2023年人教版初中八年級數(shù)學人教版上冊【能力培優(yōu)】13.3等腰三角形 13.4課題學習 最短路徑問題（含答案）

2023年人教版初中八年級數(shù)學13.3等腰三角形13.4課題學習最短路徑問題專題一等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合應用1．如圖在△ABC中，BF、CF是角平分線，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，DE經(jīng)過點F．結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長=AB+AC；④BF=CF．其中正確的是___________．(填序號)2．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)；

（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？

（4）請你猜想：當∠A為多少度時，∠EDF+∠EFD=120°，并請說明理由．3．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．

（1）請你寫出圖中所有的等腰三角形；

（2）請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．

（3）如果BC=10，求AB+AE的長．專題二等邊三角形的性質(zhì)和判定4．如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，點P是AB上一動點，連接OP，以O為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO=PD，那么AP的長是__________．5．如圖．在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；

（2）線段BD、DE、EC三者有什么關系？寫出你的判斷過程．6．如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

（1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？

（2）點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

（3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運動的時間．專題三最短路徑問題7．如圖，A、B兩點分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直線b表示輸煤氣總管道．現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設一個連接點，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短．圖中，點A′是點A關于直線b的對稱點，A′B分別交b、a于點C、D；點B′是點B關于直線a的對稱點，B′A分別交b、a于點E、F．則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點依次是（）A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E8．如圖，現(xiàn)準備在一條公路旁修建一個倉儲基地，分別給、兩個超市配貨，那么這個基地建在什么位置，能使它到兩個超市的距離之和最小?(保留作圖痕跡及簡要說明)[來源:]狀元筆記【知識要點】1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)．3．等邊三角形的性質(zhì)和判定方法性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．判定方法2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．4．直角三角形的性質(zhì)[來源:]在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【溫馨提示】1．“等邊對等角”和“等角對等邊”只限于在同一個三角形中，在兩個三角形中時，上述結論不一定成立．2．在應用直角三角形的性質(zhì)時應注意以下兩點：(1)必須是在直角三角形中；(2)必須有一個銳角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性質(zhì)是證明兩個角相等的重要方法，當要證明同一個三角形的兩個內(nèi)角相等時，可嘗試用“等邊對等角”．2．等腰三角形的判定是證明線段相等的一個重要方法，當要證明位于同一個三角形的兩條線段相等時，可嘗試用“等角對等邊”．3．利用軸對稱可以解決幾何中的最值問題，本方法的實質(zhì)是依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊．參考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．綜上所述，命題①②③正確．2．解：(1)證明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．[來源:](2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：當∠A=60°時，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．

（2）AD與BE垂直．

證明：∵BE為∠ABC的平分線，

∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，

∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．

∴A、D是對稱點．

∴AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，

∴AE=DE．

在Rt△ABE和Rt△DBE中，

∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．

∴AB=BD．

又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，

∴△DCE為等腰直角三角形．

∴DE=DC．

即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6解析：連接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等邊三角∵∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等邊三角形，

其理由是：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．

∴△ODE是等邊三角形．

（2）BD=DE=EC．

其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°．

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°．

∴∠DBO=∠DOB．

∴DB=DO．

同理，EC=EO．

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．6．解：（1）設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12．

（2）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，

∵三角形△AMN是等邊三角形，

∴t=12－2t．

解得t=4．

∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形△AMN．

（3）當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，

如圖②，假設△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM．

∴∠AMN=∠ANM．

∴∠AMC=∠ANB．

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等邊三角形．

∴∠C=∠B．

在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN．

∴CM=BN．

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．

y－12=36－2y，

解得：y=16．故假設成立．

∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以