第九節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

考點(diǎn)梳理1．相互獨(dú)立事件(1)對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱

．(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝

，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝

．(3)若A與B相互獨(dú)立，則

，

，

也都相互獨(dú)立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則

．A、B是相互獨(dú)立事件P(B)P(A)·P(B)A與B相互獨(dú)立當(dāng)前1頁，總共35頁?？键c(diǎn)梳理2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有

結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是

的．(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為k，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝

，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．兩種一樣當(dāng)前2頁，總共35頁?？键c(diǎn)梳理當(dāng)前3頁，總共35頁。助學(xué)微博3σ原則(1)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，簡稱為3σ原則．(2)正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．一個(gè)原則二項(xiàng)分布事件發(fā)生滿足的四個(gè)條件(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率都相同；(2)各次試驗(yàn)中的事件相互獨(dú)立；(3)每次試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生、不發(fā)生兩種情形；(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．四個(gè)條件當(dāng)前4頁，總共35頁。二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有何關(guān)系？【提示】

兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布．

當(dāng)前5頁，總共35頁。B當(dāng)前6頁，總共35頁。2．(2011·湖北高考)如圖10－8－1，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為() A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576B當(dāng)前7頁，總共35頁。當(dāng)前8頁，總共35頁。3．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立．則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率等于________．0.128【解析】

此選手恰好回答4個(gè)問題就晉級下一輪，說明該選手第2個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第3、第4個(gè)問題均回答正確．因?yàn)槊總€(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，故所求的概率為1×0.2×0.82＝0.128.當(dāng)前9頁，總共35頁。 (2011·山東高考)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列． 【思路點(diǎn)撥】

(1)紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝，則甲、乙、丙三人全勝，或甲、乙、丙中僅有兩人勝，另一個(gè)不勝，然后利用相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算；(2)ξ的可能取值為0,1,2,3，求ξ取每一個(gè)值的概率，列出分布列．相互獨(dú)立事件的概率

當(dāng)前10頁，總共35頁。當(dāng)前11頁，總共35頁。當(dāng)前12頁，總共35頁。

1．解答本題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來，從而把所求事件表示為幾個(gè)事件的和事件． 2．獨(dú)立事件的性質(zhì)：若事件A與事件B相互獨(dú)立，那么事件與事件B、事件A與事件、事件與事件都相互獨(dú)立． 3．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面計(jì)算難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算．當(dāng)前13頁，總共35頁。當(dāng)前14頁，總共35頁。當(dāng)前15頁，總共35頁。當(dāng)前16頁，總共35頁。當(dāng)前17頁，總共35頁。當(dāng)前18頁，總共35頁。當(dāng)前19頁，總共35頁。當(dāng)前20頁，總共35頁?！舅悸伏c(diǎn)撥】

(1)甲、乙、丙各購買一瓶飲料是否中獎(jiǎng)，相互獨(dú)立，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式，第(1)問可求；(2)依題意隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，不難求出分布列．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

當(dāng)前21頁，總共35頁。當(dāng)前22頁，總共35頁。當(dāng)前23頁，總共35頁。 1．(1)第(1)問的實(shí)質(zhì)是“甲、乙、丙三人中恰有甲一人中獎(jiǎng)”，這與“甲、乙、丙三人中恰有一人中獎(jiǎng)”不同． (2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行，各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)．在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的． 2．求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后求概率．

當(dāng)前24頁，總共35頁。當(dāng)前25頁，總共35頁。當(dāng)前26頁，總共35頁。當(dāng)前27頁，總共35頁。錯(cuò)解當(dāng)前28頁，總共35頁。當(dāng)前29頁，總共35頁。 錯(cuò)因分析：(1)對事件關(guān)系判斷不明確，3人選擇項(xiàng)目所屬類別互不相同的事件AiBjCk(i，j，k互不相同)共有A＝6種情形，誤認(rèn)為只有A1B2C3發(fā)生，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤． (2)在第(2)問中，對ξ與η的轉(zhuǎn)化搞不清，找不到ξ＝3－η的關(guān)系，難以利用二項(xiàng)分布，導(dǎo)致直接求P(ξ＝k)(k＝0,1,2,3)繁雜計(jì)算致誤． 防范措施：(1)準(zhǔn)確理解事件特征，理清事件間的關(guān)系，強(qiáng)化事件關(guān)系判斷的訓(xùn)練，努力減少此類錯(cuò)誤的發(fā)生． (2)針對第(2)問，要注意合理分類與轉(zhuǎn)化，利用二項(xiàng)分布簡化事件概率的計(jì)算．

當(dāng)前30頁，總共35頁。當(dāng)前31頁，總共35頁。

(2011·湖北高考)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝() A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2正態(tài)分布下的概率

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解．

C當(dāng)前32頁，總共35頁。

(2011·湖北高考)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝() A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2正態(tài)分布下的概率

【解】

由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2，由題意知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6，∴P(0＜ξ＜2)＝P(0＜ξ＜4)＝0.3.C當(dāng)前33頁，總共35頁。

1．求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對稱，且區(qū)間[0,4]關(guān)于x＝2對稱． 2．關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)把所求問題轉(zhuǎn)化為已知