初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專題

初中高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接講義

專題一數(shù)與式的運(yùn)算【要點(diǎn)回顧】1．絕對(duì)值

[1]絕對(duì)值的代數(shù)意義：．即|a|．[2]絕對(duì)值的幾何意義：的距離．[3]兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：ab表示[4]兩個(gè)絕對(duì)值不等式:|x|a(a0)2．乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：[3]完全平方差公式：我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）(abc)2a2b2c22ab2ac2bc⑵立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)⑶立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)（4）完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3說明:上述公式均稱為“乘法公式”．3．根式

[1]

a0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

(1)2

(2)

；

(3)

；|x|a(a0)．

(4)

[2]平方根與算術(shù)平方根的概念：a

的平方根，記作xa0)，其

(a0)叫做a的算術(shù)平方根．

[3]立方根的概念：叫做a

的立方根，記為x4．分式

[1]分式的意義形如

AB

AB

的式子，若B中含有字母，且B0，則稱

AB

為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有

下列性質(zhì)：（1）；（2）．[2]繁分式當(dāng)分式

AB

的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，

AB

就叫做繁分式，如

mnp2mnp

，

說明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì)．[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

-1-

【例題選講】

例1解下列不等式：（1）x21（2）x1x3＞4．

例2計(jì)算：

（1

）(x21

3)2（2）(m5112n)(1

25m21

10mn1

4n)2

（3）(a2)(a2)(a44a216)（4）(x22xyy2)(x2xyy2)2

例3已知x23x10，求x

例4已知abc0，求a(1

b1

c)b(1

c1

a)c(1

a1

b)的值．31x3的值．

例5計(jì)算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：

3（1）

（2）

x1)

（3）

例6

設(shè)x

y（4）

，求xy的值．33

-2-

例7化簡(jiǎn)：（1）

x1x

x

1x

xx

（2）

x3x9x27

2

2

6x9xx

3

x162x

（1）解法一：原式=

x

1xx1x

x

2

x

x(1x)x(x1)(x1)

xx

x

xxx1

xx

x

xxxxx1

x(x1)

2

x(x1)x

2

x1x

解法二：原式=

(1x)xx

1(x)x

x

2

x(1x)x1

2

xxx

2

x1x

x1

（2）解：原式=

x3x9(x3)(x3x9)

2

6xx(9x)

2

x12(3x)(x3)

2

1x3

6(x3)(x3)

x12(x3)

2(x3)12(x1)(x3)

2(x3)(x3)

3x2(x3)

2(x3)(x3)

說明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；

(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式．

【鞏固練習(xí)】

1．解不等式x3x7

2．

設(shè)x

1y

1，求代數(shù)式

xxyy

xy

22

的值．

3．當(dāng)3aab2b0(a0,b0)，求

2

2

ab

ba

abab

22

的值．

4．

設(shè)x

12

，求xx2x1的值．

42

5．計(jì)算(xyz)(xyz)(xyz)(xyz)

6．化簡(jiǎn)或計(jì)算：

-3-

(1)

3

(2)

(3)

xyy

(4)

★專題二因式分解

【要點(diǎn)回顧】

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4](abc)2[5]a3b3[6]a3b3

(立方和公式)(立方差公式)

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行因式分解．

2．分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如mambnanb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運(yùn)用公式3．十字相乘法

（1）x(pq)xpq型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．

∵x(pq)xpqxpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)，∴x(pq)xpq(xp)(xq)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．

2

（2）一般二次三項(xiàng)式axbxc型的因式分解

2

由a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c

2

22

2

分解成c1c2，把a(bǔ)1,a2,c1,c2寫成

2

a1

a2

c12，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2

2

c

a2c1，如果它正好

等于axbxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么axbxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添項(xiàng)法

【例題選講】

-4-

例1（公式法）分解因式：(1)3a3b81b4；(2)a7ab6

例2（分組分解法）分解因式：（1）ab(c2d2)(a2b2)cd（2）2x24xy2y28z2

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15

(3)x2xy6y2(4)(x2x)28(x2x)12解：（1）24(3)8,(3)85x25x24[x(3)](x8)(x3)(x8)

（2）15(5)3,(5)32x22x15[x(5)](x3)(x5)(x3)

（3）分析：把x2xy6y2看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是6y2，一次項(xiàng)系數(shù)是y，把6y2分解成3y與2y的積，而3y(2y)y，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．

解：x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(4)由換元思想，只要把x2x整體看作一個(gè)字母a，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式a8a12．解：(xx)8(xx)12(xx6)(xx2)(x3)(x2)(x2)(x1)222222

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)12x25x2；(2)5x26xy8y2

解：(1)12x25x2(3x2)(4x1)

3411

52(2)5x26xy8y2(x2y)(5x4y)4y2y

說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．

例5（拆項(xiàng)法）分解因式x33x24

【鞏固練習(xí)】

1．把下列各式分解因式：

(1)ab(cd)cd(ab)(2)x4mx8mn4n

3223432(3)x64(4)x11x31x21(5)x4xy2xy8y

2．已知ab

-5-22222223,ab2，求代數(shù)式ab2abab的值．2222

3．現(xiàn)給出三個(gè)多項(xiàng)式，結(jié)果因式分解.

4．已知abc0，求證：a3a2cb2cabcb30．

★專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【要點(diǎn)回顧】

1．一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法將其變形為：．由于可以用b24ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把b24ac叫做一元二次方程

axbxc0(a0)的根的判別式，表示為：b4ac

2

12

xx1，

2

12

x3x1，

2

12

xx，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把

2

2

對(duì)于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；[2]當(dāng)Δ0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；[3]當(dāng)Δ0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．2．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

定理：如果一元二次方程axbxc0(a0)的兩個(gè)根為x1,x2，那么：

x1x2

,x1x2

2

2

說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是0．

2

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化為x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【例題選講】

2

例1已知關(guān)于x的一元二次方程3x2xk0，根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）方程有實(shí)數(shù)根；（4）方程無實(shí)數(shù)根．

-6-

例2已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2y2xy2xy10，試求x、y的值．

例3若x1,x2是方程x22x20070的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

(1)x12x22；

(2)

1x1

1x2

；

(3)(x15)(x25)；(4)|x1x2|．

例4已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)(2)求使

x1x2

x2x1

32

成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．

32

解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)

成立．∵一元二次方程4kx24kxk10的兩

4k0

k0，又x1,x2是一元二次方程個(gè)實(shí)數(shù)根，∴2

(4k)44k(k1)16k0

4kx4kx

2

x1x21

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴k10k1

x1x2

4k

k94k

32k

95

222

∴(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)5x1x22(x1x2)9x1x2

，但k0．

∴不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)(x12x2)(2)∵

x1x2

x2x1

2

x1x2

x1x2

2

2

32

2

成立．

4

4kk1

4

4k1

2

(x1x2)x1x2

x1x2

x2x1

2的值

∴要使其值是整數(shù)，只需k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k0，要使為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為2,3,5．【鞏固練習(xí)】

1．若x1,x2是方程2x6x30的兩個(gè)根，則

A．2

B．2

2

2

1x112

1x2

的值為(

2

)D．

92

C．

2

2．若t是一元二次方程axbxc0(a0)的根，則判別式b4ac和完全平方式M(2atb)的關(guān)系是()A．M

B．M

C．M

D．大小關(guān)系不能確定

22

x11,x21是關(guān)于x的方程xqxp0的兩實(shí)根，3．設(shè)x1,x2是方程xpxq0的兩實(shí)根，則p=

-7-

，q．

4．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a6b,c2ab9，則a，b=_____，c=_____．

5．已知關(guān)于x的方程x23xm0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于x的方程

(k3)xkmxm6m40有實(shí)數(shù)根．

2

2

6．若x1,x2是關(guān)于x的方程x2(2k1)xk210的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1,x2都大于1．

★專題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)

【要點(diǎn)回顧】

1．平面直角坐標(biāo)系

[1]叫做x軸或橫軸，叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)o稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

[2]平面直角坐標(biāo)系稱y是x的一次函數(shù)，記為：ykxb(k、b是常數(shù)，k≠0)

特別的，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù)。

[2]正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)象過原點(diǎn)及第一、第三象限，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象過原點(diǎn)及第二、第四象限，y隨x的增大而．

[3]一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)ykxb(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過點(diǎn)(0，b)且與直線y=kx平行的

-8-

一條直線.設(shè)ykxb(k≠0)，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．

[4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)yk

x(k≠0)是雙曲線，當(dāng)時(shí)，圖象在第一、第三象限，在每個(gè)象

限中，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象在第二、第四象限.，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而．雙曲線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線yx與yx；又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)．

【例題選講】

例1已知A2,y1、Bx2,3，根據(jù)下列條件，求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)．

(1)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱；(2)A、B關(guān)于y軸對(duì)稱；(3)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

例2已知一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。

例3如圖，反比例函數(shù)yk

x的圖象與一次函數(shù)ymxb的圖象交于A(1，1)兩點(diǎn)．3)，B(n，

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

解：（1）A(1，3)在yk

x的圖象上，k3，y3

x又B(n，1)在y3

x的圖象

3mbn3上，，即B(3，解得：m1，b2，反比例函數(shù)的1)，13mb，

3解析式為y，一次函數(shù)的解析式為yx2，圖（12）x

（2）從圖象上可知，當(dāng)x3或0x1時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。

【鞏固練習(xí)】

1．函數(shù)ykxm與ym

x(m0)在同一坐標(biāo)系）

-9-

x

x

x

x

2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標(biāo)原點(diǎn)，D在第一象限角平分線上，又知AB

6，AD，求B,C,D點(diǎn)的坐標(biāo)．

3．如圖，已知直線y（1）求k的值；

（2）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y

kx

(k0)于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)P為頂點(diǎn)

A．

B．

C．

D．

12

x與雙曲線y

kx

(k0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．

組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

★專題五二次函數(shù)

【要點(diǎn)回顧】

1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)

22

問題[1]函數(shù)y＝ax與y＝x的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

22

問題[2]函數(shù)y＝a(x＋h)＋k與y＝ax的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋

2

2

2

ba

4a2a4a4a

ax＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)

y＝ax的圖象作左右平移、上下平移得到的，

2

x)＋c＝a(x＋

2

ba

x＋

b

22

)＋c－

b

2

a(x

b

)

2

b4ac

2

，所以，y＝

-10-

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：

[1]當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直

線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值．

[2]當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直

線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值．

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借

助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題．

2．二次函數(shù)的三種表示方式

[1]二次函數(shù)的三種表示方式：

（1）．一般式：；

（2）．頂點(diǎn)式：；

（3）．交點(diǎn)式：．

說明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時(shí)，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡(jiǎn)單為原則．二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：

①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來求；

②給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)可利用頂點(diǎn)式來求．

③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0).(x2,0)時(shí)可利用交點(diǎn)式來求．

3．分段函數(shù)

一般地，如果自變量在不同取值范圍求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象．

例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)

-11-

多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？

例3已知函數(shù)yx2,2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

例4根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．

（1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，－1）；

（2）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；

（3）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

例5在國(guó)（）

（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）

2（2）函數(shù)y＝－x＋4x＋6的最值情況是（）

（A）有最大值6（B）有最小值6

（C）有最大值10（D）有最大值2

-12-

（3）函數(shù)y＝2x2＋4x－5中，當(dāng)－3≤x＜2時(shí)，則y值的取值范圍是（）

（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1

（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜11

2．填空：

（1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過點(diǎn)C（2，4），則該二次函數(shù)的表達(dá)

式為．

（2）已知某二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達(dá)式為．

3．根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．

（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（1，0），C（1，2）；

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），且與y軸交于點(diǎn)（0，1）；

（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M（3，0），（5，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，3）；

（4）已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，2），且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4．

4．如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．已

知墻的長(zhǎng)度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？

5．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為x，ΔPAC的面積為y．

（1）求函數(shù)y的解析式；

C（2）畫出函數(shù)y的圖像；

（3）求函數(shù)y的取值范圍．

P

圖2.2－10

★專題六二次函數(shù)的最值問題

【要點(diǎn)回顧】

1．二次函數(shù)yaxbxc(a0)的最值．

-13-2

二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在x無最大值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在xb

2ab2a處取得最小值4acb4a2，處取得最大值4acb

4a2，無最小值．

2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．

第一步確定a的符號(hào)，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值．

3．求二次函數(shù)在某一范圍（2）yx3x4．

2例2當(dāng)1x2時(shí)，求函數(shù)yxx1的最大值和最小值．

例3當(dāng)x0時(shí)，求函數(shù)yx(2x)的取值范圍．

例4當(dāng)txt1時(shí)，求函數(shù)y的最小值(其中t為常數(shù))．22

分析：由于x所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置．xx

-14-22125

解：函數(shù)y

12

xx

2

52

的對(duì)稱軸為x1．畫出其草圖．

12tt

2

(1)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè)．即t1時(shí)：當(dāng)xt時(shí)，ymin

52

；

12

11

2

(2)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間．即t1t10t1時(shí)：當(dāng)x1時(shí)，ymin(3)

當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè)．即t11t0

12

(t1)(t1)

2

5

2

時(shí)：當(dāng)xt1

3；

時(shí)，

ymin

52

12

t3．

2

12

2t3,t0

綜上所述：y3,0t1

15

t2t,t1

22

例5某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)m1623x,30x54．

(1)寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

【鞏固練習(xí)】

2

1．拋物線yx(m4)x2m3，當(dāng)m=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m=_____時(shí)，圖象過原點(diǎn)．

2．用一長(zhǎng)度為l米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為________．

2

3．設(shè)a0，當(dāng)1x1時(shí)，函數(shù)yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

2

4．已知函數(shù)yx2ax1在1x2上的最大值為4，求a的值．

-15-

5．求關(guān)于x的二次函數(shù)yx22tx1在1x1上的最大值(t為常數(shù))．

★專題七不等式

【要點(diǎn)回顧】

1．一元二次不等式及其解法

[1]

定義：形如

為關(guān)于x的一元二次不等式．[2]一元二次不等式ax2bxc0(或0)與二次函數(shù)yax2bxc(a0)及一元二次方程

axbxc0的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)．

2

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2)觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．

①如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

x1,x2(也可由根的判別式0來判斷)．則

②如果圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(

xxx2

b2a

b2a

,0)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

(也可由根的判別式0來判斷)．則：

③如果圖象與x軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式0來判斷)．則：

（ⅱ）解一元二次不等式的步驟是：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正；

(2)若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根x1,x2．那么“0”型的解為

xx1或xx2(俗稱兩根之外)；“0”型的解為x1xx2(俗稱兩根之間)；

(3)否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成axbxca(x負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．

2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法

-16-

2

b2a

)

2

4acb4a

2

，結(jié)合完全平方式為非

解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.

3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式

一元一次不等式最終可以化為axb的形式．

[1]當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為：x

[2]當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為：xbab；；a

[3]當(dāng)a0時(shí)，不等式化為：0xb；

①若b0，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若b0，則不等式無解．

【例題選講】

例1解下列不等式：(1)x2x60(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)

x30

x20⑴解法一：原不等式可以化為：(x3)(x2)0，于是：或

x30x3x3或x3或x2所以，原不等式的解是x3或x2．x2x2x20

解法二：解相應(yīng)的方程x2x60得：x13,x22，所以原不等式的解是x3或x2．

(2)解法一：原不等式可化為：x24x0，即x24x0x(x4)0于是：

x0x0或x0或x4，所以原不等式的解是x0或x4．x40x40

解法二：原不等式可化為：x24x0，即x24x0，解相應(yīng)方程x24x0，得x10,x24，所以原不等式的解是x0或x4．

說明：解一元二次不等式，實(shí)際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解．

例2解下列不等式：(1)x22x80(2)x24x40(3)x2x20

2例3已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，kx2xk恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

例4解下列不等式：(1)2x3

x10(2)1

x23

2例5求關(guān)于x的不等式mx22mxm的解．

解：原不等式可化為：m(m2)xm2

(1)當(dāng)m20即m2時(shí)，mx1，不等式的解為x

(2)當(dāng)m20即m2時(shí)，mx1．

-17-1m；

①0m2時(shí)，不等式的解為x

②m0時(shí)，不等式的解為x1

m1m；；

③m0時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)．

(3)當(dāng)m20即m2時(shí)，不等式無解．

綜上所述：當(dāng)m0或m2時(shí)，不等式的解為x1

m；當(dāng)0m2時(shí)，不等式的解為x1

m；當(dāng)m0

時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)m2時(shí)，不等式無解．

【鞏固練習(xí)】

1．解下列不等式：

(1)2x2x0(2)x23x180

(3)x2x3x1(4)x(x9)3(x3)

2．解下列不等式：

(1)x1

x10(2)3x1

2x12(3)2

x1(4)2xx1

2x120

3．解下列不等式：

(1)x22x2x22(2)1

2x21

3x1

50

4．解關(guān)于x的不等式(m2)x1m．

25．已知關(guān)于x的不等式mxxm0的解是一切實(shí)數(shù)，求m的取值范圍．

6．若不等式x2

k1x3

k2的解是x3，求k的值．

27．a(chǎn)取何值時(shí)，代數(shù)式(a1)2(a2)2的值不小于0？

-18-

●各專題參考答案●

專題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案

例1（1）解法1：由x20，得x2；①若x2，不等式可變?yōu)閤21，即x3；②若x2，不等式可變?yōu)?x2)1，即x21，解得：x1．綜上所述，原不等式的解為1x3．

解法2：x2表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離，所以不等式x21的幾何意義即為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為1x3．

解法3：x211x211x3，所以原不等式的解為1x3．

（2）解法一：由x10，得x1；由x30，得x3；①若x1，不等式可變?yōu)?x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若1x2，不等式可變?yōu)?x1)(x3)4，即1＞4，∴不存在滿足條件的x；③若x3，不等式可變?yōu)?x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．

解法二：如圖，x1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．所以原不等式的解為x＜0，或x

＞4．

2

|x－3||x－1|

2

所以，不等式x1x3＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2例2（1）解：原式=[x(

)

](x)

()()2x(x2x

3

3

1

2222

1

22

13

2

13

()

x

1

43

83

x

2

3

3

x

19

說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列．（2）原式=(m)(n)

5

2

4

2

2

3

11125

22

m

3

18

2

n

3

3

6

3

（3）原式=(a4)(a4a4)(a)4a64

（4）原式=(xy)(xxyy)[(xy)(xxyy)](xy)x2xyy

2

例3解：x3x10x0x

2

2

2

2

2

2

3

3

2

6

3

3

6

1x

2

3

2

原式=(x

1

xxxx

例4解：abc0,abc,bca,cab

)(x1

2

1

)(x2

1

)[(x

1

)3]3(33)18

原式=a

3

3

bcbc

b

acac

c

2

abab

a(a)bc

2

b(b)ac

3abc

abc

3

c(c)ab

abc

abc

333

①

ab(ab)[(ab)3ab]c(c3ab)c3abc

abc3abc②，把②代入①得原式=

333

3

例5解：（1

）原式

3(2

2

23

6（2）原式=|x1||x2|

(x1)(x2)2x3(x2)(x1)(x2)1(1x2)

-19-

說明：

|a|的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論．

（3）原式

=ab

（4）原式

=例6解

：x237y7xy14,xy1

原式=(xy)(x2xyy2)(xy)[(xy)23xy]14(1423)2702

說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量．

【鞏固練習(xí)】

1．4x32．

3．3或24

．3

3,

3y,

45．x4y4z42x2y22x2z22y2z26．13,

2

專題二因式分解答案

例1分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)a(ab)(ab)(aabb)(aabb)2222

例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，然后再分解因式．解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd(abc2a2cd)(b2cdabd2)

ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

（2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到x2xyy4z，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．

解：2x4xy2y8z2(x2xyy4z)2[(xy)(2z)]2(xy2z)(xy2z)例5解：x3x4(x1)(3x3)(x1)(xx1)3(x1)(x1)

(x1)[(xx1)3(x1)](x1)(x4x4)(x1)(x2)2223232222222222222

【鞏固練習(xí)】

1．(1)(bcad)(acbd);(2)(x4m2n)(x2n);(3)(x4x8)(x4x8);

(4)(x1)(x3)(x7);(5)(x2y)(x2y)．222

2．28

3

1

2；xx1)(

1

2

1

223．(122x3x1)x4xx(x4)12xx)x1(x1)(x1)；12xx)x2x1(x1).

22222222其他情況如下：((322xx1)(2x3x1)(324．a(chǎn)acbcabcb(aabb)(abc)

-20-

專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案

例1解：∵(2)243k412k，∴(1)412k0k

(3)412k0k

13

13

；(2)412k0k

13

；

；(4)412k0k

13

．

例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于x的方程，整理得：x2(y2)xy2y10

由于x是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：[(y2)]24(y2y1)3y20y0，代入原方程得：x22x10x1．綜上知：x1,y0例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1x22,x1x22007

(1)x12x22(x1x2)22x1x2(2)22(2007)4018(2)

1x1

1x2

x1x2x1x2

22007

22007

(3)(x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972

(4)|x1x2|

1x1

1x2

x1x2x1x2

說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：x12x22(x1x2)22x1x2，

，(x1x2)2(x1x2)2

4x1x2，|x1x2|

韋達(dá)定理體現(xiàn)了

整體思想．【鞏固練習(xí)】

1．A；2．A；3．p1,q3；4．a(chǎn)3,b3,c0；5．m1(1)當(dāng)k3時(shí)，方程為

3x10，有實(shí)根；(2)當(dāng)k3時(shí)，0也有實(shí)根．6．(1)k

34

且k1；(2)k7．

專題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案

例1解：(1)因?yàn)锳、B關(guān)于x軸對(duì)稱，它們橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以x22，y13，則A2,3、B2,3．

(2)因?yàn)锳、B關(guān)于y軸對(duì)稱，它們橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以，x22，y13，則A2,3、B2,3．

(3)因?yàn)锳、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以x22，y13，則A2,3、B2,3．

例2分析：因?yàn)橹本€過第一、三象限，所以可知k>0，又因?yàn)閎＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出此一次函數(shù)的表達(dá)式。

解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點(diǎn)，∴B（0，2），∴OB＝2，又SAOB

12

AOBO2，AO2

yx2又ykx2，過第二象限，A(2，0)把x12，y10代入ykx2中得k1，

【鞏固練習(xí)】

1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）k8．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(2，4)或P(8，1)．

專題五二次函數(shù)參考答案

22

例1解：∵y＝－3x－6x＋1＝－3(x＋1)＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；對(duì)稱軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為

-21-

(－1，4)；

當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；

當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減小；采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)

B(

3

3

,0)和

C(

3

3

,0)與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過這五點(diǎn)畫出圖象（如圖2－5所示）．

說明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷售量y×(銷售價(jià)x－120)，日銷售量y又是銷售價(jià)的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B），將x＝130，y＝70；x＝150，y50代入方程，有

70130kb,50150kb,

解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．

設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時(shí)，z取最大值1600．

答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．

例3分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論．

2

解：（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝x的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x＝－2；

（2）當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取

2

最小值y＝a；

（3）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；

2

（4）當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．

③①

說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來研究，在解決這一類問題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．

例4（1）分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為ya(x2)1(a0)，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，－1），∴1a(32)1，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為y2(x2)1，即y＝－2x2＋8x－7．

2

2

2

②

說明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題．

（2）分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．

解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開，

-22-

得y＝ax＋2ax－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴|－4a|＝2，即a＝

12

2

12a4a

4a

22

4a，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離

12xx

2

．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝

32

，或y＝－

12

xx

2

32

．

分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x＝－1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，然后再利用圖象過點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式．

解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴對(duì)稱軸為直線x