中值定理證明題

5、驗證羅爾定理對f(x)=3汪+3?'10^在［,1］上的正確性6、驗證羅爾定理對f(x)=x3+5x2-8x-12在［-1,2］上的正確性.7、驗證羅爾定理對函數(shù)f(x)=x3-6x2+11x-6在區(qū)間［2,3］上的正確性.8、設(shè)實數(shù)a,a,…,a滿足12naaTOC\o"1-5"\h\za-4H F(-1)n-1 n=01 3 2n-1證明：acosx+acos3xH—acos(2n-1)x=01 2 n在(0,今)內(nèi)至少有一個實根.9、求證：4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)內(nèi)至少一個根.10、求證:方程ex=ax2+bx+c的根不超過三個(不計根的重數(shù)).11、設(shè)/(x)=axn+a xn-1h hax+a有n+1個不同的零點,試證明f(x)三0.n n-1 1 012、設(shè)f(x)可導(dǎo)，求證:f(x)的兩個零點間一定有f(x)+廣(x)的零點.13、設(shè)函數(shù)/(x)在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=limf(x)=A,(A為有限值).xTa+ xTb-試證：至少存在一點e(a,b),使/崔)=0.14、設(shè)F(x)=(x-1)f(x),其中f(x)在1,2具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),在(1,2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(1)=f⑵=0,試證明存在己e(1,2)使F〃憶)=0.15、設(shè)在(x)10,1］上連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且(0)=1,f(1)=丄，e求證：在(0,1)內(nèi)至少存在一點&使/'憶)=-e弋.16、設(shè)/(x)在L,x］上具有三階導(dǎo)數(shù),且/(x)=f(x)=f(x)=f(x),0 3 0 1 2 3其中x<x<x<x,0123試證明在(x,x內(nèi)存在&使f"憶)=0.0317、設(shè)f(x)在(a,b!上連續(xù)，在［a,b］可導(dǎo)，且當xe(a,b)時,f(x)豐0若f(a)=f(b)=0,證明對任意實數(shù)￡存在點細心bf=k.18、設(shè)函數(shù)/(x)在［a,b］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),且/(a)=f(b)=f'(a)=0,證明在(a,b)內(nèi)至少存在點c,使/''(c)=0.19、設(shè)拋物線y=y(x)=x2+13x+c與x軸有兩個交點(a,0),(b,0)(a<b)y=f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo),f(a)=f(b)=0,且曲線y=f(x)與y=x2+13x+c在(a,b)內(nèi)有一個交點，求證，在(a,b)內(nèi)存在一點矽使'〃憶)=2.20、設(shè)/(x^(-8,+8)上可微,且/'(x)豐1,試證明方程f(x)=x最多有一個實21、設(shè)/(x)在［0,1］上三階可導(dǎo),且(0)=0f(1)=f'(1)=0,證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使3f''(c)+f'''(c)=0.22、設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使f'(c)+2f(c)=f'(c).23、設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,對任意xe(0,1)有f(x)豐0,證明存在。e證明存在。e(0,1)使冊=f'(1-c)

f(1-c)(n為自然數(shù)).24、設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,對任意xe(0,1)有f(x)豐0,設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f⑴=0,證明存在一點ce(0,1)使2f(c)+cff(c)=0.證明存在。證明存在。e?D使需f'(1-c)

f(1-c)26、設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點c,使f'(c)+nf(c)=0(n為正整數(shù)).27、證明方程ex-x2-3x-1=0有且僅有三個28、設(shè)函數(shù)/(x)在［a,b］上可導(dǎo)，且a<f(x)<b在(a,b)上有f'(x)豐1,證明在(a,b)內(nèi)有僅有一個x值適合f(x)=x.29、設(shè)f(x)在(0,+s)可導(dǎo)且有n個不同零點:0<x<x< <x1 2 n求證：af(x)+f'(x)在(0,+s)內(nèi)至少有n-1個不同零點，其中a為任意實數(shù).30、證明方程有-x2=1且僅有三個實根.31、設(shè)/(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),證明f'(x)=0有且僅有三個實根.32、設(shè)函數(shù)'(x)在［0,1］上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,f(1)=試證明，方程(1+x2)f'(x)=1在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.設(shè)/(x)在［1,e］上連續(xù)，在(1,e)內(nèi)可導(dǎo),且/(1)=0,f(e)=1,證明方程,xf'(x)=1在(1,e)內(nèi)至少有一實根.34、設(shè)函數(shù)/(x)在0,子上連續(xù)，在(0,中內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,f(子)=1,試證明方程cos2xf'(x)=1在(0,_4)內(nèi)至少有一實根.35、設(shè)/(x)在0,今上連續(xù)，在(0,今)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=0,f(今)=1,試證明方程/'(x)=cosx在(0,今)內(nèi)至少有一實根.設(shè)f(X)在［0,今］上連續(xù)，在(0,今)內(nèi)可導(dǎo),且f(今)=0,證明存在一點e(0,今),使f?+tg憶)-f'?=0.37、設(shè)f(x)在［0,中上連續(xù)，在(0,子)內(nèi)可導(dǎo),且f(子)=0,證明存在一點ce(0,子),使2f(c)+sin2c-f'(c)=038、設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,證明存在一點e(0,1),使f憶)+(1-e弋)f'憶)=0.39、設(shè)f(x)在［0，*］上連續(xù)，在(0,*)內(nèi)可導(dǎo),且f(*)=0,證明：至少存在一點ce(0,+),使f(c)+\：1-c2arcsinc-f'(c)=040、設(shè)函數(shù)f(x)在［0,a］上可導(dǎo)，且1<f(x)<ea,在(0,a)內(nèi)/'(x)<0,證明：在(0,a)1內(nèi)有且僅一個x使f(x)=ex.41、設(shè)函數(shù)f(x)在［0,手］上可導(dǎo)，且0<f(x)<1,xe［0,手］,在］0,手］內(nèi)廣(x)<1,4 4I4丿證明在(0,子)內(nèi)有且僅有一個x,使/(x)=tanx.42、設(shè)函數(shù)'(x)在［0,今］上可導(dǎo)，且0<f(x)<1(xe［0,今］),在(0,今)內(nèi)的每一個點處：廣(x)豐cosx,證明在(0,今)內(nèi)有且僅有一個x,使f(x)=sinx.43、設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上可導(dǎo)，且0<f(x)<弓,在(0,1)內(nèi)的每一點處''(x)豐—4 1+x2證明在(0,1)內(nèi)有且僅有一個x,使/(x)=arctanx.44、設(shè)函數(shù)'(x)在［1,e］上可導(dǎo)，且0<f(x)<1,在(1,e)內(nèi)xf'(x)<1證明在Ce內(nèi)有且僅有一個x,使f(x)=lnx.45、設(shè)n為偶數(shù),且a豐0,試證.方程xn+an=(x+a)n僅有一個實根x=0.46、設(shè)a2-3b<0,試用羅爾定理證明方程x3+ax2+bx+c=0僅有一實根.47、設(shè)a,a，…,a是滿足a+丄a+丄a+…+—1 a=0的實數(shù)，0 1 n 0 2 13 2 n+1n試證：方程a+ax+ax2+ +axn=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根.0 1 2 n48、若f(x)在［a,b］上有n階導(dǎo)數(shù)存在,且f(a)=f(b)=f'(b)=f〃(b)=…=f(n-1)b=0,試證明在(a,b)內(nèi)至少有一個&使f(n)憶)=0,其中a<E<b.49、設(shè)/(x),嘰x)在［。,方］上連續(xù)，在(a,b內(nèi)可導(dǎo),且/(x)=f(x)=0,x,xe(a,b),1212證明：在(x,x)內(nèi)至少存在一點&使/'憶)+f憶)-0憶)=01250、若函數(shù)'(x)在［0,1］上存在三階導(dǎo)數(shù),且/(0)=f(1)=0,設(shè)F(x)=x3f(x),則存在ge(0,1),使F〃憶)=0.51、若方程axn+axn-1+ +ax=0有一正根x=x,0 1 n-1 0證明方程anxn-1+a(n-1)xn-2+ +a =0必有一個小于x的正根.0 1 n-1 052、設(shè)爭(x)在［0,1冋導(dǎo),f(x)=(x-1)p(x),求證：存在x°e(0,1)使/'(x°)=p(0)53、驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)f(x)=2x在［0,1］上的正確性.54、對函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)間［0,今］上驗證拉格朗日中值定理的正確性.55、對函數(shù)/(x)=cosx在區(qū)間［0,今］上驗證拉格朗日中值定理的正確性.56、對函數(shù)f(x)=Inx在區(qū)間［1,e］上驗證拉格朗日中值定理的正確性.57、驗證f(x)=x2在［2,4］上拉格朗日中值定理的正確性58、對函數(shù)f(x)=arctanx在［0,1］上驗證拉格朗日中值定理的正確性.59、敘述并證明拉格朗日中值定理60、設(shè)f(x)在［0,1］上二階可導(dǎo),f(0)=f(1)=1,廣⑴=1證明：在(0,1)內(nèi)存在點c,使f〃(c)=2.61、試證明：若f(x)在(-8,+8)上可導(dǎo)并滿足：f'(x)=f(x)及f(0)=1,則f(x)=ex.62、設(shè)f(x)在［a,b］上可導(dǎo)，證明存在w(a,b),使 一力 |=E2bf憶)+纖b-af(a)f(b)'63、若對xw(a,b),有f(jc)=A,則在(a,b)內(nèi)f(x)=Ax+B,其中A,B為常數(shù).64、若x>0,證明*：x+1-fx= 1及、<Q<￡并求lim0(x)及l(fā)im0(x).2jx+0(x) 4 2 xt+0 xt+865、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),xw(a,b),且f(x)在(a,x)與(x,b)內(nèi)均可導(dǎo)且limf'(x)=A,0 0 0 XTX0證明:廣(x)存在,且'(x)=A.066、設(shè)求m廣=x)a,證:對VT>0,l有im［f(X+T-f(x)］=Ta.XT+8 XT+w67、設(shè)/(x)在［a,+w］上連續(xù)，可導(dǎo)，且當X>a時，廣(x)>k>0其中k為常數(shù)，試證：若/(a)<0,則方程/(x)=0在(a,a-丿黑)內(nèi)有且僅有一個實根.k68、_ 兀 1證明恒等式:3arccoser-rccos(3x-=4x3) 在|x<二時成立.

設(shè)f(x),g(x)都為可導(dǎo)函數(shù),且fXx)=g(x),gXx)=-f(x),f(0)=1,g(0)=0,證明：f2(x)+g2(x)=1.兀=2兀=2恒等成立.證明:當x豐0時,arctanx2+arctan丄x271、2x證明恒等式2arctanx-arctan =0,在|x<1時成立.1x2兀兀兀3在時<兀兀兀3在時<x< -222成立.證明恒等式x-2arctan(secx+=anx)73、兀兀兀73、證明恒等式2arctan(secx+-anx)x=在 <x< 時成立.22274、一 2x 兀證明恒等式2arctanx-arctan =<在時x<+?成立.1-x275、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,a]上二階可導(dǎo),If〃(x)|<M(xe[0,a]),且f(x)在(0,a)內(nèi)取得最大試證明,|廣(0)|+|廣(a)<Ma.76、應(yīng)用拉格朗日中值定理證明：對任意實數(shù)x,有2xarctanx>ln(1+x2)且等號x=0時成立.77、用拉格朗日中值定理證明，當x>0時,ln—__1<x.x78、證明丄<ln(1+<1) - (n為自然數(shù))n+1 nn79、利用拉格朗日值定理證明：xa-ax<1-a其中x>0,0<a<1(等號僅限于x=1時成立).80、兀證明：當0<x< 時,sinx+tanx>2x.2證明：當0<a<x時，—_—<arctanx-arctana<—_—.1+x2 1+a282、2x 兀證明:當x>1時,恒等式2arctanx+arcsin ——=成立.1+x283、2x證明:當|x|<1時,恒等式2arctanx-arcsin了 =0成立.84、設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可微,但無界，試證明廣(x)在(a,b)內(nèi)無界。85、設(shè)f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo)，且連結(jié)A(a,f(a)),B(b,f(b))的弦與曲線y=f(x)交C(c,f(c)),a<c<b,試證存在己e(a,b),使f〃憶)=0.86、f憶)EIn?設(shè)/(x)在［1,2］上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo),且f憶)EIn?證明至少存在一點己e(1,2),使f/憶)=-87、設(shè)f(x)在［a,b］上為正值的可導(dǎo)函數(shù),試證明存在c(a<c<b),使】nf|=f^(b-a).88、設(shè)f(x)在［-1,1］上有三階導(dǎo)數(shù),且/(0)=f(-1)=f(1)=1,廣⑴=2,試證明至少存在E(-1<E<1),使廠憶)=6.89、設(shè)/(x),g(x)在［a,b］可導(dǎo)，且g'(x)豐0,試證明存在Ee(a,b),使 _=C7I)-g(E)-g(b) g(E)90、已知函數(shù)'(x)在［0,1］連續(xù),在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),f(0)=f(1)=0且曲線y=f(x)與直線y=x,當xe(0,1)時有交點，試證明在(0,1)內(nèi)至少存在f,使廠(f)<0.設(shè)1)函數(shù)f(x),g(x)在［a,b止連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)f(b)0g(x)0,x (a,b),試證明，至少存在一點 (a,b),?f()g()g()f().92、設(shè)f(x),f(x)在［a,b止連續(xù),f(x)在(a,b)內(nèi)存在，若f(a)f(b)0且c(acb)使f(c)0,試證明，在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使f()0.93、設(shè)f(x),f(x)在［a,b止連續(xù),f(X)在(a,b)內(nèi)存在，并適合f(a)fG) 0,又設(shè)存在c(a,b)使f(c)0,試證明，在(a,b)內(nèi)至少存在兩個點，使f()0,f()0.121294、設(shè)f(x)在［a,b止連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)imf(x)qxb0試證明：f(x)在xb處的左導(dǎo)數(shù)fG)必存在且fG)q.95、設(shè)f(x)在［a,b止連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)imf(x)p,xa0試證明f(x)在xa處的右導(dǎo)數(shù)f(a)必存在，且f(a)p.96、證明:當x0時,ex1x.97、證明:當0yx時上yln--y成立.x yy98、證明:對任意實數(shù)x,y,有|osxcosy||xy|成立.99、證明不等式|arctana arctanb100、丄 1 丄 1證明不等式a\an1巴，(al,n1).(n1)2 lna n2101、設(shè)f(x),g(x)在［a,止可導(dǎo)，并適合|fx||gx試證明:當xa時,|f(x)f(a)g(x)g(a).

102、設(shè)f(x)在［0,+8)上連續(xù)，可導(dǎo),且f(0)= x)|<f(x),(x>0),試證明：當x>0時,f(x)<ex.l03、證明:當x>0時,x2++n(1x)2 2x.l04、證明:|sinx-siny|<|x-b|,其中x,y任意實數(shù).105、證明不等式:(n證明不等式:(n+1)七m<m) 1—m-mnz<nm(n>1,m>1)106、106、證明:當x豐0時,107、1 兀<—(arctanex—j)

x4P-aP-a成立.cos2P證明：當0<a<P<￡時,不等式■_—<tanp-tana<2 cos2a108、證明：當0<a<b且n>1時,有nan-1(b-a)<bn-an<nbn-1(b-a).109、試證明:當x>0時,ln(1+x)> —。1+x110、x2試用拉格朗日中值定理證明:當x>0時,x-一<+n(1x).2111、驗證柯西中值定理對函數(shù)/(x)=1-cosx及g(x)=sin2x在區(qū)間［0,號］上的正確112、在閉區(qū)間［0,1］上對函數(shù)/(x)=ln(1+x)和g(x)=x+1,驗證柯西中值定理 確性.113、 兀 驗證柯西中值定理對函數(shù)f(x)=2sinx和g(x)=1-cosx在［0,—］上的正確性.2114、驗證柯西中值定理對函數(shù)/(x)=1-sin今,和g(x)=兀-x在［0,兀］上的正確性.驗證柯西中值定理對函數(shù)f(x)=x2-1和g(x)=Inx在區(qū)間［l,e］上的正確性.116、設(shè)0<a<b,f(x)在［a,b］上可導(dǎo)，試證明存在g(a<^<b),使f(b)-f(a)=纖崔)In2a117、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0<a<b),試證明存在己e(a,b),使2如f(b)-f(a)］=(b2-a2)f'◎118、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，并且滿足f'(x)>|g'(x)|>0,證明對于［a,b］上的任意兩點片,x2,有f(x2)-f(xi)>|g(xj-g(x).119、b,,f(b)卜Cf(C)-f(C).設(shè)/(x)在［a,b］上連續(xù)，可導(dǎo),b,,f(b)卜Cf(C)-f(C).b—af(a)120、設(shè)/(x)=x3,p(x)=x2+1,<x<2,驗證柯西定理的正確性.121、驗證柯西中值定理對函數(shù)'(x)=ex-1和g(x)=x+2在［0,1］上的正確性.122、試證明：當xT0時,x+ln(1-x)與-二F是等價無窮小.123、丄設(shè)f()=<ex2 ，x豐0, 試證為/(x)連續(xù)函數(shù).0 ,x=0.124、證明對于函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間［p,q］上應(yīng)用拉格朗日中值定理時所己位于區(qū)間的中點.125、驗證拉格朗日中值定理對在x)=1 ［1,2］上的正確性.x設(shè)a=一1,b>1,f(X=|x|_i(1)求證:f(X在［ab］上不滿足拉格朗日微分中值定理的條件(2若b> 求證存在乙w(ab),使f()-f(a=f(￡(ba).127、設(shè)函數(shù)/(x)在［-1,1］上可導(dǎo),且f(0)=0,|f'(x)<M,試證明在［-1,1］上,|f(x)<M,其中M是大于零的常數(shù).128、若函數(shù)f(x)在(a,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)與limf'(x)都存在，則limf'(x)=0.XT+8 xT+w xT+w129、若/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且/(a)=f(b)=0f〃(x)<0,求證，在［a,b］上,f(x)>0.130、設(shè)/(n)(x)在(-r,r)上存在，且imf(n)(x)=l,求證:f(n)(0)=l.xT0131、設(shè)f(x)定義在［0,c］,f'(x)存在且單調(diào)減少,f(0)=0,應(yīng)用拉格朗日中值證明：對于0<a<b<a+b<c恒有f(a+b)<f(a)+f(b).132、如果函數(shù)(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，則存在己w(0,1),使'憶)=2如f(1)-f(0)133、1x2COS—驗證極限lim x存在,但不能用羅必塔法則得出.xT0Sinx134、x豐0時xx豐0時x=0時設(shè)/〃(x)連續(xù),且/〃(0豐0,又設(shè)g(x)={―廠'f'(0，證明g'(x)在(-w,+w)上連續(xù).135、驗證limx+sinx存在,但不能用羅必塔法則得出.xT+wfx2+1136、驗證極限lim1+x+SinxCOSx存在,但不能用羅必塔得出.xT+wx-SinxCOSx

137、設(shè)f(x)在x=x的某鄰域內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)且f'(x)=f"(x)=…=f(n-i)(x)=0;0000f(n)(x)豐0,試證明f(x)=f(x)+ 丄(x-x)n+okx-x)nl0 0 n! 0 0138、設(shè)f(x)在［0,1］上有二階導(dǎo)數(shù),且f(0)=f(1)=0,f〃(x)|<M.求證：f(x)<￡M,xe［0,1］.139、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，可導(dǎo)，有(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且f3)=廣(b)=0試證明：存在己e(a,b),滿足|f"(糾>少If|f(b)-f(a).140、設(shè)f(x)在［a-h,a+h］上有直至4階的導(dǎo)數(shù)且'(a-h)=f(a+h)=f(a)=0,/(4)(x)<M,試證明|f"(a)<-12-h2.JL厶141、f"(x)=f"(xf"(x)=f"(x)=…=f(2k-1)(x)=0,f(2k)(x)<0,0000試證明：存在x的一個去心鄰域,在該領(lǐng)域內(nèi),f(x)<f(x).00142、設(shè)f(x)在x的某鄰域內(nèi)有2k階導(dǎo)數(shù),且f'(x)=f(x)=???=f(2k-1)(x)=0,f(2k)(x)>0.00000試證明：存在x的一個去心鄰域，在該鄰域內(nèi)，f(x)>f(x).00143、設(shè)/(x)在［a,b］上有n階導(dǎo)數(shù)且f(b)=f(a)=f(a)???=f(n-D(a)=0,試證明：至少有一點己e［a,b］使f(n)?=0144、設(shè)/(x)在x=0的鄰域內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù),且/(0)=廣(0)=f"(0)=…=f(n-1)(0)=0,f(n)(0)>0,試證明存在§>0,使在(0,5)內(nèi)f(x)>0.145、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有2k+1階導(dǎo)數(shù),且/(0)=廣(0)=f"(0)=…=f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)<0試證明必存在正數(shù)§,使在(-&0)內(nèi)f(x)>0.

146146、設(shè)f(x)二階可導(dǎo),且f"(x)豐00,又f(x)=f(x)+f't設(shè)f(x)二階可導(dǎo),且f"(x)豐00000求證lim0=-1XTx0147、設(shè)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且f〃(x)豐0若0(0<0<1)適合f(x+h)=f(x)+f(x+0h)h,試證明lim0=斗.hT0 2148、設(shè)在［1,+刈上廠(x)<0且f(1)=2,廣⑴=-3,試證明方程/(x)=0在區(qū)間(1,+8)內(nèi)有唯一實根.149、設(shè)f(x)在［0,2］上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)=1,f⑵=2廣(1)=0,證明在(0,2)內(nèi)至少有一點&使廠〃憶)>3.150、設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)且廠'(x)<0,證明/(?-/⑷<廣b-a v2丿151、設(shè)f(x)在［0,1］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且f(0)=0,f(1)=0.5,f(*)=0,證明在(0,1)內(nèi)至少有一點"野憶)>2.152、設(shè)/(x)二階可導(dǎo),且fn(x)>0,則對任意點x,當x豐x恒f(x)>f(x)+廣(x)(x-x),00000試證之.153、設(shè)f(x)在［a,b］上有二階導(dǎo)數(shù),且廠(x)>0,試用泰勒中值定理證明：對任意x,xe(a,b)(x豐x)恒有丄f(x)+f(x)］>f( ［3).12122122154、設(shè)f(x)在［a,b］上有二階導(dǎo)數(shù),且廠(x)<0(a<x<b),試證明：對任意xe(a,b)及xe［a,b］有:f(x)<f(x)+f'(x)(x-x)(x豐x).00000155、設(shè)f(x)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù),且f"(x)>0,又設(shè)x,x,…x是沖的任意n個不同的12nx=丄(x+xH Fx),試證明：丄f(x)+f(x)H Ff(x)]>f(x).0n1 2 n n1 2 n 0156、設(shè)/(x)在x的某鄰域內(nèi)有2k+1階導(dǎo)數(shù),且f'(x)=f(x)=???=f(2k)(x)=0,0000f(2k+1)(x)=A豐oO是正整數(shù))嘰x)= 丄(x豐x),o x-x o0試證明：存在x°的一個去心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)A嘰x)>0.157、設(shè)f(x)二階可導(dǎo),f''(x)>0,則任意點x,x(x<x)及適合九>0,九>0,121212九+九=1的任意九,九值都有九f(x)+九f(x)>f(九x+九x).121211221122158、證明函數(shù)y=x-sinx單調(diào)增159、證明函數(shù)y=x+arctanx單調(diào)增160、試證明函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1在區(qū)間(-2,1)內(nèi)單161、證明函數(shù)y=arctanx-x是單調(diào)減少的162、證明當x>0時，1+xln(x+v1+>x2) J1+x2163、若x>0,證明x2+ln(1+x)2>2x164、兀 x3當0<<x 時，證明tanx>+x一2 3165、兀證明:當0<x<時，cosx<1-—+—226x2當0<x<1時，證明：2167、試證當x>1時 Inxn<(xn一1) (n>0)168、設(shè)f(x)在［0,a］上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f'(x)單調(diào)增試證在(0,a］上af(x)<xf(a)169、）內(nèi)單調(diào)增設(shè)/(x)在［0,+X)上滿足f(0)=0,f''(x)>0,證明空！在(0,）內(nèi)單調(diào)增x170、證明當x證明當x>0時x3x- <smx<6171171、證明當x證明當x>0時ex>1+x172、證明當172、證明當x