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運(yùn)動，圖C中的木塊向上運(yùn)動。在四個圖所示的運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒的是()解析：選C根據(jù)力的做功情況來判斷機(jī)械能守恒的條件是只有重力(彈力)做功。在圖A、B中木塊受三個力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故機(jī)械能不守恒。圖D中因有摩擦力做功，機(jī)械能亦不可能守恒。只有圖C中除重力做功外，其他力不做功，故機(jī)械能守恒。2．物體在平衡力作用下，下列說法正確的是()A．物體的機(jī)械能一定不變B．物體的機(jī)械能一定增加C．物體的機(jī)械能一定減少D．以上說法都不對解析：選D物體在平衡力的作用下，保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)。如果保持靜止?fàn)顟B(tài)，機(jī)械能不變。如果保持勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，就有多種情況：當(dāng)物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動時，物體的高度和速度都不變，那么它的動能和勢能也不變，所以機(jī)械能不變；當(dāng)物體向上做勻速直線運(yùn)動時，雖然速度不變，動能不變，但物體的位置升高，勢能增加，所以機(jī)械能增加；當(dāng)物體向下做勻速直線運(yùn)動時，雖然速度不變，動能不變，但物體高度降低，勢能減小，所以機(jī)械能減小。一對平衡力做功之和為零，物體動能不變，所以物體在平衡力作用下只能保證速度不變，不能保證高度不變，機(jī)械能可能增加，可能減少，也可能不變。3．如圖7-8-5所示，一輕彈簧固定于O點(diǎn)，另一端系一重物，將重物從與懸點(diǎn)O在同一水平面且彈簧保持原長的A點(diǎn)無初速度地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力。在重物由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中，下列說法正確的是()圖7-8-5A．重物的機(jī)械能守恒B．重物的機(jī)械能增加C．重物的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變D．重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒解析：選D重物由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過程中，彈簧被拉長，彈簧的彈力對重物做了負(fù)功，所以重物的機(jī)械能減少，故選項(xiàng)A、B錯誤；此過程中，由于只有重力和彈簧的彈力做功，所以重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即重物減少的重力勢能，等于重物獲得的動能與彈簧的彈性勢能之和，故選項(xiàng)C錯誤，D正確。機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用1．運(yùn)用機(jī)械能守恒定律的基本思路(1)選取研究對象——物體系統(tǒng)或物體。(2)根據(jù)研究對象所經(jīng)歷的物理過程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒。(3)恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對象初、末狀態(tài)的機(jī)械能。(4)根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程，進(jìn)行求解。2．對幾種表達(dá)式的理解(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。這里應(yīng)注意等式不是指某兩個特別的狀態(tài)，而是過程中的每一狀態(tài)機(jī)械能的總量都是守恒的，但我們解題時往往選擇與題目所述條件或所求結(jié)果相關(guān)的狀態(tài)建立方程式。另外表達(dá)式中Ep是相對的，建立方程時必須選擇合適的參考平面，且每一狀態(tài)的Ep都應(yīng)是對同一參考平面而言的。(2)ΔEk＝－ΔEp，系統(tǒng)動能的增加量等于系統(tǒng)重力勢能的減少量，可以不選擇參考平面。(3)ΔEA＝－ΔEB，將系統(tǒng)分為A、B兩部分，A部分機(jī)械能的增加量等于另一部分B的機(jī)械能的減少量，可以不選擇參考平面。3．機(jī)械能守恒定律和動能定理的比較機(jī)械能守恒定律動能定理表達(dá)式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk物理意義重力或彈力做功的過程是動能與勢能轉(zhuǎn)化的過程合外力對物體做的功是動能變化的量度應(yīng)用范圍只有重力或彈力做功無條件限制關(guān)注角度守恒的條件和初末狀態(tài)機(jī)械能的形式及大小動能的變化及合外力做功情況[典例]如圖7-8-6所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)。已知h＝2m，s＝eq\r(2)m。取重力加速度大小g＝10m/s2。圖7-8-6(1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；(2)若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時速度的水平分量的大小。[審題指導(dǎo)](1)小環(huán)運(yùn)動過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒。(2)小環(huán)在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，說明小環(huán)的運(yùn)動為平拋運(yùn)動。(3)要想求得環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時速度的水平分量的大小，應(yīng)先確定c點(diǎn)速度與水平方向的夾角。[解析](1)小環(huán)在bc段軌道運(yùn)動時，與軌道之間無相互作用力，即小環(huán)在該段以某一初速度vb做平拋運(yùn)動，運(yùn)動軌跡與軌道bc重合，故有s＝vbth＝eq\f(1,2)gt2從ab滑落過程中，小環(huán)機(jī)械能守恒，選b點(diǎn)為參考平面，則有0＋mgR＝eq\f(1,2)mvb2＋0聯(lián)立三式可得R＝eq\f(s2,4h)＝0.25m。(2)小環(huán)在下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，小環(huán)機(jī)械能守恒，再選c點(diǎn)為參考平面，則有0＋mgh＝eq\f(1,2)mvc2＋0因?yàn)樾…h(huán)滑到c點(diǎn)時與豎直方向的夾角等于(1)問中做平拋運(yùn)動過程中經(jīng)過c點(diǎn)時速度與豎直方向的夾角，設(shè)為θ，則根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可知sinθ＝eq\f(vb,\r(vb2＋2gh))根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可得sinθ＝eq\f(v水平,vc)聯(lián)立可得v水平＝eq\f(2\r(10),3)m/s[答案](1)0.25m(2)eq\f(2\r(10),3)m/s機(jī)械能守恒定律表達(dá)式的靈活選取(1)單個物體機(jī)械能守恒的問題，可應(yīng)用表達(dá)式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解。(2)兩個物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的問題，若一個物體的動能、勢能都在增加，另一個物體的動能、勢能都在減小，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若兩個物體的動能都在增加(或減小)，勢能都在減小(或增加)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式ΔEk＝－ΔEp列式求解。1．在同一位置以相同的速率把三個小球分別沿水平、斜向上、斜向下方向拋出，不計空氣阻力，則落在同一水平地面時的速度大小()A．一樣大 B．水平拋的最大C．斜向上拋的最大 D．斜向下拋的最大解析：選A三個小球被拋出后，均僅在重力作用下運(yùn)動，機(jī)械能守恒，以地面為參考平面，設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，并設(shè)小球的質(zhì)量為m，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mv02＋mgh，解得小球的末速度大小為：v＝eq\r(v02＋2gh)，與小球拋出的方向無關(guān)，即三球的末速度大小相等，故選項(xiàng)A正確。2.某同學(xué)身高1.8m，在運(yùn)動會上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過了1.8m高度的橫桿(如圖7-8-7所示)，據(jù)此可估算出他起跳時豎直向上的速度大約為(g取10m/s2)()圖7-8-7A．2m/s B．4m/sC．6m/s D．8m/s解析：選B將該同學(xué)視為做豎直上拋運(yùn)動，整個過程機(jī)械能守恒，取地面為參考平面，最高點(diǎn)速度為零，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2得：eq\f(1,2)mv02＋mgh1＝mgh2，其中h1為起跳時該同學(xué)重心的高度，即h1＝0.9m，代入數(shù)據(jù)得起跳速度v0＝eq\r(2gh2－h(huán)1)＝4.2m/s。3．(全國丙卷)如圖7-8-8，在豎直平面內(nèi)有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2)。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動。圖7-8-8(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動能之比；(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)。解析：(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動能為EkA，由機(jī)械能守恒定律得EkA＝mgeq\f(R,4)①設(shè)小球在B點(diǎn)的動能為EkB，同理有EkB＝mgeq\f(5R,4)②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5。③(2)若小球能沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)，則小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足N≥0④設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝meq\f(vC2,\f(R,2))⑤由④⑤式得，vC應(yīng)滿足mg≤meq\f(2vC2,R)⑥由機(jī)械能守恒定律得mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mvC2⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)。答案：(1)5(2)能沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)物體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒[典例]如圖7-8-9所示，質(zhì)量分別為3kg和5kg的物體A、B，用輕繩連接跨在一個定滑輪兩側(cè)，輕繩正好拉直，且A物體底面與地接觸，B物體距地面0.8m，求：圖7-8-9(1)放開B物體，當(dāng)B物體著地時A物體的速度；(2)B物體著地后A物體還能上升多高？(g取10m/s2)[解析](1)方法一：由E1＝E2。對A、B組成的系統(tǒng)，當(dāng)B下落時系統(tǒng)機(jī)械能守恒，以地面為零勢能參考平面，則mBgh＝mAgh＋eq\f(1,2)(mA＋mB)v2。v＝eq\r(\f(2mB－mAgh,mA＋mB))＝eq\r(\f(2×5－3×10×0.8,3＋5))m/s＝2m/s。方法二：由ΔEk增＝ΔEp減，得mBgh－mAgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，得v＝2m/s。方法三：由ΔEA增＝ΔEB減，得mBgh－eq\f(1,2)mBv2＝mAgh＋eq\f(1,2)mAv2得v＝2m/s。(2)當(dāng)B落地后，A以2m/s的速度豎直上拋，則A上升的高度由機(jī)械能守恒可得mAgh′＝eq\f(1,2)mAvA2，h′＝eq\f(vA2,2g)＝eq\f(22,2×10)m＝0.2m。[答案](1)2m/s(2)0.2m值得關(guān)注的連接體問題中的兩個關(guān)系(1)距離關(guān)系。也就是相互連接的兩物體發(fā)生的位移關(guān)系。當(dāng)一個物體上升另一個物體下降時，上升的豎直距離和下降的豎直距離不一定相等，一定要根據(jù)幾何關(guān)系找出它們之間的距離關(guān)系。(2)速度關(guān)系。也就是兩物體間的速度大小關(guān)系。若是通過輕桿或輕繩連接的連接體，則它們沿著桿或繩子方向上的速度大小相等，根據(jù)這種速度關(guān)系找出它們之間的速度大小關(guān)系；通過輕桿連接的連接體