統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)分布與泊松分布

第7章二項(xiàng)分布與泊松分布第1頁(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)二項(xiàng)分布與泊松分布當(dāng)前1頁(yè)，總共107頁(yè)。Theteachingplan

formedicalstudentsProfessorChengCongDept.ofPreventiveMedicineTaishanMedicalCollegeMEDICALSTATISTICS當(dāng)前2頁(yè)，總共107頁(yè)。

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師。男，1959年6月出生。漢族，無(wú)黨派。1982年12月，山東醫(yī)學(xué)院公共衛(wèi)生專業(yè)五年本科畢業(yè)，獲醫(yī)學(xué)學(xué)士學(xué)位。1994年7月，上海醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院研究生畢業(yè)，獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位。2003年12月晉升教授?，F(xiàn)任預(yù)防醫(yī)學(xué)教研室副主任。主要從事《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》、《預(yù)防醫(yī)學(xué)》，《醫(yī)學(xué)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)》等課程的教學(xué)及科研工作，每年聽(tīng)課學(xué)生600-1000人。自2000年起連續(xù)10年，為碩士研究生開(kāi)設(shè)《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》、《SPSS統(tǒng)計(jì)分析教程》、《衛(wèi)生經(jīng)濟(jì)學(xué)》等課程，同時(shí)指導(dǎo)研究生的科研設(shè)計(jì)、開(kāi)題報(bào)告及科研資料的統(tǒng)計(jì)處理與分析。發(fā)表醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)及預(yù)防醫(yī)學(xué)的科研論文50多篇。代表作有“鋅對(duì)乳癌細(xì)胞生長(zhǎng)、增殖與基因表達(dá)的影響”，，“行列相關(guān)的測(cè)度”等。主編、副主編各類教材及專著10部，代表作有《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》、《SPSS統(tǒng)計(jì)分析教程》。獲得院級(jí)科研論文及科技進(jìn)步獎(jiǎng)8項(xiàng)，院第四屆教學(xué)能手比賽二等獎(jiǎng)一項(xiàng)，院教學(xué)評(píng)建先進(jìn)工作者一項(xiàng)。獲2004年泰山醫(yī)學(xué)院首屆十大教學(xué)名師獎(jiǎng)。《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》為校級(jí)和省級(jí)精品課程。程琮教授簡(jiǎn)介當(dāng)前3頁(yè)，總共107頁(yè)?！夺t(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》目錄第1章緒論第2章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述第3章總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)第4章方差分析第5章定性資料的統(tǒng)計(jì)描述第6章總體率的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)第7章二項(xiàng)分布與Poisson分布第8章秩和檢驗(yàn)第9章直線相關(guān)與回歸第10章實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)第11章調(diào)查設(shè)計(jì)第12章統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖當(dāng)前4頁(yè)，總共107頁(yè)。第7章二項(xiàng)分布與泊松分布目錄

第二節(jié)泊松分布及其應(yīng)用

第三節(jié)兩種分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

第一節(jié)二項(xiàng)分布及其應(yīng)用當(dāng)前5頁(yè)，總共107頁(yè)。第7章二項(xiàng)分布與泊松分布學(xué)習(xí)要求掌握：二項(xiàng)分布的概念及意義。熟悉：二項(xiàng)分布的適用條件及計(jì)算方法。了解：二項(xiàng)分布的概率函數(shù)、性質(zhì)及醫(yī)學(xué)應(yīng)用。掌握：Poisson分布的概念及意義。熟悉：Poisson分布的適用條件、醫(yī)學(xué)應(yīng)用及計(jì)算方法。了解：Poisson分布的概率函數(shù)及性質(zhì)。了解：二項(xiàng)分布與Poisson分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的概念及意義。了解：常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。當(dāng)前6頁(yè)，總共107頁(yè)。第一節(jié)二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

1.二項(xiàng)分布（binominaldistribution）是一種重要的離散型分布，在醫(yī)學(xué)上常遇到屬于兩分類的資料，每一觀察單位只具有相互獨(dú)立的一種結(jié)果，如檢查結(jié)果的陽(yáng)性或陰性，動(dòng)物試驗(yàn)的生存或死亡，對(duì)病人治療的有效或無(wú)效等。一、二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件當(dāng)前7頁(yè)，總共107頁(yè)。

2.二項(xiàng)分布定義：如果已知發(fā)生某一結(jié)果（如陽(yáng)性）的概率為π，其對(duì)立結(jié)果（陰性）的概率為（1-π），且各觀察單位的觀察結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響，則從該總體中隨機(jī)抽取n例，其中出現(xiàn)陽(yáng)性數(shù)為X(X=0,1,2,3,…，n)的概率服從二項(xiàng)分布。

3.二項(xiàng)分布名稱:也稱為貝努里分布（Bernoullidistribution）或貝努里模型，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家J.Bernoulli于1713年首先闡述的概率分布。當(dāng)前8頁(yè)，總共107頁(yè)。貝努里模型應(yīng)具備下列三個(gè)基本條件。試驗(yàn)結(jié)果只出現(xiàn)對(duì)立事件A或，兩者只能出現(xiàn)其中之一。這種事件也稱為互斥事件。試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立，互不影響的。例如，一個(gè)婦女生育男孩或女孩，并不影響另一個(gè)婦女生育男孩或女孩等。每次試驗(yàn)中，出現(xiàn)事件A的概率為p，而出現(xiàn)對(duì)立事件的概率為１-p。則有總概率p+（1-p）=1。注意：1-p=q當(dāng)前9頁(yè)，總共107頁(yè)。二、二項(xiàng)分布的概率函數(shù)根據(jù)貝努里模型進(jìn)行試驗(yàn)的三個(gè)基本條件，可以求出在n次獨(dú)立試驗(yàn)下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布。X為離散型隨機(jī)變量，其可以取值為0,1,2,…,n。當(dāng)前10頁(yè)，總共107頁(yè)。2.

則X的概率函數(shù)為：X=0,1,2,…,n

(7.1)

式中：0<π<1，為組合數(shù)，公式（7.1）稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,π的二項(xiàng)分布，則記為X～B(n,π)。當(dāng)前11頁(yè)，總共107頁(yè)。三、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布是概率分布，因此它就具備概率分布的各種性質(zhì)。二項(xiàng)分布的每種組合的概率符合二項(xiàng)展開(kāi)式，其總概率等于1。（7.2）當(dāng)前12頁(yè)，總共107頁(yè)。

二項(xiàng)式展開(kāi)式實(shí)例將二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)當(dāng)前13頁(yè)，總共107頁(yè)。由公式（7.2）可看出二項(xiàng)展開(kāi)式有以下特點(diǎn)：（1）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為n+1。（2）展開(kāi)式每項(xiàng)π和（1-π）指數(shù)之和為n。（3）展開(kāi)式每項(xiàng)的指數(shù)從0到n；（1-π）的指數(shù)從n到0。當(dāng)前14頁(yè)，總共107頁(yè)。由公式（7.2）可看出二項(xiàng)展開(kāi)式有以下特點(diǎn)：

（4）二項(xiàng)分布的區(qū)間累積概率設(shè)m1≤X≤m2,m1＜m2）,則X在m1至m2區(qū)間的累積概率有：當(dāng)前15頁(yè)，總共107頁(yè)。

至多有x例陽(yáng)性的概率為：

至少有x例陽(yáng)性的概率為：X=0,1,2，…，x(7.4)

X=x，x+1，…，n(7.5)

公式（7.4）為下側(cè)累計(jì)概率，公式（7.5）為上側(cè)累計(jì)概率。當(dāng)前16頁(yè)，總共107頁(yè)。3.二項(xiàng)分布的概率分布圖形以X為橫坐標(biāo)，P（X）為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)紙上可繪出二項(xiàng)分布的圖形,由于X為離散型隨機(jī)變量，二項(xiàng)分布圖形由橫坐標(biāo)上孤立點(diǎn)的垂直線條組成。二項(xiàng)分布的圖形取決于π與n的大小。當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布趨向?qū)ΨQ，可以證明其趨向正態(tài)分布。當(dāng)前17頁(yè)，總共107頁(yè)。3.二項(xiàng)分布的概率分布圖形3.nπ的大小與分布類型:當(dāng)nπ之積大于5時(shí)，分布接近正態(tài)分布；當(dāng)nπ<5時(shí)，圖形呈偏態(tài)分布。當(dāng)π=0.5時(shí)，圖形分布對(duì)稱，近似正態(tài)。如果π≠0.5或距0.5較遠(yuǎn)時(shí)，分布呈偏態(tài)。見(jiàn)圖7-1。當(dāng)前18頁(yè)，總共107頁(yè)。圖7-1二項(xiàng)分布示意圖當(dāng)前19頁(yè)，總共107頁(yè)。4.二項(xiàng)分布的數(shù)字特征這里的數(shù)字特征主要指總體均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等參數(shù)。隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝μ。即指總體均數(shù)。μ＝nπ

當(dāng)前20頁(yè)，總共107頁(yè)。隨機(jī)變量X的方差D（X）＝σ2隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為:隨機(jī)變量X的方差及標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)前21頁(yè)，總共107頁(yè)。若X的總體均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差用率來(lái)表示，則將公式除以n,得：當(dāng)前22頁(yè)，總共107頁(yè)。四、二項(xiàng)分布展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)

二項(xiàng)分布展開(kāi)式的各項(xiàng)之前均有一個(gè)系數(shù)，用組合公式來(lái)表示。計(jì)算公式為：當(dāng)前23頁(yè)，總共107頁(yè)。楊輝三角：可用來(lái)表示二項(xiàng)式各項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)。見(jiàn)圖7-2。國(guó)外參考書(shū)習(xí)慣稱之為巴斯噶三角。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)，可直接利用楊輝三角將二項(xiàng)分布展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)寫(xiě)出來(lái)，應(yīng)用十分方便。楊輝三角當(dāng)前24頁(yè)，總共107頁(yè)。圖7-2楊輝三角模式圖當(dāng)前25頁(yè)，總共107頁(yè)。楊輝三角的意義：楊輝三角中每行有幾個(gè)數(shù)字，表示展開(kāi)式有幾項(xiàng)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為n時(shí)，有n+1項(xiàng)。楊輝三角中每行中的數(shù)字表示展開(kāi)式中每項(xiàng)的系數(shù)大小。楊輝三角中的各數(shù)字項(xiàng)及其數(shù)字的排列很有規(guī)律?？梢勒找?guī)律繼續(xù)寫(xiě)下去。第一行的第一、第二項(xiàng)均為數(shù)字１，以后每下一行的首項(xiàng)及末項(xiàng)均為１，中間各項(xiàng)為上一行相鄰兩項(xiàng)數(shù)字之和。當(dāng)前26頁(yè)，總共107頁(yè)。五、二項(xiàng)分布的應(yīng)用二項(xiàng)分布在生物學(xué)及醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，主要應(yīng)用在下列幾個(gè)方面：①總體率的可信區(qū)間估計(jì)，②率的u檢驗(yàn)：?jiǎn)螛颖炯皟蓸颖颈容^。③樣本率與總體率比較的直接計(jì)算概率法。當(dāng)前27頁(yè)，總共107頁(yè)。（一）應(yīng)用二項(xiàng)分布計(jì)算概率【例7.1】如出生男孩的概率P=0.5，出生女孩的概率為（1-P）=0.5。在一個(gè)婦產(chǎn)醫(yī)院里有3名產(chǎn)婦分娩3名新生兒，其中男孩為X=0,1,2,3的概率按公式（7.1）計(jì)算的結(jié)果列于表7-1的第（3）欄中。分析：根據(jù)題意，已知生育男孩為事件A，其概率P(A)=0.5（即π=0.5）；生育女孩為事件B

，其概率為P(B)=1-P(A)=1-0.5＝0.5（即1-π=0.5）。當(dāng)前28頁(yè)，總共107頁(yè)。生男生女的概率當(dāng)前29頁(yè)，總共107頁(yè)。

三個(gè)婦女生育一個(gè)男孩，兩個(gè)女孩的概率為：

三個(gè)婦女生育均為女孩（即無(wú)男孩）的概率為：余類推，見(jiàn)表7-1第（3）欄。表7-1第（5）欄為至少生育X個(gè)男孩的累積概率。當(dāng)前30頁(yè)，總共107頁(yè)。(二)樣本率與總體率比較的直接概率法

此法適用nP和n(1-P)均小于5的情形。應(yīng)注意：①當(dāng)樣本率大于總體率時(shí)，應(yīng)計(jì)算大于等于陽(yáng)性人數(shù)的累積概率。即上側(cè)概率。②當(dāng)樣本率小于總體率時(shí)，應(yīng)計(jì)算小于等于陽(yáng)性人數(shù)的累積概率。即下側(cè)概率。當(dāng)前31頁(yè)，總共107頁(yè)。

【例7.2】A藥治療某病的有效率為80％。對(duì)A藥進(jìn)行改進(jìn)后，用改進(jìn)型A藥繼續(xù)治療病人，觀察療效。①如果用改進(jìn)型A藥治療20例病人，19例有效。②如果用改進(jìn)型A藥治療30例病人，29例有效。試分析：上述二種情形下，改進(jìn)型A藥是否療效更好。當(dāng)前32頁(yè)，總共107頁(yè)。【分析】A藥有效率為80％，可以作為總體率，即π0＝0.8。治療20例病人的樣本有效率為（19／20）×100％＝95％；治療30例病人的樣本有效率為（29／30）×100％＝96.67％。兩個(gè)樣本率均大于總體率80％，故應(yīng)計(jì)算大于等于有效例數(shù)的單側(cè)累積概率（上側(cè)）。當(dāng)前33頁(yè)，總共107頁(yè)。情形一：治療20例病人的療效分析（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：π＝π0＝0.80；H1:π＞π0

＝0.80

單側(cè)α＝0.05（2）計(jì)算概率值根據(jù)二項(xiàng)分布有：=0.0548+0.0115=0.0663當(dāng)前34頁(yè)，總共107頁(yè)。（3）推斷結(jié)論

本例P＝0.0663,在＝0.05水準(zhǔn)上,不拒絕H0。尚不能認(rèn)為改進(jìn)型A藥的療效優(yōu)于原A藥。當(dāng)前35頁(yè)，總共107頁(yè)。

治療30例病人的療效分析

（1）檢驗(yàn)假設(shè)同情形一。

（2）計(jì)算單側(cè)累積概率有：=0.008975+0.001238=0.0102情形二：治療30例病人的療效分析當(dāng)前36頁(yè)，總共107頁(yè)。（3）推斷結(jié)論本例P＝0.0102,在＝0.05水準(zhǔn)上,拒絕H0,接受H1?？梢哉J(rèn)為改進(jìn)型A藥的療效優(yōu)于原A藥。

注意：治療20例病人的有效率為95％，治療30例病人的有效率為96.67％，兩個(gè)樣本有效率很接近。但最終得出的結(jié)論卻不相同。臨床上觀察療效，樣本含量不能太小。樣本含量大，療效穩(wěn)定性及可靠性相應(yīng)增加，受到偶然因素影響的機(jī)會(huì)變得較小。當(dāng)前37頁(yè)，總共107頁(yè)?！痉治觥?本例總體率π＝1％。調(diào)查人群樣本反應(yīng)率為P=（1／300）×100％＝0.33％。由于樣本率小于總體率，故應(yīng)計(jì)算小于等于陽(yáng)性人數(shù)的累積概率。【例7.3】一般人群對(duì)B藥的副作用反應(yīng)率為1％。調(diào)查使用B藥者300人，其中只有1人出現(xiàn)副作用。問(wèn)該調(diào)查人群對(duì)B藥的副作用反應(yīng)率是否低于一般人群。當(dāng)前38頁(yè)，總共107頁(yè)。（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：調(diào)查人群反應(yīng)率與一般人群相同，

π＝π0＝0.01

H1:調(diào)查人群反應(yīng)率低于一般人群，

π<π0

＝0.01

單側(cè)α＝0.05當(dāng)前39頁(yè)，總共107頁(yè)。（2）計(jì)算單側(cè)累積概率:（3）推斷結(jié)論本例P＝0.1976,在α＝0.05水準(zhǔn)上,不拒絕H0。尚不能認(rèn)為調(diào)查人群的B藥副作用反應(yīng)率低于一般人群。當(dāng)前40頁(yè)，總共107頁(yè)。第二節(jié)Poisson分布及其應(yīng)用(一)Poisson分布的概念Poisson分布由法國(guó)數(shù)學(xué)家在1837年提出。該分布也稱為稀有事件模型，或空間散布點(diǎn)子模型。在生物學(xué)及醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，某些現(xiàn)象或事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)或概率很小，這種事件稱為稀有事件或罕見(jiàn)事件。稀有事件出現(xiàn)的概率分布服從Poisson分布。一、Poisson分布的概念及應(yīng)用條件當(dāng)前41頁(yè)，總共107頁(yè)。

如果稀有事件A在每個(gè)單元（設(shè)想為n次試驗(yàn)）內(nèi)平均出現(xiàn)λ次，那么在一個(gè)單元（n次）的試驗(yàn)中，稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布服從Poisson分布。Poisson分布的直觀描述當(dāng)前42頁(yè)，總共107頁(yè)。Poisson分布屬于離散型分布。在Poisson分布中，一個(gè)單元可以定義為是單位時(shí)間，單位面積，單位體積或單位容積等。如每天8小時(shí)的工作時(shí)間，一個(gè)足球場(chǎng)的面積，一個(gè)立方米的空氣體積，1升或1毫升的液體體積,培養(yǎng)細(xì)菌的一個(gè)平皿，一瓶礦泉水等都可以認(rèn)為是一個(gè)單元。一個(gè)單元的大小往往是根據(jù)實(shí)際情況或經(jīng)驗(yàn)而確定的。若干個(gè)小單元亦可以合并為一個(gè)大單元。當(dāng)前43頁(yè)，總共107頁(yè)。(二)常見(jiàn)Poisson分布的資料（牢記）

實(shí)際工作中，判定一個(gè)變量是否服從Poisson分布仍然主要依靠經(jīng)驗(yàn)以及以往累積的資料。常見(jiàn)Poisson分布資料有：產(chǎn)品抽樣中極壞品出現(xiàn)的次數(shù)；槍打飛機(jī)擊中的次數(shù)；患病率較低的非傳染性疾病在人群中的分布；奶中或飲料中的病菌個(gè)數(shù)；自來(lái)水中的細(xì)菌個(gè)數(shù)；空氣中的細(xì)菌個(gè)數(shù)及真菌飽子數(shù)；自然環(huán)境下放射的粒子個(gè)數(shù)；當(dāng)前44頁(yè)，總共107頁(yè)。布朗顆粒數(shù)；三胞胎出生次數(shù)；正式印刷品中錯(cuò)誤符號(hào)的個(gè)數(shù)；通訊中錯(cuò)誤符號(hào)的個(gè)數(shù)；人的自然死亡數(shù)；環(huán)境污染中畸形生物的出現(xiàn)情況；連體嬰兒的出現(xiàn)次數(shù)；野外單位面積某些昆蟲(chóng)的隨機(jī)分布；單位容積內(nèi)細(xì)胞的個(gè)數(shù)；單位空氣中的灰塵個(gè)數(shù)；平皿中培養(yǎng)的細(xì)菌菌落數(shù)等。當(dāng)前45頁(yè)，總共107頁(yè)。二、Poisson分布的概率函數(shù)及性質(zhì)㈠定義若變量X的概率函數(shù)為

其中λ＞0，則稱X服從參數(shù)為λ的Poisson分布。記為X～P(λ)。式中：λ為總體均數(shù)，λ＝nπ或λ=np；X為稀有事件發(fā)生次數(shù)；e為自然底數(shù)，即e=2.71828。（X=0,1,2,…）當(dāng)前46頁(yè)，總共107頁(yè)。亦可用下列公式計(jì)算當(dāng)前47頁(yè)，總共107頁(yè)。(二)Poisson分布的性質(zhì)1.所有概率函數(shù)值（無(wú)窮多個(gè)）之和等于1，即2.分布函數(shù)（X=0,1,2,…x）

當(dāng)前48頁(yè)，總共107頁(yè)。（0≤x1＜x2）3.累積概率4.其它性質(zhì)總體均數(shù):方差：標(biāo)準(zhǔn)差：μ＝λ＝nπ(或np)σ2＝λ當(dāng)前49頁(yè)，總共107頁(yè)。（三）Poisson分布的圖形

Poisson分布的圖形：取決于λ值的大小。λ值愈小，分布愈偏；λ值愈大，分布愈趨于對(duì)稱。當(dāng)λ＝20時(shí)，分布接近正態(tài)分布。此時(shí)可按正態(tài)分布處理資料。當(dāng)λ＝50時(shí)，分布呈正態(tài)分布。見(jiàn)圖7-3。這里通過(guò)計(jì)算一個(gè)具體實(shí)例來(lái)觀察Poisson分布的概率分布趨勢(shì)。當(dāng)前50頁(yè)，總共107頁(yè)。圖7-3Poisson分布的概率分布圖當(dāng)前51頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.4】計(jì)算Poisson分布X～P(3.5)的概率。當(dāng)前52頁(yè)，總共107頁(yè)。余類推。經(jīng)計(jì)算得到一系列數(shù)據(jù)，見(jiàn)表7-2。當(dāng)前53頁(yè)，總共107頁(yè)。（四）Poisson分布的可加性從同一個(gè)服從Poisson分布的總體中抽取若干個(gè)樣本或觀察單元，分別取得樣本計(jì)數(shù)值X1，X2，X3，…，Xn，則∑Xi仍然服從Poisson分布。根據(jù)此性質(zhì)，若抽樣時(shí)的樣本計(jì)數(shù)X值較小時(shí)，可以多抽取幾個(gè)觀察單元，取得計(jì)數(shù)Xi,將其合并以增大X計(jì)數(shù)值。當(dāng)前54頁(yè)，總共107頁(yè)。三、Poisson分布與二項(xiàng)分布的比較Poisson分布也是以貝努里模型為基礎(chǔ)的。實(shí)際上，Poisson分布是二項(xiàng)分布的一種特殊情形，即稀有事例A出現(xiàn)的概率很小，而試驗(yàn)次數(shù)n很大，也可將試驗(yàn)次數(shù)n看作是一個(gè)單元。此時(shí)，n或np=λ為一個(gè)常數(shù)，二項(xiàng)分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。設(shè)λ＝1。當(dāng)n=100,π=0.01時(shí)，及n=1000,π=0.001時(shí)，按照二項(xiàng)分布及Poisson分布計(jì)算概率P（X）。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-3。當(dāng)前55頁(yè)，總共107頁(yè)。二項(xiàng)分布與Poisson分布計(jì)算的概率值比較當(dāng)前56頁(yè)，總共107頁(yè)。余類推。1.按二項(xiàng)分布計(jì)算已知：n=100,π=0.01,1－π=0.99，代入公式有：當(dāng)前57頁(yè)，總共107頁(yè)。2.按Poisson分布計(jì)算代入公式有：余類推。當(dāng)前58頁(yè)，總共107頁(yè)。四、Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布有多種用途。主要包括總體均數(shù)可信區(qū)間的估計(jì)，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較，兩樣本均數(shù)的比較等。應(yīng)用Poisson分布處理醫(yī)學(xué)資料時(shí)，一定要注意所處理資料的特點(diǎn)和性質(zhì)，資料是否服從Poisson分布。當(dāng)前59頁(yè)，總共107頁(yè)。（一）總體均數(shù)的估計(jì)

總體均數(shù)的估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)：是指由樣本獲得的稀有事件A出現(xiàn)的次數(shù)X值，作為總體均數(shù)的估計(jì)值。該法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，但缺點(diǎn)是無(wú)法得知樣本代表總體均數(shù)的可信程度。區(qū)間估計(jì)：可以確切獲知總體均數(shù)落入一個(gè)區(qū)域的可信度，一般可信度取95％或99％。當(dāng)前60頁(yè)，總共107頁(yè)。

估計(jì)總體均數(shù)可信區(qū)間一般分為小樣本法和大樣本法。1.小樣本法當(dāng)樣本均數(shù)或樣本計(jì)數(shù)值X≤50時(shí)，可直接查附表9，“Poisson分布的可信區(qū)間”表，得到可信區(qū)間。當(dāng)樣本均數(shù)X＞50時(shí)，Poisson分布近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布處理資料。

當(dāng)前61頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.5】在20ml的當(dāng)歸浸液中含某種顆粒30個(gè)。試分析該單元浸液中總體顆粒數(shù)的95％和99％的可信區(qū)間。

【分析】將20ml當(dāng)歸浸液看作一個(gè)單元，該單元的樣本均數(shù)X＝30，小于50?？刹楦奖?，求出總體均數(shù)λ的可信區(qū)間。

用查表法：查附表9(205頁(yè))得：總體均數(shù)λ95％的可信區(qū)間為：（20.2,42.8）總體均數(shù)λ99％的可信區(qū)間為：（17.7,47.2）

當(dāng)前62頁(yè)，總共107頁(yè)。2.正態(tài)近似法當(dāng)樣本均數(shù)或計(jì)數(shù)X＞50時(shí)，可按正態(tài)分布法處理?？傮w均數(shù)λ95％和99%的可信區(qū)間為當(dāng)前63頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.6】某防疫站檢測(cè)某天然水庫(kù)中的細(xì)菌總數(shù)。平均每毫升288個(gè)細(xì)菌菌落。求該水體每毫升細(xì)菌菌落的95％和99％的可信區(qū)間。λ95％的可信區(qū)間

λ99％的可信區(qū)間當(dāng)前64頁(yè)，總共107頁(yè)。(1)發(fā)病人數(shù)的95％可信區(qū)間為：【例7.7】調(diào)查1985年某市某區(qū)30萬(wàn)人，流行性出血熱發(fā)病人數(shù)為204人。求該市發(fā)病人數(shù)及發(fā)病率（1／10萬(wàn)）95％的可信區(qū)間?！痉治觥恳阎獦颖揪鶖?shù)X為204人，觀察單元n＝30萬(wàn)人。先計(jì)算出發(fā)病人數(shù)的可信區(qū)間，再按照發(fā)病率的要求以10萬(wàn)人作為觀察單元，計(jì)算發(fā)病率可信區(qū)間的上下限值。當(dāng)前65頁(yè)，總共107頁(yè)。

發(fā)病率的95％可信區(qū)間為：下限值：上限值：當(dāng)前66頁(yè)，總共107頁(yè)。（二）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較

常用的方法有兩種。

①直接計(jì)算概率法：與二項(xiàng)分布的計(jì)算思路基本相同。即當(dāng)λ＜20時(shí)，按Poisson分布直接計(jì)算概率值。

②正態(tài)近似法：當(dāng)λ≥20時(shí)，Poisson分布接近正態(tài)分布。按正態(tài)分布使用u檢驗(yàn)處理資料。當(dāng)前67頁(yè)，總共107頁(yè)。1.直接計(jì)算概率法【例7.8】某地區(qū)以往胃癌發(fā)病率為1／萬(wàn)。現(xiàn)在調(diào)查10萬(wàn)人，發(fā)現(xiàn)3例胃癌病人。試分析該地區(qū)現(xiàn)在的胃癌發(fā)病率是否低于以往的發(fā)病率。

H0:現(xiàn)在胃癌發(fā)病率與以往相同，π＝π0=0.0001H1：現(xiàn)在胃癌發(fā)病率低于以往，π<π0

單側(cè)α＝0.05當(dāng)前68頁(yè)，總共107頁(yè)。（2）計(jì)算概率值

已知：n=100000，π=0.0001，

λ0＝nπ0=100000×0.0001=10。根據(jù)題意，應(yīng)計(jì)算小于等于3人發(fā)病的概率

P（X≤3），即：P（X≤3）＝P(0)＋P(1)+P(2)+P(3)

應(yīng)用公式（7.14）及（7.15）有：當(dāng)前69頁(yè)，總共107頁(yè)。計(jì)算結(jié)果當(dāng)前70頁(yè)，總共107頁(yè)。（3）推斷結(jié)論本例P＝0.0103，小于P＝0.05。在α＝0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1?？梢哉J(rèn)為現(xiàn)在該地區(qū)胃癌發(fā)病率低于以往發(fā)病率。當(dāng)前71頁(yè)，總共107頁(yè)。2．正態(tài)近似法當(dāng)λ≥20時(shí)，用u檢驗(yàn)法。當(dāng)前72頁(yè)，總共107頁(yè)。實(shí)例分析（1）

【例7.9】根據(jù)醫(yī)院消毒衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，細(xì)菌總數(shù)按每立方米菌落形成單位（CFU／m3）表示。無(wú)菌間的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)為細(xì)菌菌落數(shù)應(yīng)不大于200（CFU／m3）。某醫(yī)院引進(jìn)三氧消毒機(jī)，每天自動(dòng)對(duì)無(wú)菌間進(jìn)行2小時(shí)消毒。對(duì)無(wú)菌間抽樣調(diào)查顯示，細(xì)菌總數(shù)為121CFU／m3。試問(wèn)該醫(yī)院無(wú)菌間的細(xì)菌總數(shù)是否符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)。【分析】若低于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)即符合標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到要求。當(dāng)前73頁(yè)，總共107頁(yè)。

(1)建立檢驗(yàn)假設(shè)H0:無(wú)菌間的細(xì)菌總數(shù)符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，λ=λ0=200H1:無(wú)菌間的細(xì)菌總數(shù)低于國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，λ<λ0單側(cè)α＝0.05（2）計(jì)算u值：已知：λ0＝200CFU／m3,X＝121CFU／m3，代入公式（7.23）有：當(dāng)前74頁(yè)，總共107頁(yè)。(3)確定P值單側(cè)u0.05=1.64,現(xiàn)u>1.64,故P<0.05。

⑷推斷結(jié)論因P<0.05，拒絕H0,接受H1,差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。可以認(rèn)為該醫(yī)院無(wú)菌間的細(xì)菌總數(shù)符合（低于）國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)。

注意：不超過(guò)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)數(shù)就是符合標(biāo)準(zhǔn)。具體問(wèn)題要分析。當(dāng)前75頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.10】某地區(qū)以往惡性腫瘤發(fā)病率為126.98／10萬(wàn)人。今調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)惡性腫瘤發(fā)病率上升為148.62/10萬(wàn)人。試分析現(xiàn)在的發(fā)病率是否高于以往的發(fā)病率?！痉治觥看藶閱蝹?cè)檢驗(yàn)。

實(shí)例分析（2）當(dāng)前76頁(yè)，總共107頁(yè)。（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)H0:現(xiàn)在的發(fā)病率與以往的發(fā)病率相同，

λ＝λ0＝126.98H1:現(xiàn)在的發(fā)病率高于以往的發(fā)病率，λ＞λ0單側(cè)α＝0.05（2）計(jì)算u值：當(dāng)前77頁(yè)，總共107頁(yè)。

（3）確定P值本例u=1.92，大于單側(cè)u0.05=1.64,則P＜0.05。

（4）推斷結(jié)論在α＝0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

結(jié)論：可以認(rèn)為該地區(qū)惡性腫瘤發(fā)病率高于以往的發(fā)病率。當(dāng)前78頁(yè)，總共107頁(yè)。（三）兩樣本均數(shù)的比較

應(yīng)用條件：資料服從Poisson分布，兩個(gè)樣本均數(shù)X1及X2均大于20。1．兩樣本觀察單元相同觀察單元可以指單位面積、容積、體積、時(shí)間等。注意：Poisson分布中的觀察單元具有可加性，如∑X1和∑X2。檢驗(yàn)公式為：當(dāng)前79頁(yè)，總共107頁(yè)。【例7.11】調(diào)查某風(fēng)景名勝區(qū)不同地點(diǎn)的負(fù)離子狀況。海拔較高的山上風(fēng)景點(diǎn)負(fù)離子數(shù)為240個(gè)／cm3。該景區(qū)商業(yè)區(qū)的百貨大樓內(nèi)的負(fù)離子數(shù)為146個(gè)／cm3。試分析該風(fēng)景區(qū)兩個(gè)不同地點(diǎn)負(fù)離子狀況有無(wú)差異?！痉治觥繂挝惑w積中的負(fù)離子個(gè)數(shù)，服從泊松分布。可使用兩均數(shù)的比較。用雙側(cè)檢驗(yàn)。實(shí)例（1）當(dāng)前80頁(yè)，總共107頁(yè)。(1)建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0:兩地點(diǎn)負(fù)離子狀況相同，λ1＝λ2H1:兩地點(diǎn)負(fù)離子狀況不同，λ1≠λ2

雙側(cè)α＝0.05（2）計(jì)算u值:當(dāng)前81頁(yè)，總共107頁(yè)。(3)確定P值雙側(cè)：u0.05=1.96，

現(xiàn)u>1.96,故P<0.05。

⑷推斷結(jié)論因P<0.05，拒絕H0,接受H1,差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

結(jié)論：可以認(rèn)為該風(fēng)景區(qū)兩個(gè)不同地點(diǎn)的空氣負(fù)離子狀況有差異。海拔較高的風(fēng)景點(diǎn)空氣狀況要好于百貨大樓。當(dāng)前82頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.12】調(diào)查某地區(qū)人群死亡狀況。結(jié)果顯示，男性及女性的意外死亡率分別為62人／10萬(wàn)人和72人／10萬(wàn)人。試分析男女意外死亡率有無(wú)差異。【分析】該資料服從Poisson分布，每10萬(wàn)人可以作為一個(gè)觀察單元?？蓱?yīng)用兩樣本均數(shù)比較。實(shí)例（2）當(dāng)前83頁(yè)，總共107頁(yè)。檢驗(yàn)步驟（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：男女意外死亡率相等，

H1：男女意外死亡率不相等，

α=0.05（2）計(jì)算u值：當(dāng)前84頁(yè)，總共107頁(yè)。(3）確定P值，推斷結(jié)論本例u=0.86,小于u0.05=1.96,則P＞0.05。在α＝0.05水準(zhǔn)上，不拒絕H0，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

結(jié)論：可以認(rèn)為男女性意外死亡率無(wú)差異。當(dāng)前85頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.13】某醫(yī)院檢測(cè)某一病房消毒前后的細(xì)菌菌落數(shù)（CFU／m3）。消毒前后均檢測(cè)9次。消毒前的菌落數(shù)為18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落數(shù)為5，4，5，6，7，2，3，2，1。試分析該病房消毒前后的衛(wèi)生狀況有無(wú)差異?！痉治觥吭撡Y料服從Poisson分布。根據(jù)Poisson分布的可加性，將9次取樣的菌落數(shù)相加為一個(gè)觀察單元。消毒前為∑X1＝72；消毒后為∑X2＝35。實(shí)例（3）當(dāng)前86頁(yè)，總共107頁(yè)。（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：消毒前后菌落數(shù)相等，λ1=λ2

H1：消毒前后菌落數(shù)不等，λ1≠λ2

α=0.05（2）計(jì)算u值：應(yīng)用公式（7.24）有：檢驗(yàn)步驟當(dāng)前87頁(yè)，總共107頁(yè)。（3）確定P值，推斷結(jié)論本例u=3.58，大于u0.05=2.58，則P＜0.01。在α＝0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1。

結(jié)論：可以認(rèn)為該病房消毒前后的衛(wèi)生狀況不同。消毒后的細(xì)菌菌落數(shù)減少，衛(wèi)生狀況得到改善。當(dāng)前88頁(yè)，總共107頁(yè)。當(dāng)兩樣本觀察單元不同時(shí)，不可直接比較或直接相加后進(jìn)行比較。可以將兩樣本觀察單元先轉(zhuǎn)化為相等的觀察單元后，再應(yīng)用公式進(jìn)行比較。一般可計(jì)算兩樣本均數(shù)和，再按下式計(jì)算u值。2．兩樣本觀察單元不同當(dāng)前89頁(yè)，總共107頁(yè)?！纠?.14】某防疫站檢驗(yàn)?zāi)成虉?chǎng)的兩種品牌的礦泉水。檢測(cè)每ml的細(xì)菌總數(shù)（CFU／ml）。品牌A抽查4瓶，結(jié)果為132，156，182，143；品牌B抽查6瓶，結(jié)果為313，298，356，384，348,306。試分析A、B兩種品牌礦泉水的細(xì)菌總數(shù)有無(wú)差異?！痉治觥勘纠^察單元不相同，可以先求出均數(shù)。使觀察單元相同。檢驗(yàn)步驟實(shí)例（4）當(dāng)前90頁(yè)，總共107頁(yè)。品牌A的均數(shù)品牌B的均數(shù)求平均觀察單元的均數(shù)當(dāng)前91頁(yè)，總共107頁(yè)。（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：兩種品牌礦泉水菌落數(shù)相等,λ1=λ2

H1：兩種品牌礦泉水菌落數(shù)不等,λ1≠λ2

取雙側(cè)：α=0.05（2）計(jì)算u值：應(yīng)用公式（7.25）有：檢驗(yàn)步驟當(dāng)前92頁(yè)，總共107頁(yè)。（3）確定P值，推斷結(jié)論本例u=18.66,大于u0.01=2.58，則P＜0.01。結(jié)論：可以認(rèn)為A、B兩種品牌礦泉水受細(xì)菌污染程度不同。其中品牌B礦泉水的污染程度較高。當(dāng)前93頁(yè)，總共107頁(yè)。（四）多個(gè)樣本均數(shù)的比較

當(dāng)比較的樣本為結(jié)論兩個(gè)以上時(shí)，可進(jìn)行多樣本均數(shù)或樣本計(jì)數(shù)值的檢驗(yàn)。使用的方法為卡方檢驗(yàn)。1.首先計(jì)算觀察單元的均數(shù)估計(jì)值。符號(hào)“∧”讀作“hat”。英文為“帽子”之義。式中：X1，X2，…，Xn為樣本計(jì)數(shù)值，u1,u2,…，un為觀察單元值。當(dāng)前94頁(yè)，總共107頁(yè)。2.將樣本計(jì)數(shù)值Xi（即X1，X2，…，Xn）轉(zhuǎn)換為Zi值。公式為：當(dāng)前95頁(yè)，總共107頁(yè)。3.計(jì)算值X2值：自由度υ＝組數(shù)-1當(dāng)前96頁(yè)，總共107頁(yè)。【例7.15】某醫(yī)院對(duì)三個(gè)病房進(jìn)行空氣采樣，檢測(cè)細(xì)菌污染狀況。細(xì)菌總數(shù)用每立方米菌落形成單元（CFU／m3）來(lái)表示。檢測(cè)結(jié)果如下。病房A為168CFU／m3，病房B為131CFU／m3，病房C為630CFU／2m3。試分析三個(gè)病房的細(xì)菌污染狀況有無(wú)差異?！痉治觥繎?yīng)注意病房A與B的觀察單元為1個(gè)m3，病房C的觀察單元?jiǎng)t為2個(gè)m3，可以看作為2個(gè)觀察單元。實(shí)例分析（5）當(dāng)前97頁(yè)，總共107頁(yè)。(1)建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0:三個(gè)病房