2009屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-函數(shù)

函數(shù)的分析式、定義域及其函數(shù)的性質(zhì)小結(jié)函數(shù)是高考取的“大戶”，求解函數(shù)的定義域與分析式是函數(shù)題型中最常有的題型之一，而函數(shù)的性質(zhì)不單對于整個函數(shù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，并且仍是解決高考取函數(shù)問題所一定的工具?，F(xiàn)將函數(shù)的分析式、定義域以及函數(shù)的性質(zhì)做一小結(jié)。以供各位學(xué)子復(fù)習(xí)參照。一、函數(shù)的分析式:把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式就叫函數(shù)的分析式，簡稱分析式。『綜合例證』1、換元法：11例1、求出函數(shù)f（x）的分析式：f(1)1x2x2（1）解：令1+1/x=tf(t)(t1)2t2t1即：(x1)6例2、已知f(4x+1)=4x，求f(x)16x21解：設(shè)t=4x+12、配變量法：1)1例3、求出函數(shù)的分析式：f(xx2解：xx2用x代替式中的又考慮到f(x)x22(x2)３、待定系數(shù)法：例4、已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]=4x－1，求f(x)的分析式。解：設(shè)f(x)=kx+b則f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1４、解函數(shù)方程組法：例5、已知3f(x)2f(1)解：由1x５、代入法：2f(x)13f()例6、設(shè)函數(shù)xf(x)xx求C2對應(yīng)的函數(shù)g(x)

x(x，求f(x)0)解得f(x)3x2(x0)155xxC1，C1對于點A(2,1)對稱的圖象為C2，的圖象為的表達(dá)式。解：設(shè)yg(x)圖象上任一點(x,y)，則對于A(2,1)對稱點為(4x,2y)在yf(x)上，即：即：故：(x4)二、函數(shù)定義域的種類和求法下文介紹函數(shù)定義域的種類和求法，目的在于使學(xué)生全面認(rèn)識定義域，深刻理解定義域，正確求函數(shù)的定義域。現(xiàn)舉例說明。1、慣例型即給出函數(shù)的分析式的定義域求法，其解法是由分析式存心義列出對于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。x22x15y3|8例1求函數(shù)|x的定義域。x22x150①解：要使函數(shù)存心義，則一定知足|x3|80②由①解得x3或x5。③由②解得x5或x11④③和④求交集得x3且x11或x>5。故所求函數(shù)的定義域為{x|x3且x11}{x|x5}y1sinx2例2求函數(shù)16x的定義域。sinx0①解：要使函數(shù)存心義，則一定知足16x20②由①解得2kx2k，kZ③由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4x或0x故函數(shù)的定義域為(4，](0，]評注：③和④如何求公共部分？你會嗎？2、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出分析式的函數(shù)，不可以慣例方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的分析式，一般有兩種狀況。（1）已知f(x)的定義域，求f[g(x)]的定義域。其解法是：已知f(x)的定義域是［a，b］求f[g(x)]的定義域是解ag(x)b，即為所求的定義域。例3已知f(x)的定義域為［－2，2］，求f(x21)的定義域。解：令2x212，得1x23，即0x23，所以0|x|3，進(jìn)而3x3，故函數(shù)的定義域是{x|3x3}。（2）已知f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知f[g(x)]的定義域是［a，b］，求f(x)定義域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4已知f(2x1)的定義域為［1，2］，求f(x)的定義域。解：由于1x2，22x4，32x15。即函數(shù)f(x)的定義域是{x|3x5}。3、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求分析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數(shù)的范圍問題往常是轉(zhuǎn)變?yōu)楹憬栴}來解決。例5已知函數(shù)ymx26mxm8的定義域為R務(wù)實數(shù)m的取值范圍。剖析：函數(shù)的定義域為R，表示mx26mx8m0，使全部x∈R都建立，由x2項的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或m0進(jìn)行議論。解：當(dāng)m=0時，函數(shù)的定義域為R；當(dāng)m0時，mx26mxm80是二次不等式，其對一確實數(shù)x都建立的充要條件是綜上可知0m1。評注：許多學(xué)生簡單忽視m=0的狀況，希望經(jīng)過此例解決問題。f(x)kx74kx3的定義域是R，務(wù)實數(shù)k的取值范圍。例6已知函數(shù)kx2解：要使函數(shù)存心義，則一定kx24kx3≠0恒建立，由于f(x)的定義域為R，即kx24kx30無實數(shù)16k20k3①當(dāng)k≠0時，43k0恒建立，解得4；②當(dāng)k=0時，方程左側(cè)=3≠0恒建立。0k34。綜上k的取值范圍是4、實質(zhì)問題型這里函數(shù)的定義域除知足分析式外，還要注意問題的實質(zhì)意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y對于一邊長x的函數(shù)的分析式，并求函數(shù)的定義域。1(a2x)解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長為2于是可得矩形面積。yx1(a2x)1axx2x21ax222。x001xa2x)0a2x0(a0x由問題的實質(zhì)意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)知足22。yx21ax0，a故所求函數(shù)的分析式為2，定義域為（2）。例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓構(gòu)成的圖形的面積，如圖。LABCDL2xx由于CD=AB=2x，所以CDx，所以AD22，y2xL2xxx2(2)x2Lx故2222x0LL2xx0x220依據(jù)實質(zhì)問題的意義知y(2)x2LxL2）。故函數(shù)的分析式為2，定義域（0，5、參數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時，一定對分母分類議論。例9已知f(x)的定義域為［0，1］，求函數(shù)F(x)f(xa)f(xa)的定義域。解：由于f(x)的定義域為［0，1］，即0x1。故函數(shù)F(x)的定義域為以下不等式組的解集：0xa1ax1a0xa1，即ax1a即兩個區(qū)間［－a，1－a］與［a，1+a］的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知10（1）當(dāng)aax1a}；2時，F(xiàn)（x）的定義域為{x|01ax1a}；（2）當(dāng)2時，F(xiàn)（x）的定義域為{x|aa11a2時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時（3）當(dāng)2或F（x）不可以構(gòu)成函數(shù)。6、隱含型有些問題從表面上看其實不求定義域，可是不注意定義域，常常致使錯解，事實上定義域隱含在問題中，比如函數(shù)的單一區(qū)間是其定義域的子集。所以，求函數(shù)的單一區(qū)間，一定先求定義域。例10求函數(shù)ylog2(x22x3)的單一區(qū)間。解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函數(shù)y的定義域為（－1，3）。函數(shù)ylog2(x22x3)是由函數(shù)ylog2t，tx22x3復(fù)合而成的。tx22x3(x1)24，對稱軸x=1，由二次函數(shù)的單一性，可知t在區(qū)間(，1]上是增函數(shù)；在區(qū)間[1，)上是減函數(shù)，而ylog2t在其定義域上單一增；(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函數(shù)ylog2(x22x3)在區(qū)間(1，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，3)上是減函數(shù)。三、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單一性⑴單一性的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的隨意兩個自變量值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D我們稱為函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間；假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的隨意兩個自變量值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，區(qū)間D我們稱為函數(shù)f(x)的單一減區(qū)間。⑵單一函數(shù)與嚴(yán)格單一函數(shù)設(shè)f(x)為定義在I上的函數(shù)，若對任何x1,x2I，當(dāng)x1x2時，總有f(1)f(x2)，則稱f(x)為I上的增函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)(ⅰ)x建即刻稱f(x)為I上的嚴(yán)格單一遞加函數(shù)。f(1)f(x2)，則稱f(x)為I上的減函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)(ⅱ)x建即刻稱f(x)為I上的嚴(yán)格單一遞減函數(shù)。⑶函數(shù)單一的充要條件★若f(x)為區(qū)間I上的單一遞加函數(shù)，x1、x2為區(qū)間內(nèi)兩隨意值，那么有：f(x1)f(x2)0x1x2)[f()f()]0x1x2（或x1x2★若f(x)為區(qū)間I上的單一遞減函數(shù)，x1、x2為區(qū)間內(nèi)兩隨意值，那么有：f(x1)f(x2)0x1x1x2（或⑷函數(shù)單一性的判斷(證明)⑸復(fù)合函數(shù)的單一性的判斷

x2)[f(x1)f(x2)]0①作差法(定義法)②作商法對于函數(shù)yf(u)和ug(x)，假如函數(shù)ug(x)在區(qū)間(a,b)上擁有單一性，當(dāng)xa,b時um,n，且函數(shù)yf(u)在區(qū)間(m,n)上也擁有單一性，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))在區(qū)間a,b擁有單一性。⑹由單一函數(shù)的四則運(yùn)算所獲得的函數(shù)的單一性的判斷對于兩個單一函數(shù)f(x)和g(x)，若它們的定義域分別為I和J，且IJ：A.當(dāng)f(x)和g(x)擁有同樣的增減性時，函數(shù)F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增減性與f(x)(或g(x))同樣，F(xiàn)3(x)f(x)F4(x)f(x)(g(x)0)g(x)、g(x)的增減性不可以確立；B.當(dāng)f(x)和g(x)擁有相異的增減性時，我們假定f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么：①F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增減性不可以確立；F3(x)f(x)g(x)F4(x)f(x)(g(x)0)F5(x)g(x)(f(x)0)②、g(x)為增函數(shù)，f(x)為減函數(shù)。2、函數(shù)的奇偶性⑴奇偶性的定義假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個x，都有f(x)f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個x，都有f(x)f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。⑵奇偶性的幾何意義擁有奇偶性的函數(shù)的定義域?qū)τ谠c對稱，奇函數(shù)的圖像對于原點對稱，偶函數(shù)的圖像對于軸對稱。⑶函數(shù)奇偶性的判斷(證明)A比較f(x)與f(x)的關(guān)系；f(x)Bf(x)（f(x)0）與1的關(guān)系；Cf(x)f(x)與0的關(guān)系⑷由擁有奇偶性的函數(shù)的四則運(yùn)算所獲得的函數(shù)的奇偶性的判斷對于兩個擁有奇偶性的函數(shù)f(x)和g(x)，若它們的定義域分別為I和J，且IJ：當(dāng)f(x)和g(x)擁有同樣的奇偶性時，假定為奇函數(shù)，那么：①函數(shù)F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)也為奇函數(shù)；F2(x)f(x)g(x)F4(x)f(x)(g(x)0)②、g(x)為偶函數(shù)；當(dāng)f(x)和g(x)擁有相異的奇偶性時，那么：①F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)的奇偶性不可以確立；F(x)f(x)(g(x)0)F(x)g(x)(f(x)0)F2(x)f(x)g(x)4g(x)5f(x)②、、為奇函數(shù)。3、函數(shù)的對稱性A.函數(shù)自對稱（1）對于y軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）的充要條件是f(x)f(x)（2）對于原點0,0對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）的充要條件是f(x)f(x)0（3）對于直線yx對稱的函數(shù)的充要條件是f1(x)f(x)兩個函數(shù)的圖象對稱性（1）yf(x)與yf(x)對于x軸對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若知足f(x)g(x)，即它們對于y0對稱。（2）yf(x)與yf(x)對于y軸對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若知足f(x)g(x)，即它們對于x0對稱。（3）yf(x)與yf(2ax)對于直線xa對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若知足f(x)g(2ax)，即它們對于xa對稱。（4）yf(x)與y2af(x)對于直線ya對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若知足f(x)g(x)2a，即它們對于ya對稱。（5）yf(x)與y2bf(2ax)對于點a,b對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若知足f(x)g(2ax)2b，即它們對于點a,b對稱。xab（6）yf(ax)與y2(xb)對于直線對稱。（7）yf(x)與yf1(x)對于直線yx對稱。4、函數(shù)的周期性⑴周期性的定義對于函數(shù)yf(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使適當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)都建立，那么就把函數(shù)yf(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。假如全部的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。假如非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，那么T、nT（nN*）也是函數(shù)f(x)的周期。⑵函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：假如f(xa)f(xb)（ab），那么f(x)是周期函數(shù)，此中一個周期Tab結(jié)論2：假如f(xa)f(xb)（ab），那么f(x)是周期函數(shù)，此中一個周期T2ab結(jié)論3：假如定義在R上的函數(shù)f(x)有兩條對稱軸xa、xb對稱，那么f(x)是周期T2ab函數(shù)，此中一個周期結(jié)論4：假如偶函數(shù)f(x)的圖像對于直線xa（a0）對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，此中一個周期T2a結(jié)論5：假如奇函數(shù)f(x)的圖像對于直線xa（a0）