楊輝三角的研究課課件

楊輝三角的研究課11111111111332446551010復(fù)習(xí)1、什么是楊輝三角？111121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025221012045101111551653304624623301655511111266220495792924792495220661211137828671512871716171612877152867813111491364100120023003343230032002100136491141

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楊輝，杭州錢塘人。中國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家．著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除算法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷．其中后三種合稱《楊輝算法》，朝鮮、日本等國(guó)均有譯本出版，流傳世界。

“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中，此書還說明表內(nèi)除“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和．楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它，這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)．在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角．這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．4．觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，及有趣的數(shù)字排列規(guī)律（1）計(jì)算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行問題前n項(xiàng)（含第0行）所有數(shù)的和與第n行所有數(shù)的有何關(guān)系？結(jié)論:(1)第n行數(shù)字的和為2n．(2)前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．（2）斜看楊輝三角中各數(shù)的和，又有何規(guī)律？（3）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)這就是著名的斐波那契數(shù)列．介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強(qiáng)趣味性中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味的問題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．(4)楊輝三角與彈子游戲在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？“概率三角形”照這樣計(jì)算第n+1層有n+1個(gè)通道，彈子通過各通道的概率將是？與楊輝三角有何關(guān)系？介紹我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚

華羅庚（1910-1985）是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，是我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家最杰出的代表。撰寫了不少高質(zhì)量的10部專著、200篇論文和10余部科普著作。由于他的貢獻(xiàn)，有許多定理、引理、不等式與方法等都用他的名字命名．為了推廣優(yōu)選法，華羅庚帶領(lǐng)小分隊(duì)去二十七個(gè)省市普及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法達(dá)二十年之久，取得了明顯的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)作出了重大貢獻(xiàn)．在他的科普著作《從楊輝三角談起》中，對(duì)楊輝三角的構(gòu)成，提出了上述有趣的看法．（5）楊輝三角與“縱橫路線圖”“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB

由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系→通過“楊輝三角”了解古代數(shù)學(xué)家楊輝，通過“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚，增強(qiáng)愛國(guó)情感。→系統(tǒng)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律，培養(yǎng)觀察、探究及創(chuàng)新能力。→展示部分探究成果，相互交流學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好習(xí)慣。5．教學(xué)小結(jié)：第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………（04.上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_____行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為6．作業(yè)347、閱讀材料事實(shí)上，歷史上有關(guān)本三角形的最早記載，既不在法國(guó)，也不在中國(guó)，而在古印度。

ThefirstreferencetothistriangleoccursinIndianmathematician

Pingala'sbookonSanskritpoeticsthatmaybeasearlyas450BCasMeru-prastaara,the"staircaseofMountMeru".ThecommentatorsofthisbookwerealsoawarethattheshallowdiagonalsofthetrianglesumtotheFibonaccinumbers.ItwasknowntoChineseandIslamicscholarsinmedievaltimes.Itissaidthatthetrianglewascalled"YangHui'striangle"bytheChinese.Severaltheoremsrelatedtothetrianglewereknown,includingthebinomialtheorem.InItaly,itisreferredtoas"Tartaglia'striangle",namedfortheItalianalgebraistNiccoloFontanaTartagliawholivedacenturybeforePascal;Tartagliaiscreditedwiththegeneralformulaforsolvingcubicpolynomials.）

Inmoderntimes,Pascal'striangletakesitsnamefromtheTraitédutrianglearithmétique(1655)b