概率論與數(shù)理統(tǒng)計-等可能概型

概率論與數(shù)理統(tǒng)計-等可能概型

考慮最簡單的一類隨機試驗，它們的共同特點是：

樣本空間的元素只有有限個；(有限性)

每個基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）1．等可能概型（古典概型）

我們把這類試驗稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。等可能概型設(shè)Ω={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件兩兩互不相容，所以等可能概型基本事件的概率:若事件A包含k個基本事件，即

例1將一枚硬幣拋擲三次。設(shè)：

事件A1=“恰有一次出現(xiàn)正面”等可能概型隨機事件的概率:則有：解：根據(jù)上一節(jié)的記號，E2的樣本空間

Ω2={HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,THTTTH,TTT},

A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，

A1={HTT,THT,TTH},

等可能概型求P(A1),P(A2)。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，n=8，即Ω2中包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}等可能概型

例2一口袋裝有

6只球，其中

4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只?？紤]兩種取球方式：

放回抽樣

第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

不放回抽樣

第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：

1）取到的兩只都是白球的概率；

2）取到的兩只球顏色相同的概率；

3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

等可能概型返回主目錄

設(shè)A=“

取到的兩只都是白球”，

B=“

取到的兩只球顏色相同”，

C=“

取到的兩只球中至少有一只是白球”。

等可能概型解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。有放回抽取:

無放回抽取:等可能概型

例3將

n

只球隨機的放入N(Nn)

個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個盒子中去,共有而每個盒子中至多放一只球, 共有等可能概型等可能概型該數(shù)學(xué)模型可用于許多實際問題：n(n365)個人在365天的生日,可看成是n個球放入365個盒子中。隨機取n人他們的生日各不相同的概率為因而，n個人中至少有兩人生日相同的概率為

如

“在一個有64人的班級里，至少有兩人生日相同”的概率為99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997經(jīng)計算可得下述結(jié)果：等可能概型

例4設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有

D

件次品，今從中任取

n件，問其中恰有

k

(kD)

件次品的概率是多少?又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有不放回抽樣（超幾何分布模型）1）等可能概型

于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

等可能概型等可能概型超幾何分布在產(chǎn)品檢驗中的應(yīng)用：

一、在N已知時，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個檢驗結(jié)果推斷產(chǎn)品的次品數(shù)？這就是“假設(shè)檢驗問題”。

二、在D已知時，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個檢驗結(jié)果推斷產(chǎn)品的總數(shù)N？這就是統(tǒng)計中的“最大似然估計問題”。2）有放回抽樣（二項分布模型）從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進行排列，可能的排列數(shù)為個，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為。而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

于是所求的概率為：此式即為二項分布的概率公式。等可能概型

例5

袋中有a

只白球，b

只黑球．K

人依次在袋中取一只球，試求第

人取出的球是黑球的概率．

解：設(shè)：A=“第i人取出的球是黑球”等可能概型1）有放回抽樣2）不放回抽樣等可能概型此結(jié)果適用于：抓鬮，買彩票等問題例6

在1~2000的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：設(shè)A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”，B為“取到的整數(shù)能被8整除”，則所求的概率為：為：6，12，18…1998共333個，所以能被6整除的整數(shù)等可能概型AB為“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率為：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，等可能概型

例7將15名新生隨機地平均分配到3個班中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：

(1)每個班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？解：15名新生平均分配到3個班級中去的分法總數(shù)為：等可能概型等可能概型

思考：從20人中取15人隨機地平均分配到3

個班中去，共有多少種分法？答：(1)將3名優(yōu)秀生分配到3個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種。其余12名新生平均分配到3個班級中的分法共有每個班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：等可能概型三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個班級分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率為：等可能概型

例8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

解：假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，等可能概型即千萬分之三。各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為:

人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。等可能概型

例9從1～9這9個數(shù)中有放回地取出n個數(shù)，試求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率．解：A={取出的n個數(shù)的乘積能被10整除}；

B={取出的n個數(shù)至少有一個偶數(shù)}；

C={取出的n個數(shù)至少有一個5}．則A=B∩C等可能概型

例10一部10卷文集，將其按任意順序排放在書架上試求其恰好按先后順序排放的概率．解：設(shè)A={10卷文集按先后順序排放}等可能概型

例11同時擲5顆骰子，試求下列事件的概率：A={5顆骰子不同點}；

B={5顆骰子恰有2顆同點}；

C={5顆骰子中有2顆同點，另外3顆同是另一個點數(shù)}．等可能概型例11（續(xù)）等可能概型作業(yè)：二幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個等可能結(jié)果的隨機試驗。首先看下面的例子。

例1(會面問題）甲、乙二人約定在12點到5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。幾何概型解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果。由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)幾何概型二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1幾何概型

一般，設(shè)某個區(qū)域D(線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測度mD(長度，面積，體積)。如果隨機實驗

E

相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點，且取到每一點都是等可能的，則稱此類試驗為幾何概型。幾何概型

如果試驗

E

是向區(qū)域內(nèi)任意取點，事件A

對應(yīng)于點落在

D內(nèi)的某區(qū)域

A，則

例2(蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是a(a>0)

。向平面任意投一長為l(l<a)

的針，試求針與一條平行線相交的概率。lMx解：設(shè)x是針的中點M到最近的平行線的距離，是針與此平行線的交角，投針問題就相當(dāng)于向平面區(qū)域D

取點的幾何概型。M幾何概型xDA0幾何概型

思考題

1)某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不超過10分鐘的概率。(1/6)2)在線段AD上任意取兩個點B、C，在B、C處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。(1/4)3)甲、乙兩船?？客淮a頭，各自獨立地到達，且每艘船在一晝夜間到達是等可能的。若甲船需停泊1小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船。試求其中一艘船