橡膠配方設(shè)計中的數(shù)學(xué)方法

第三章配方設(shè)計中的數(shù)學(xué)方法1隨機(jī)變量及其分布什么是隨機(jī)變量，來看個例子：有一批產(chǎn)品共1000個，每個產(chǎn)品按質(zhì)量可分為一等、二等和次品，分別用“1”“2”和“0”表示，那么我們說這1000個減速器的等級構(gòu)成一個母體（也叫總體）每個產(chǎn)品的等級是個體。其中“1”是721個，“2”是213個，“0”是66個。從母體中隨意取得的一個個體，叫隨機(jī)變量，記為X。那么上例中，隨機(jī)變量的概率分布列是：x120p721/1000213/100066/1000從這個分布列可看出，隨機(jī)變量X的概率分布與母體分布是相同的。以后把母體分布就稱為是相應(yīng)隨機(jī)變量X的概率分布。P用分布列、分布密度、分布函數(shù)具體表示母體分布的數(shù)字特征指的是相應(yīng)隨機(jī)變量的數(shù)字特征。實際中，我們不可能對所有的母體元素都進(jìn)行統(tǒng)計，因此只能進(jìn)行隨機(jī)抽樣檢查或分析。就是說從母體取得一部分的個體，這部分個體叫子樣。隨機(jī)抽取子樣有兩種方法。一種是重復(fù)抽樣，取一樣品后又放回，這種抽法則每一個隨機(jī)變量都是獨立同分布，且與母體分布相同；另一種情況是取一樣品不放回，如母體無限，隨機(jī)變量仍是獨立同分布，如母體有限，就并非如此。如子樣容量為n，相對于母體容量N很?。簄/N≤0.1如隨機(jī)子樣用X(X1，X2，…，Xn)表示，近似可看成獨立同分布。同分布即指每一個隨機(jī)變量分布都是母體分布，與母體分布相同。因此我們可通過研究子樣的一些特點來推測或推導(dǎo)出母體函數(shù)分布的特征，以便于理解。2.子樣分布

類似于母體分布，有三種形式：頻數(shù)分布和頻率分布，經(jīng)驗分布函數(shù)和直方圖。2.1.子樣頻數(shù)和頻率分布：例：從橡膠車間取7種規(guī)格產(chǎn)品，檢查每種規(guī)格的次品數(shù)得到子樣(0，3，2，1，1，0，1)。把7個數(shù)從小到大依次排列，相同的數(shù)合并，得到下列頻數(shù)表：上表稱為子樣頻數(shù)分布。那么頻率分布可用下表給出：X0123頻數(shù)2/73/71/71/7X0123頻數(shù)23112.2經(jīng)驗分布函數(shù)Rn*(x)

定義：對任意實數(shù)x，子樣值中小于或等于x的個數(shù)記為m(x)，Rn*(x)＝m(x)/n（n為子樣容量），那么上例的經(jīng)驗分布函數(shù)表達(dá)式是：

0，當(dāng)x＜02/7，當(dāng)0≤x＜1R7*(x)＝5/7，當(dāng)1≤x＜26/7，當(dāng)2≤x＜31，當(dāng)x≥3

因此，Rn*(x)可表示n次試驗事件｛X≤x｝發(fā)生的概率，它與分布函數(shù)具有相同的性質(zhì)：非降性，右連續(xù)。Rn*(-∞)＝0Rn*(∞)＝1

那么Rn*(x)與我們所關(guān)心的母體函數(shù)分布F(x)有何關(guān)系呢？按W.Glivenko定理，當(dāng)n值很大時，Rn*(x)近似于F(x)，所以我們可以用Rn*

(x)來近似理解F(x)的性質(zhì)。2.3直方圖

進(jìn)行N次獨立實驗，事件A發(fā)生的次數(shù)≥0且≤N，母體的數(shù)量指標(biāo)是離散量。前面所說的兩種方法都適合于離散型隨機(jī)變量的表達(dá)。對于連續(xù)量，可用分布密度來表示。相應(yīng)的子樣“密度”需用直方圖來表示。在母體分布密度圖中，用曲邊梯形面積來表示此區(qū)間的分布幾率，同樣在直方圖中，用子樣在直方圖中一個區(qū)間的面積代表此區(qū)間上的頻率。舉例

測200個圓柱狀橡膠件的直徑，最小13.09，最大13.69?，F(xiàn)把它們分成12個組，組距為0.05列表如下：各組范圍組中值頻數(shù)頻率直方圖縱坐標(biāo)13.095～13.14513.1220.0100.213.145～13.19513.1710.0050.1……13.395～13.44513.42370.1853.7……13.645～13.69514.6720.0100.2為了使面積等于組頻率，則縱坐標(biāo)＝頻率/組距若n愈大，直方圖越接近于子樣分布密度函數(shù)f(x)的圖像。那么分布密度f(x)的性質(zhì)：f(x)≥0P｛a≤x≤b｝=對開區(qū)間成立，或左閉右開，或左開右閉。子樣的重要數(shù)字特征子樣平均數(shù)：子樣方差：作業(yè)：從母體中抽得容量為50的子樣，其頻數(shù)分布為X25710mi1612814計算x和s2。3.正態(tài)分布（高斯分布）的分布密度概率中其中σ

＞0，正態(tài)分布記為N(u，σ

2)。舉例：如u=0，

σ

＝1，f(x)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0，1)，其圖像為過0軸，其分布函數(shù)記為Φ(x)，數(shù)值可查表。正態(tài)分布性質(zhì)有頂峰。有對稱軸。x或x時y

區(qū)間上的部分占總面積的68.3％區(qū)間上的部分占總面積的99.5％區(qū)間上的部分占總面積的99.7％證明可用積分計算，也可查表驗證。

從上面的解釋中我們可了解到，對一個隨機(jī)變量來說，分布函數(shù)F(x)才是它最完善的描述。但在實際情況下，我們并不需要知道全部的概率性質(zhì)，只需要知道這個隨機(jī)變量x的幾個特征數(shù)字，能反映該變量的變化值的集中位置和離散度就夠了。其中最常用的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。4.數(shù)學(xué)期望和方差

4.1數(shù)學(xué)期望E(X)

表示的是隨機(jī)變量在數(shù)軸取值的集中位置，它說明隨機(jī)變量x的值大多出現(xiàn)在哪里，可以說E(X)是隨機(jī)變量的平均值，但這一平均值概念與算術(shù)平均值概念不同。離散型隨機(jī)變量的E(X)連續(xù)型用分布密度f(x)代表E(X)xX(1)，X(2)，…pP1，p2，…4.2方差

用來衡量隨機(jī)變量對E(X)的離散程度。

DX=E〔X-E(X)〕2隨機(jī)變量與E(X)之差的平方的數(shù)學(xué)期望。

DX=E(X2)-〔E(X)〕2

離散型：

連續(xù)型：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=C，其中C為常數(shù)。E(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣X、Y相互獨立，E(XY)=E(X)E(Y)方差性質(zhì)D(C)=0D(CX)=C2D(X)若X、Y相互獨立，D(X+Y)=D(X)+D(Y)推廣

前面介紹了數(shù)學(xué)期望和方差的概念及性質(zhì)，我們來看一下，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望是什么？令，得E(X)=u

同樣可算出D(X)=σ

2

那么對于f(x)，只要知道u，σ

2，即E(X)和D(X)，就可以畫出其曲線。正態(tài)分布表示為，往往需要對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。如令，則隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表示為，N(0，1)。大家可計算E(Y)=0，D(Y)=1。如5.三種重要抽樣分布

三種重要抽樣分布——分布，t分布，F(xiàn)分布。它們在作統(tǒng)計判斷時經(jīng)常使用。先來看一下正態(tài)母體的子樣平均數(shù)。

5.1正態(tài)母體中的的分布：設(shè)x1，x2，…，xn是獨立同分布隨機(jī)變量，且每個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則平均數(shù)是否服從？

大家可以用前面所學(xué)的計算一下：5.2分布

設(shè)x1，x2，…，xn是獨立同分布隨機(jī)變量，且每個隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，則隨機(jī)變量的分布密度是，x＞00，x≤0

是伽瑪函數(shù)在處的值。這種分布稱為自由度為n的分布，記為。性質(zhì)

設(shè)兩個變量和相互獨立。的自由度為n1，的自由度為n2。則是自由度為n1＋

n2的變量，那么定義中的是，自由度為1＋1＝2，總共為n。補(bǔ)充：自由度簡單說就是試驗觀測個數(shù)減去加在上面的約束條件。如：子樣方差只有一個約束條件，自由度為n-1。那么分布的密度圖象是

可以看出n取不同值時有不同圖像，若對于給定α(0＜α＜1）

存在使。則稱為的上側(cè)分位數(shù)。以后在參數(shù)估計和假設(shè)檢驗中常用到。nα=0.9950.990.975…0.75120.0100.0200.0510.575…4550.98557.50561.656…73.166從橫排看，α取值越大，越小。從縱排看，n越大，越大但是當(dāng)n＞45時，值從表中查不到。如何解決這一問題？先看一條性質(zhì)。由中心極限定理，當(dāng)時，也就是說性質(zhì)：設(shè)隨機(jī)變量x服從自由度為n的分布，則對任意x有此性質(zhì)證明當(dāng)n很大時，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即自由度n很大的分布近似于正態(tài)分布N(n,2n)。再看當(dāng)n＞45時如何計算?

按上側(cè)分位數(shù)定義，因而，令若Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，對于任意給定的α，式中的可以查表得到。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。則例：要求，由α＝0.05，查＝1.645

則5.3t分布

設(shè)隨機(jī)變量x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，隨機(jī)變量Y服從自由度為n的分布，且X與Y相互獨立，則的分布密度為

這種分布稱為自由度為n的t分布。記為t(n)

分布的密度圖象為

令tα(n)為t分布的上側(cè)分位數(shù)。從圖中可以看出當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此n＜45的tα(n)可查表，n>45時可查正態(tài)分布的值。tα(n)5.4F分布

設(shè)X和Y分別服從自由度為n1，n2的分布，且與X與Y相互獨立，則，分布密度為

0，z≤0

這種分布叫第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記為F(n1，n2)。其分布密度圖象：有一重要性質(zhì)：F服從F(n1，n2)時，則服從F(n2，n1)參數(shù)估計

我們進(jìn)行一批實驗，得到一些實驗結(jié)果（數(shù)據(jù)）。如測一物體長度其得到五個值。假定測定長度服從正態(tài)分布很容易我們會想到用實測值的和s2來做為參數(shù)值u和σ2的估計值。估計方法有矩法估計、點估計、最大似然估計等等。這里不做逐一介紹，我們所關(guān)心的是我們所估計的值與這些參數(shù)到底相差多少，即檢驗它們的無偏性，先來下個定義：若參數(shù)θ的估計量滿足，則稱是θ的無偏估計量。而對于上例，和s2是否是u和σ2的無偏估計？因此s2不是σ2的無偏估計按E(X)性質(zhì)

σ2無偏估計，記為s*2Es*2=σ2，這里可看到，當(dāng)n很大時，s*2=s2

前面我們所說的估計可以說是點的估計，而數(shù)理統(tǒng)計中的未知參數(shù)往往需要依靠一定的概率在一定范圍內(nèi)進(jìn)行估計，這即是區(qū)間估計，例：已知某橡膠試片的300％定伸強(qiáng)度在正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.108，現(xiàn)測五個試片，其300％定伸是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（MPa),試以概率95％對母體平均u作區(qū)間估計。

解：母體X的分布為正態(tài)，已知（已知）從母體中隨機(jī)抽樣得子樣(X1，X2，…，Xn)，要求以概率1－α對母體平均u作區(qū)間估計。自然我們用來估計u(因為是其無偏估計）標(biāo)準(zhǔn)化給定概率1－α(0＜α＜1)存在使則稱為u的置信區(qū)間。對此題來講，＝0.108，n=5,=4.3641-α=0.95，查表＝1.96，代入后P｛4.269＜u＜4.459｝＝0.95置信區(qū)間（4.269，4.459），置信概率0.95就是落在（4.269，4.459）區(qū)間上的概率是0.95三.假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗對于今后要介紹的方差分析、回歸分析相當(dāng)重要。假設(shè)檢驗是小概率事件，小概率本身是不應(yīng)發(fā)生或發(fā)生概率較小，如在假設(shè)情況下小概率發(fā)生，則假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗可分為兩類：參數(shù)假設(shè)檢驗（即母體的數(shù)字特征作假設(shè)，再從母體中取得子樣檢驗此假設(shè)是否成立）。分布假設(shè)檢驗。舉例

某膠鞋廠檢驗鞋底，每只鞋底標(biāo)準(zhǔn)重量為500g，按以前生產(chǎn)經(jīng)驗標(biāo)準(zhǔn)差σ為10g，每隔一定時間需要檢查設(shè)備工作情況，現(xiàn)取10雙，稱得其重量為（g):495，510，505，498，503，492，502，512，497，506

假定重量服從正態(tài)分布，試問這段時間設(shè)備工作是否正常？解：鞋底重量是一個正態(tài)母體，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝10，可假設(shè)母體平均數(shù)為500，如＜k(確定常數(shù))，則設(shè)備工作正常，否則不正常。假設(shè)H0：u=500給定小概率α(5％，1％或10％)有

若α＝0.05，則＝1.96

例中＝502，則2＜6.2，說明小概率事件沒有發(fā)生，假設(shè)成立，即可以認(rèn)為這段時間平均重量仍為500g。

這個例子中σ是已知的，若σ未知，應(yīng)將σ換為s*。則上式可換為，經(jīng)證明T~t(n-1)?？刹楸淼蒙蟼?cè)分位數(shù)的值，使從一次抽樣的所得子樣值計算出s*和的數(shù)值。若則拒絕H0，反之則接受，這種方法叫t檢驗。四方差分析

在實驗中，影響性能因素復(fù)雜，我們往往需要知道哪些因素是主要的。如C.B和S用量都會對膠料性能有影響，哪個是主要的，我們把這主要的因素就叫它對性能的影響是顯著的，這一章將重點介紹方差分析。舉例：實驗中做耐油制品，測耐油時間，四種配方設(shè)計。取若干個作壽命試驗，得如下數(shù)據(jù)（單位：小時）耐油性A11600，1610，1650，1680，1700，1720，1800A21580，1640，1640，1700，1750A31460，1550，1600，1620，1640，1660，1740，1820A41570，1520，1530，1570，1600，1680每種配方構(gòu)成

題意：共四個母體，從母體中分別取一子樣，容量不等，本題考察配方方案對耐油壽命有無顯著影響，即檢驗四個母體平均數(shù)是否相等。如相等，即無顯著影響?，F(xiàn)從這個例子抽象出一般數(shù)學(xué)模型。設(shè)r個正態(tài)母體Xi,i＝1，2，…，r。Xi的分布為這里r個母體方差相等，在r個母體上作假設(shè)H0：u1=u2=…=ur?，F(xiàn)獨立從各母體中取出一個子樣，列成下表：

題的目的：用r個子樣，檢驗上述假設(shè)是否成立。

母體子樣子樣平均x1x11，x22，…，x1nx2x21，x22，…，x2n………xrxr1，xr2，…，xr3

本題是σ相等且已知，可用F檢驗法。檢驗任兩母體平均數(shù)相等就可，但要做r-1次很繁，用離差分解法。組內(nèi)平均：總平均：總離差平方和為：iii經(jīng)分解得等式右邊部分的前一半是QE，后一半是QA。QE表示組內(nèi)離差平方和，QA表示組間離差平方和。計算其中δi=ui-u，i=1，2，…，r

是相互獨立用F分布定義令，為組內(nèi)均方離差為組間均方離差

一次抽樣若F≥F(r-1，n-r)，說明小概率事件發(fā)生，拒絕H0。即認(rèn)為有顯著影響。如F≤F(r-1，n-r)，則接受H0，無顯著影響。計算F的方差分析表來源離差平方和自由度均方離差F值組間r-1組內(nèi)n-r總和n-1ii作業(yè)：對上例，給定α＝0.05＝5％，問是否有顯著影響？F0.05(3，22)＝3.05F0.05(4，20)=2.87F0.05(3，20)=3.49

在這個例子中，假定σ

02是已知的，實際情況中，母體方差并不知道，檢驗?zāi)阁w平均數(shù)。假定母體X～N（u，σ

2)，σ

2未知，在母體上作假設(shè)H0：u=u0(u0已知），上例的u0＝500可用t檢驗。給定α查表值。

若成立則拒絕H0

若不成立則接受H0

還有其它檢驗?zāi)阁w平均數(shù)的方法，比如u檢驗等等。這里就不逐一介紹了。而檢驗?zāi)阁w方差用檢驗。假設(shè)H0

：σ0＝σ02(σ02已知)

還可對分布進(jìn)行假設(shè)檢驗，這里也不介紹了。五實驗數(shù)據(jù)的回歸分析

對于R實驗來講，我們希望通過回歸分析使得到的一批數(shù)據(jù)能較好地擬合出性能與各影響因子間的經(jīng)驗數(shù)學(xué)模型，這就需要用回歸的方法。

5.1多項式回歸只要取得一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，就可以擬合成一個較逼近實驗曲線的多項式函數(shù)。這種方法對回歸方程類型不易判斷的情形很實用

對于一次多項式將通過兩點，二次多項式將通過三點等。對于C.B用量對硬度的影響，有10個點，可用一個唯一的一個9次多項式擬合。一般來說，我們采取連續(xù)最小二乘法去擬合次數(shù)為1，2，3，…的多項式，直到找出一個適當(dāng)次數(shù)的多項式為止，當(dāng)然，我們總希望其次數(shù)少一些，如2次3次就可得到好的擬合效果，就不必再進(jìn)行高次的了。先來了解一下最小二乘法的多項式回歸方程。最小二乘多項式回歸

給定一組數(shù)(xi，yi)i=1，2，…，n這是一元函數(shù)關(guān)系，先假定x和y之間是線性關(guān)系，即是一次的。定義為Y=α+βX+ε，其中ε～N(0，σ2)分布

在X固定的情況下，計算E(Y)，則E(Y)＝α+βX(1)(1)式是我們希望得到的函數(shù)關(guān)系式，這種情況是ε＝0，但ε不一定為0。計算及實驗時，我們說ε達(dá)最小時得到的

其中和不是α和β真值，而是估計值,因此我們的任務(wù)就是要計算出和。

具體計算：作離差平方和使Q最小，即

ε2最小，來計算和?？闪頠分別對和求偏導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)為0。經(jīng)變形令或

代入原式則擬合的方程就得到了，叫經(jīng)驗回歸方程如果x，y不是線性關(guān)系，需進(jìn)行二次多項式回歸。一般來講理論上所以再繼續(xù)進(jìn)行高次回歸時，經(jīng)驗上有個標(biāo)準(zhǔn)，即

終止次數(shù)一般k≤8。5.2一元線性回歸

模型：與一次多項式回歸是相同的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)說明兩變量之間的相關(guān)程度，通常用由上式可知，0≤|r|≤1，可分3種情況來說明：1.，X與Y無線性關(guān)系；2.0＜|r|＜1,大多數(shù)情況，X與Y存在一定的相關(guān)性，r＞0，，是正相關(guān)，y隨x單調(diào)增加，r＜0則是負(fù)相關(guān)，|r|越小，數(shù)據(jù)點越分散；3.|r|=1，所有點都在回歸直線上。x，y存在確定的線性關(guān)系。查相關(guān)系數(shù)表。與了樣容量n及置信度有關(guān)。

當(dāng)n=10，α＝0.05時則|r|＞0.632，說明在0.95的水平上，相關(guān)或說顯著。

|r|＞0.765，在0.99水平上顯著。

n-20.050.0112…8n0.9970.950…0.632…1.000.990…0.765…相關(guān)系數(shù)與子樣容量和置信度（α）有關(guān)5.4一元非線線性回歸

若實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)，畫點圖，如不是線性的，這就要先把它配上相應(yīng)的曲線，再通過線性化按線性回歸的方法計算出它們的系數(shù)。

通常選取的曲線有6種類型：1.雙曲線2.冪函數(shù)曲線，其中x＞0，a＞03.指數(shù)曲線，其中a＞04.倒指數(shù)曲線，其中a＞05.對數(shù)曲線6.S型曲線舉例：流變學(xué)中，混煉膠流動曲線為(b＞1)此式不過原點的冪函數(shù)方程，令先求出c值，利用拉格朗日差值法·

·

·

·

·

求出c后，將原式線性化，令，得，再用一元線性回歸求出a，b。a和b確定后，牛頓流動指數(shù)n5.5多元線性回歸

實驗中影響性能因素常常不只是一個，則需要進(jìn)行多元線性回歸。首先建立模型：為常數(shù)。這就稱為p元線性回歸模型。對隨機(jī)變量作n次觀測得n組觀測值。

……β0

β0-βp

σ為處理方便，用矩陣表示：令

則，為計算，作離差平方和β0-βp

將換為，最后用矩陣（逆矩陣）法可解出ββ

回歸顯著檢驗（哪個變量對y重要），如影響不重要那么哪個因素前面的系數(shù)βj應(yīng)為0，所以可以假設(shè)H0：βj=0，然后再用F檢驗。多元非線性也是如此。（可看參考書）5.6試驗優(yōu)化與設(shè)計方法

前面的幾章我們介紹了如何對實驗數(shù)據(jù)處理和模擬實驗方程，這是實驗后的工作。如果實驗前所選擇的實驗點不恰當(dāng)，那么計算的再精確也達(dá)不到預(yù)期的效果，因此實驗點的選擇非常重要。

配方設(shè)計可分為單因素變量設(shè)計和多因素變量設(shè)計。一、單因素變量設(shè)計

平分法消去法黃金分割法

kibonaci法分批試驗法拋物線法

這里只介紹平分法：條件：如果每作一次試驗，可根據(jù)結(jié)果來決定下次試驗的方向，就可用平分法。例：選一R配方，要求硬度為70，確定C.B用量，按經(jīng)驗先其試驗范圍為40～80份，由于硬度是C.B用量的單調(diào)增函數(shù)，因此可用平分法。第一次：M＝1/2(40＋80）＝60，結(jié)果硬度小于70，應(yīng)劃去60以下的范圍，第二次為1/2(60＋80)=70。如大于70，則劃去70～80，如小于70則劃去70以下，繼續(xù)下去，直至得到最佳值。二、多因素配方設(shè)計

這里重點介紹等高線圖形法。它表示當(dāng)有兩個或三個因素變量時，某一項性能指標(biāo)變化規(guī)律的一種試驗設(shè)計方法，這種方法簡單、直觀。

2.1等高線原理（z為性能）：如Z=f(x，y)為空間曲面圖形，且Z有最大值，其圖形為：

圖中T點為最高點，即性能最高值，其在XOY平面上的投影為P點。如圖任一平行于XOY平面的平面去截此面圖形，再把所截曲線投影在XOY平面上，得曲線L1，則L1上任意一點所表達(dá)的性能值都是相同的。如用多個平面去截此曲線，并進(jìn)行投影，則可得到多條曲線，如圖中L2越往外，則性能越小，根據(jù)等高線這些特點，實驗中如果我們能把兩變量所影響的性能的相同點畫出來，并把這些點用線連起來，畫出等高線，則以等高線的變化就可得到此函數(shù)的變化規(guī)律了。2.2繪圖方法

先對兩因素來講，按經(jīng)驗確定試驗范圍。如促進(jìn)劑和活性劑對焦燒時間的影響。然后以中心點為圓心作圓，在圓周上取正多邊形點，顯然邊數(shù)越多，試驗精確度高，這里我們選擇正五邊形，加上中點p點，做6次試驗得到焦燒時間值，分別標(biāo)在各點上。然后將這幾點與中心連線，并按性能來分，相同性能點的連上線，畫出等高線圖。50

如果我們需要焦燒時間30分鐘，那么這么多點到底選哪一點呢？需要其它的性能等高線配合，如我要求300％定伸強(qiáng)度10MPa?？僧嫵鰞梢蛩?00％定伸強(qiáng)度的等高線，其與30分鐘曲線相等的點即為最佳點。如再配合其它性能測試，可得出一最佳實驗點范圍。上面我們介紹的是直角坐標(biāo)等高線圖作法。它適于兩因素的試驗方法。50

再看一個三角坐標(biāo)等高線圖，它適合于三元硫化促進(jìn)劑和三元R并用體系。

具體畫法：取正三角形，每點表示不同變量，并且為100％，將每邊10等分。如實驗中我們?nèi)?0個點，包括中心點，則將得到的性能（焦燒時間）標(biāo)上。如畫焦燒時間13分鐘的等高線，看12.6～14.6之間按比例找13分鐘這一點。同樣12.6～13.2之間，12.6～13.1之間，12.6～14.7之間得四點，并連結(jié)起來，得到等高線。2.3正交設(shè)計給大家介紹一種重要的設(shè)計方法——正交試驗設(shè)計。一種運用于多因素試驗的重要而且有效的方法。它的主要特點：能大幅度減少實驗次數(shù)，結(jié)論準(zhǔn)確可靠，還分析因素間的相互作用。它能夠很好地解決以下幾個問題：1.影響性能的因素哪個重要，哪個不重要。2.同一因子下不同水平哪個重要。3.各因子依何水平搭配對性能影響顯著。一.什么是正交試驗設(shè)計？按正交表進(jìn)行試驗設(shè)計的方法。二.什么是正交表？我們來看這樣一個表

方法試驗號1231234112212121221這里我們需要了解的有：表達(dá)含義L——正交表4——實驗次數(shù)2——兩個水平（表中的1和2表示不同的水平）3——3個因素（因子）那么表示的是9次試驗，3個水平，4個因素

水平因素12S0.51CZ11.5防焦CTP11.5

的正交表列如下：方法試驗號1234123456789111222333123123123123231312123312231這些表從手冊上都可以查到查的原則是依據(jù)你選擇實驗的因子數(shù)和水平數(shù)來定。還有如其它的正交表。，等。

從正交表中可看出有兩個重要的數(shù)字特征：(1).每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。(2).任意兩列中，將同一橫行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。正交表的這些性質(zhì)決定了可用很少的試驗數(shù)就可準(zhǔn)確地進(jìn)行試驗

三.正交表運用原則：我們定義n——水平數(shù)，m——因素數(shù)。無交互作用時，試驗次數(shù)=m(n-1)

有交互作用時，試驗次數(shù)＝m(n-1)+(n-1)(n-1)。如24，其中只有一對因素有交互作用，則計算最大試驗次數(shù)為4(2－1)+(2-1)(2-1)=5，如有兩對有交互作用，為6次。拿24來講在正交表中找不到與之相應(yīng)的正交表。怎么辦？

應(yīng)依據(jù)計算的實驗次數(shù)小于并接近于所選正交表的試驗次數(shù)原則來定，而且水平數(shù)要保持一致。所以應(yīng)選L8(27)，如選L32(237)實驗數(shù)就太多了。選定表為L8(27)之后，還要安排表頭，即如A、B、C、D四種不同因素，哪個放在1、2、3、4的位置呢？

順序：不考慮交互作用，將重要的因素A、B放在1、2列。然后由L8(27)的交互作用表，查得A×B應(yīng)放在第三列。應(yīng)當(dāng)說明的是：不同的正交表有它自身的交互作用表。接著把因子C放在4列，A×C放于第5列，B×C放于第6列，D放于第七列，這樣表頭就設(shè)計完了。列號1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表頭設(shè)計ABA×BCA×CB×CD列號1234567接下來進(jìn)行實驗和數(shù)據(jù)分析。舉例：考察S/促進(jìn)劑/C.B這三個因素對NR/BR膠料的300％定伸強(qiáng)度的影響，同時考察交互作用。水平A促CZ0.70.9BS1.21.4CHAF/ISAF14/4127/28計算最大試驗次數(shù)：3(2－1)＋3(2－1)(2－1)=6L6(23)最接近的是L8(27)表頭ABA×BCA×CB×CD試驗結(jié)果平方值試驗號列號1234567300％定伸kg/cm211111111Y186Y1221112222Y295Y2231221122Y391Y3241222211Y494Y4252121212Y591Y5262122121Y696Y6272211221Y783Y7282212112Y888Y82K1(水平1加和)K1AK1BK1ABK1CK1ACK1BCK=∑YiW=∑Yi2K2(水平2加和)K2AK2BK2ABK2CK2ACK2BCUUAUBUABUCUACUBCP=k2/8QQAQBQABQCQACQBCQi=Ui-P

對實驗結(jié)果分析分為直觀分析和方差分析，先看直觀分析。經(jīng)計算：若是不考慮交互作用，可選擇A1B1C2作為最佳配方。這里因子C的極差最大，是主要矛盾，其次是B和A。若A與B有交互作用，要考慮交互作用，看一下列表。k1366368352351361359k2358356372373363365(k1-k2)/42.03.0-5.0-5.5-0.5-1.5BAC表頭ABA×BCA×CB×CD試驗結(jié)果平方值試驗號列號1234567300％定伸kg/cm211111111Y186Y1221112222Y295Y2231221122Y391Y3241222211Y494Y4252121212Y591Y5262122121Y696Y6272211221Y783Y7282212112Y888Y82BAA1A2B1(86+95)/2=181/2(91+96)/2=187/2B2(91+94)/2=185/2(83+88)/2=171/2從這里可以看出AB交互作用對性能影響最顯著的是A2B1，所以最佳配方應(yīng)是A2B1C2。表頭ABA×BCA×CB×CD試驗結(jié)果平方值試驗號列號1234567300％定伸kg/cm211111111Y186Y1221112222Y295Y2231221122Y391Y3241222211Y494Y4252121212Y591Y5262122121Y696Y6272211221Y783Y7282212112Y888Y82因素A的離差總離差平方和為實驗誤差。那么A、B、C、AB、AC、BC的F值如何呢？再看一下方差分析以k1A為例表頭ABA×BCA×CB×CD試驗結(jié)果平方值試驗號列號1234567300％定伸kg/cm211111111Y186Y1221112222Y295Y2231221122Y391Y3241222211Y494Y4252121212Y591Y5262122121Y696Y6272211221Y783Y7282212112Y888Y82K1(水平1加和)K1AK1BK1ABK1CK1ACK1BCK=∑YiW=∑Yi2K2(水平2加和)K2AK2BK2ABK2CK2ACK2BCUUAUBUABUCUACUBCP=k2/8QQAQBQABQCQACQBCQi=Ui-P來源離差自由度均方離差F值A(chǔ)QA1SA2＝QA/

1FA=SA2/SE2BQB1SB2＝QB/

1FB=SB2/SE2AⅹBQAB1SAB2＝QAB/

1FAB=SAB2/SE2CQC1SC2＝QC/

1FC=SC2/SE2AⅹCQAC1SAC2＝QAC/

1FAC=SAC2/SE2BⅹCQBC1SBC2＝QBC/

1FBC=SBC2/SE2誤差QE1SE2＝QE/

1總和QT7來源離差Q自由度A31B781A×B31C7631A×C2531B×C31誤差281總和10717來源離差自由度均方離差F值B781788.3C763176375A×C253125327誤差37437總和10717假設(shè)計算由左圖可看出，A、A×B、B×C的離差平主和相對很小，這三項作用不顯著?？蓪⑵淙齻€并入QE，QE自由度變?yōu)?。

給定α＝5％，查表F0.05(1