2022-2023學(xué)年山東省臨沂市第十九中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市第十九中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線在點(diǎn)（1，－2）處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．【詳解】因?yàn)?，所以，故所求切線的傾斜角為．故選：B．2．經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是（）A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0【答案】A【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線3x－2y＋5＝0的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可求出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線3x－2y＋5＝0的斜率為，所以所求直線l的方程為，化為一般式，得6x－4y－3＝0.故選：A.3．若等差數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化，，求出、的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，得，同理可得，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差中項(xiàng)求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為6，若點(diǎn)滿足，則（

）A．6 B．4 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出到左焦點(diǎn)的距離以及代入橢圓方程中解得的坐標(biāo)，由得到為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出即可．【詳解】解：由橢圓得，，左焦點(diǎn)，設(shè)，則又解得或（舍去）；又在橢圓上，則將代入到橢圓方程中求出，所以點(diǎn)，；由點(diǎn)滿足，則得為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，所以故選：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，同時(shí)也考查學(xué)生掌握向量的運(yùn)用法則及向量模的求法，屬于中檔題．5．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率，再由與直線垂直斜率乘積為可得答案.【詳解】，，切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以，解得.故選：D.6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將用表示，用表示，再利用向量法求解即可.【詳解】解：在正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，，因?yàn)镸，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以，且，則，所以，即直線AM和CN夾角的余弦值為.故選：A.7．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，Q為弦的中點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出直線AB的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義，借助幾何意義求解作答.【詳解】拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，直線AB的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，，則，弦中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)，如圖，令交拋物線于點(diǎn)P，在拋物線上任取點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連接，即有，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與P重合時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B8．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.二、多選題9．已知雙曲線C：，下列對(duì)雙曲線C判斷正確的是（）A．實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍 B．焦距為4C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c，可以求出實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距、離心率、漸近線方程，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】∵雙曲線C：∴..∴∴.∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是，虛軸長(zhǎng)是，A錯(cuò)誤；焦距為.B正確；離心率為，C錯(cuò)誤：漸近線方程為，D正確.故選：BD10．已知兩圓方程為與，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若兩圓外切，則B．若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為，則D．若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則【答案】AB【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑.設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑..A選項(xiàng)，若兩圓外切，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)，滿足兩圓相交，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11．已知平面上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使，則稱(chēng)該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】所給直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離能否取，可通過(guò)求各直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離，即點(diǎn)到直線的距離來(lái)分析，分別求出定點(diǎn)到各選項(xiàng)的直線的距離，判斷是否小于或等于4，即可得出答案.【詳解】所給直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離能否取，可通過(guò)求各直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離，即點(diǎn)到直線的距離來(lái)分析．A．因?yàn)?，故直線上不存在點(diǎn)到距離等于，不是“切割型直線”；B．因?yàn)?，所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)，使之到點(diǎn)距離等于，是“切割型直線”；C．因?yàn)?，直線上存在一點(diǎn)，使之到點(diǎn)距離等于，是“切割型直線”；D．因?yàn)?，故直線上不存在點(diǎn)到距離等于，不是“切割型直線”．故選：BC.12．若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，再由導(dǎo)數(shù)為3求解.【詳解】解：設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，，則，解得，所以，即.對(duì)于函數(shù)，，則，又，所以，又，所以，.故選：AD三、填空題13．已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，則直線的斜率為_(kāi)__________.【答案】【分析】依題意可得，，即可得到上頂點(diǎn)，左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的斜率；【詳解】解：因?yàn)闄E圓方程為，所以，，即，，所以橢圓的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，所以；故答案為：14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則___________.【答案】2【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)為，開(kāi)方即可.【詳解】解：由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)：（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度；（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.15．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】【分析】先求得切線長(zhǎng)，然后結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)，,所以切線長(zhǎng)為，以為圓心，半徑為的圓的方程為，即①，圓即②，由①-②得直線的方程為，即.故答案為：16．已知曲線：，若過(guò)曲線外一點(diǎn)引曲線的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，根據(jù)傾斜角關(guān)系求a.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由題意，知，切線的斜率為①，所以切線的方程為②．將點(diǎn)代入②式，得，解得或．分別將和代入①式，得和．由題意，得，得．故答案為：.四、解答題17．直線經(jīng)過(guò)兩直線：和：的交點(diǎn).(1)若直線與直線平行，求直線的方程；(2)若點(diǎn)到直線的距離為5，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為：，代入交點(diǎn)即可求出；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，符合條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解.【詳解】（1）直線方程與方程聯(lián)立,得交點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線的方程為：，代入交點(diǎn)得，所以的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得的方程為：，符合條件.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，根據(jù)，解得，所以直線的方程為.綜上所述，為或18．已知函數(shù)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在處的切線方程．【答案】(1)；(2).【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用給定條件列式計(jì)算即可得解.(2)利用(1)的結(jié)論求出切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程..【詳解】（1）由求導(dǎo)得：，又，則，解得，所以的解析式為.（2）由(1)得，，則，在處的切線方程為，即，所以f(x)在處的切線方程是：.19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其中，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）由（1）有，應(yīng)用分組求和、裂項(xiàng)相消法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知：，所以，令，，所以.20．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算所求；（2）利用在平面PCD的法向量上的投影計(jì)算求解.【詳解】解：（1）在中，，為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以平面．在中，，，所以．在直角梯形中，為的中點(diǎn)，所以，所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以．因?yàn)?，，，所以平面．所以為平面的一個(gè)法向量，，所以與平面所成角的余弦值為．（2）因?yàn)?，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．取，得．則點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，利用空間向量求線面角和點(diǎn)到平面的距離，求平面的法向量是關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，利用向量在平面的法向量上的投影求點(diǎn)到平面的距離是常用的方法.21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若存在且，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2)3.【分析】（1）根據(jù)給定前n項(xiàng)和，利用與的關(guān)系求解作答.（2）利用錯(cuò)位相減法求出，再借助數(shù)列單調(diào)性求出最小值作答.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，，則有，兩式相減得：，于是得，且，，令，，則，即，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，即，因此，，所以實(shí)數(shù)的最小值是3.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．22．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ