2023年第二講 牛頓

第第二講牛頓

牛頓-萊布尼茨公式

第五章定積分

牛頓-#167;5-3牛頓-萊布尼茲公式

牛頓-萊布尼茨公式

牛頓Newton,lsaac(1642~1727)

牛頓是他那時代的世界著家、名的物理學(xué)、家數(shù)學(xué)家和天文學(xué)關(guān)于微積分，家.關(guān)于微積分，牛頓總結(jié)了已關(guān)于微積分想，經(jīng)由許多人發(fā)展了的思，想建立熟的方法，起系統(tǒng)和成熟的方法，其最重要的工作是建立了微積分基本定理，指出微分與積分互為逆運(yùn)算恩格斯在論述微積分產(chǎn)生過程時說，時說，微積“是由牛分頓和萊布完成的，尼茨大體上完成的，不是由他但們發(fā)明的”在他寫于們發(fā)明的.在他寫于”在他寫于1671年但直到1736年他死后才出版的書無窮級數(shù)》《流數(shù)法和無窮級數(shù)》中清楚地陳述了微積分的基本問題.陳述了微積分的基本問題

牛頓-萊布尼茨公式

出生于書香門第的萊布尼茨是德國一名尼茨是德國一名博學(xué)多才的學(xué)者.他的學(xué)識涉及哲學(xué)他的學(xué)識涉及哲學(xué)、學(xué)者他的學(xué)識涉及哲學(xué)、歷語言、數(shù)學(xué)、生物、地質(zhì)、史、語言、數(shù)學(xué)、生物、地質(zhì)、物理、機(jī)械、神學(xué)、法學(xué)、物理、機(jī)械、神學(xué)、法學(xué)、外交等領(lǐng)域.并在每個領(lǐng)域中都交等領(lǐng)域并在每個領(lǐng)域中都有杰出的成就.然而然而，有杰出的成就然而，由于他獨(dú)立創(chuàng)建了微積分，獨(dú)立創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計(jì)了非常巧妙而簡潔的微積分符號，分符號，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱號聞名于世.家的稱號聞名于世

萊布尼茨Friedrich,Leibniz(1646~1715)

----博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師

牛頓-萊布尼茨公式

問題的提出變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系如果物體運(yùn)動的速度函數(shù)為v=v(t),那么在時間區(qū)間[a,b]內(nèi)物體的位移s可以用定積分表示為

s=∫av(t)dt.b

另一方面，如果已知該變速直線運(yùn)動的路程函數(shù)為s=s(t),則在時間區(qū)間[a,b]內(nèi)物體的位移為s(b)–s(a),所以又有

∫av(t)dt=s(b)s(a).b

牛頓-萊布尼茨公式

∫av(t)dt=s(b)s(a).b

由于s'(t)=v(t),即s(t)是v(t)的原函數(shù)，這就是說，b定積分∫av(t)dt等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間

[a,b]上的增量s(b)–s(a).

∫

b

a

f(x)dx=F(b)F(a).

牛頓-萊布尼茨公式

微積分的基本公式

牛頓-牛頓-萊布尼茲公式一、變上限的定積分二、牛頓-萊布尼茲公式牛頓-

牛頓-萊布尼茨公式

一、變上限的定積分如果x是區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)，定積分]上任意一點(diǎn)，x∫af(t)dt表示曲線y=f(x)在部分區(qū)間[a,x]上曲邊梯形]AaxC的面積，如圖中陰影部分所示的面積當(dāng)x在的面積，如圖中陰影部分所示的面積.yB區(qū)間[a,b]上變化時]上變化時,y=f()(x)陰影部分的曲邊梯形面CA積也隨之變化，積也隨之變化，所以變Φ(x)上限定積分x∫f(t)dt,的函數(shù).即

是上限變量x的函數(shù)記作Φ(x),x(a≤x≤b).Φ(x)=∫f(t)dtaa

O

a

x

b

x

牛頓-萊布尼茨公式

定理5.1

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，]上連續(xù)，x

則變上限定積分

Φ(x)=∫f(t)dta

在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即

Φ′(x)=∫a

x

′f(t)dt=f(x).

dxΦ'(x)=∫f(t)dt=f(x)dxa

牛頓-萊布尼茨公式

Φ(x)按導(dǎo)數(shù)定義，證按導(dǎo)數(shù)定義，證lim=f(x)即可.x→0x給自變量x以增量x,x+x∈[a,b],Φ(x)的，]由定義得對應(yīng)的函數(shù)Φ(x)的量Φ(x),即，

Φ(x)=Φ(x+x)-Φ(x)=∫x+xa

f(t)dt∫f(t)dta

x

yy=f(x)x

BAC

=∫f(t)dt+∫a

x

x+x

x

f(t)dt∫f(t)dta

=∫

x+x

Φ(x)

Φxx+xbx

x

f(t)dt.Oa

牛頓-萊布尼茨公式

根據(jù)積分中值定理知道，根據(jù)積分中值定理知道，在x與x+x之間至少存在一點(diǎn)ξ,使Φ(x)=

∫

x+x

x

f(t)dt=f(ξ)x

成立.成立又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以，當(dāng)]上連續(xù)，所以，x→0時有ξ→x,f(ξ)→f(x),從而有，,

Φ(x)=limf(ξ)=f(x).Φ′(x)=limx→0ξ→xx故

∫a

x

′f(t)dt=f(x).x

牛頓-萊布尼茨公式

定理5.告訴我們，定理1告訴我們，變上限定積分

Φ(x)=∫f(t)dt是函數(shù)f(x)在區(qū)間a

x

[a,b]上的一個原函數(shù)，這就肯定了]上的一個原函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，所以，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，所以，定理5.1也稱為原函數(shù)存在定理.定理也稱為原函數(shù)存在定理

牛頓-萊布尼茨公式

例1

已知Φ(x)=∫edt,求Φ′(x).t20

x

解

根據(jù)定理1,得，

Φ′(x)=∫

x

0

′t=ex2.edt2

牛頓-萊布尼茨公式

例2已知F(x)=∫xcos(3t+1)dt,求F′(x).解根據(jù)定理1,得，

0

F′(x)=∫cos(3t+1)dt=∫cos(3t+1)dtx00x

′

′

=cos(3x+1).

牛頓-萊布尼茨公式

二、牛頓-萊布尼茲公式牛頓-(微積分基本公式)微積分基本公式)

定理5.2

在區(qū)間[如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，]上連續(xù)，

F(x)是f(x)在區(qū)間[a,b]上任一原函數(shù)，那么]上任一原函數(shù)，

∫

b

a

f(x)dx=F(b)F(a).

牛頓-萊布尼茨公式

證由定理5.1知道(x)