2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

合肥市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必在答題卡和答題卷規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)后兩位.2．作答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3．作答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卷上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卷規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.4．考試結(jié)束，務(wù)必將答題卡和答題卷一并上交.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.2.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.3.核酸檢測(cè)是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對(duì)檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國(guó)外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽(yáng)性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測(cè)，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽(yáng)性的概率為（）A.0.495% B.0.9405% C.0.99% D.0.9995%4.將函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位得到曲線C．若曲線C的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為（）A. B. C. D.5.已知p：，q：，則p是q（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知線段PQ的中點(diǎn)為等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A，且，當(dāng)PQ繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.7.拋物線E：的焦點(diǎn)為F，曲線l：交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，則的面積為（）A.4 B.6 C. D.88.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過(guò)點(diǎn)M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.10.已知數(shù)列滿足．若對(duì)，都有成立，則整數(shù)的值可能是（）A. B. C.0 D.111.已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為．若P，Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三角形面積的最大值為B.三棱錐體積的最大值C.四面體外接球表面積的最小值為11D.直線SP與平面所成角余弦值的最小值為12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且．當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確是（）A.是奇函數(shù)B.在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置．13.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)______．14.二項(xiàng)式展開(kāi)式中，的系數(shù)是______．15.已知AB為圓C：的一條弦，M為線段AB的中點(diǎn)．若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．16.已知雙曲線E：的左右焦點(diǎn)分別為，，A為其右頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線與軸交于Q點(diǎn)．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求證：．18.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，P，Q分別為棱，上的點(diǎn)，且，PQ交于點(diǎn)N．（1）求證：平面ABCD；（2）求多面體的體積．19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且．（1）若，求A的大??；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，試判斷的形狀．20.已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．（1）求點(diǎn)所在的曲線E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫(xiě)出分析過(guò)程．21.研究表明，溫度的突然變化會(huì)引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（℃）47891412新增就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，．（1）已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為，求的值；（2）已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．參考公式：，．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的最大整數(shù)值．合肥市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.【答案】ABC10.【答案】BC11.【答案】BD12.【答案】ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置．13.【答案】514.【答案】1515.【答案】16.【答案】四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用已知列出方程組，即可求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和推理作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，而，解得，，所以的通項(xiàng)公式．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以．18.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，P，Q分別為棱，上的點(diǎn)，且，PQ交于點(diǎn)N．（1）求證：平面ABCD；（2）求多面體的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：由題意證得，再由線面平行的判定定理即可證明；方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)表示求出，即可證明；（2）方法一：由設(shè)多面體BDMPQ的體積為V，連接DP，則，代入計(jì)算即可求出答案；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量夾角公式求出的值，即可求出，表示出，再求出點(diǎn)到平面的距離，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】方法一：∵，，∴．∴，即點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)E，則，且，∴，且，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴．又∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，．∵，，∴點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則，∴，∴與，共面，且平面ABCD，∴平面ABCD．【小問(wèn)2詳解】方法一：設(shè)多面體BDMPQ的體積為V，連接DP，則．方法二：∵，，，，則，∴，且，∴四邊形PQDM平行四邊形，且，．∵，，∴，∴，∴．設(shè)為平面DMPQ的法向量，則令，則，，即，∴點(diǎn)到平面的距離為，∴四棱B-DMPQ的體積為．19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且．（1）若，求A的大小；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，試判斷的形狀．【答案】（1）（2）為直角三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊化角結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)整理可得，運(yùn)算求解即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合化簡(jiǎn)整理得，再利用基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】∵，即，則，可得，故，則，∴，當(dāng)時(shí)，則，又∵，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為，又∵，則的最大值為，此時(shí)，∴．∴為直角三角形．20.已知曲線C：，從曲線C上的任意點(diǎn)作壓縮變換得到點(diǎn)．（1）求點(diǎn)所在的曲線E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并寫(xiě)出分析過(guò)程．【答案】（1）（2）以AB為直徑的圓與直線相離，分析過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)直接利用伸縮變換的應(yīng)用和變換前的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果；(2)分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用圓心到直線的距離與半徑比較大小，即可進(jìn)行判斷.【小問(wèn)1詳解】由得，代入得，曲線E的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題知，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由消去y整理得，．設(shè)，，則，以AB為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為．又，以AB為直徑的圓的半徑為，圓心到直線的距離為，，即，以AB為直徑的圓與直線相離．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知以AB為直徑的圓的半徑為，圓的方程是，該圓與直線相離．綜上可知，以AB為直徑的圓與直線相離．21.研究表明，溫度的突然變化會(huì)引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（℃）47891412新增就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，．（1）已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為，求的值；（2）已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．參考公式：，．【答案】（1）（2）33人【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由求解；（2）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)，求得，再利用公式求得即可【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，解得．∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴可以估計(jì)，晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)為33人．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的最大整數(shù)值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，由二次方程根的情況，分類討論即可求解，（2）利用（1）的結(jié)論可判斷，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)滿足，構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，．①?dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)，在上單調(diào)遞減．②當(dāng)，即時(shí)，由解得，．由解得，；由解得，或，此時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．③當(dāng)，即時(shí)，由，解得或（舍），由，解得；由，解得，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．小問(wèn)2詳解】令，則．由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意舍去．由于a是整數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，取，則；取，．若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則．∵，令，則．∴，則，∴在上單調(diào)遞增．又∵，，∴存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．若，則，．令