初中幾何反證法專題編輯

學(xué)習(xí)必備——濃迎下載但初中幾何反證法專題學(xué)習(xí)要求了解反證法的意義，懂得什么是反證法。理解反證法的基本思路，并掌握反證法的一般證題步驟。知識講解對于一個幾何命題，當(dāng)用直接證法比較困難時，則可采用間接證法，反證法就是一種問接證法，它不是直接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命題結(jié)論的反面不能成立。從而推出命題的結(jié)論必然成立，它給我們提供了一種可供選擇的新的證題途徑，掌握這種方法，對于提高推理論證的能力、探索新知識的能力都是非常必要的。下面我們對反證法作一個簡單介紹。1.反證法的概念：不直接從題設(shè)推出結(jié)論，而是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。2,反證法的基本思路：首先假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，然后再在這個假定條件下進(jìn)行一系列的正確邏輯推理，直至得出一個矛盾的結(jié)論來，并據(jù)此否定原先的假設(shè)，從而確認(rèn)所要證明的結(jié)論成立。這里所說的矛盾是指與題目中所給的已知條件矛盾，或是與數(shù)學(xué)中已知定理、公理和定義相矛盾，還可以是與日常生活中的事實(shí)相矛盾，甚至還可以是從兩個不同角度進(jìn)行推理所得出的結(jié)論之間相互矛盾(即自相矛盾)3.反證法的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

學(xué)習(xí)必備——濃迎下載(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾;(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確簡而言之就是"反設(shè)-歸謬-結(jié)論"三步曲。例題:例1.已知：AB、CD是OO內(nèi)非直徑的兩弦(如圖1),求證人8與CD不能互相平分。證明：假設(shè)AB與CD互相平分于點(diǎn)M、則由已知條件AB、CD均非OO直徑，可判定M不是圓心0,連結(jié)OA、OB、OM。?「OA=OB,M是AB中點(diǎn)(1)??.OM±AB(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)同理可得：OM^CD,從而過點(diǎn)M有兩條直線AB、CD都垂直于OM這與已知的定理相矛盾。故AB與CD不能互相平分。例2.已知：在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、DC1的中點(diǎn)，旦乂村=2(AD+BC),求證：ADIIBC

學(xué)習(xí)必備——濃迎下載(2)證明：假設(shè)AD/BC,連結(jié)ABD,并設(shè)P是BD的中點(diǎn)，再連結(jié)MP、PN。在MBD中???BM=MA,BP=PD11aMP=2AD,同理可證PN直2BC1從而MP+PN=2(AD+BC)①這時，BD的中點(diǎn)不在MN上若不然，則由MNllAD,MNIIBC,得ADIIBC與假設(shè)AD4BC矛盾,于是M、P、N三點(diǎn)不共線。從而MP+PN>MN②11由①、②得？(AD+BC)>MN,這與已知條件MN=2(AD+BC)相矛盾，故假設(shè)AD'#BC不成立，所以ADIIBC。課堂練習(xí)2.求證：一直線的垂線與斜線必相交。已知：設(shè)m,n分別為直線l的垂線112.求證：一直線的垂線與斜線必相交。已知：設(shè)m,n分別為直線l的垂線1和斜線(如圖),垂足為A，斜足為B。求證：m和n必相交。學(xué)習(xí)必備——濃迎下載.在^ABC中，AD^BC于D,BE^AC于E,AD與BE相交于H,求證：AD與BE不能被點(diǎn)H互相平分。.求證：直線與圓最多只有兩個交點(diǎn)。.求證：等腰三角形的底角必為銳角。已知：3BC中，人8=AC,求證：nB、nC必為銳角。參考答案:.證明：假設(shè)^ABC中的/A'NB'NC都大于60°貝UnA+nB+nC>3x60°=180°這與三角形內(nèi)角和定義矛盾，所以假設(shè)不能成立。故三角形中至少有一個角不大于60°。.證明：假設(shè)m和n不相交則mllnvm±lAn±l這與n是l的斜線相矛盾，所以假設(shè)不能成立。故m和n必相交。學(xué)習(xí)必備——濃迎下載.證明：假設(shè)AD、BE被交點(diǎn)H互相平分，則ABDE是平行四邊形。???AEIIBD，即ACllBC這與AC、BC相交于C點(diǎn)矛盾，故假設(shè)AD、BE被交點(diǎn)H平分不能成立。所以AD與BE不能被點(diǎn)H互相平分。.證明：假設(shè)一直線l與OO有三個不同的交點(diǎn)A、B、C,M、N分別是弦AB、BC的中點(diǎn)。?「OA=OB=OC，在等腰4OAB和^OBC中OM±AB,ON±BC從而過O點(diǎn)有兩條直線都垂直于I,這是不可能的，故假設(shè)不能成立。因此直線與圓最多只有兩個交點(diǎn)。.證明：假設(shè)nB、nC不是銳角，則可能有兩種情況：(1)zB=zC=90°(2)zB=zC>90°若nB=nC=90°,則nA+nB+nC>180°,這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。若nB=nC>90°,則UnA+nB+nC>180°,這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。所以假設(shè)不能成立。故nB、nC必為銳角。

學(xué)習(xí)必備——濃迎下載本講小結(jié)才對于一個幾何命題，當(dāng)用直接法證比較困難或甚至不能證明時，則可采用簡接證法，反證法就是一種最常見的間接證明方法、掌握并運(yùn)用好這種方法對思維能力的提高大有裨益。次所謂反證法，就是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，從結(jié)論的反面入手，進(jìn)行正確的邏輯推理，導(dǎo)致結(jié)果與已知學(xué)過的公理、定理，從而得出結(jié)論的反面不成立，于是原結(jié)論成立。才反證法證題的一般步驟是：⑴反設(shè)：將結(jié)論的反面作為假設(shè)；⑵歸謬：由"反設(shè)”出發(fā)，利用已學(xué)過的公理、定理，推出與已知矛盾的結(jié)果;⑶結(jié)論：由推出的矛盾判斷"反設(shè)”錯誤，從而肯定命題的結(jié)論正確。*運(yùn)用"反證法”的關(guān)鍵:果，因此，如何導(dǎo)出矛盾，就成了使用反證法的關(guān)鍵。*“反證法"宜用于證明否C反證法的主要手段是從求證的結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，因此，如何導(dǎo)出矛盾，就成了使用反證法的關(guān)鍵。*“反證法"宜用于證明否C定性命題、唯一性命題、"至少""至多"命題和某些逆命題等，一般地說“正難則反"凡是直接法很難證明的命題都可考慮用反證法。課后作業(yè).求證：在平面上，不存在這樣的凸四邊形ABCD,使△ABC、aBCD、aCDA、aDAB都是銳角三角形。

學(xué)習(xí)必備——濃迎下載.ffi^ABC中，AB=AC,P是內(nèi)部一點(diǎn)且nAPB>nAPC,求證：PB<PC。.求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或者等于60°。.求證：在^ABC的BC邊上任取一點(diǎn)D、AC邊上任意取一點(diǎn)E,連結(jié)AD、BE,則AD和BE必定不能互相平分。.已知△ABC為不等邊三角形，AD^BC于D點(diǎn)，求證：D點(diǎn)到AB、AC邊的距離必不相參考答案：1.證明：假設(shè)存在凸四邊形參考答案：1.證明：假設(shè)存在凸四邊形ABCD,使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是銳角三角形。則nA+/B+nC+nD<360°。學(xué)■習(xí)必備——T夫迎干載這與四邊形ABCD中zA+zB+zC+zD=360°矛盾。故假設(shè)不能成立，所以原命題成立。.證明：隹員設(shè)PBdPC,即PB>PC或PB=PC⑴當(dāng)PB>PC時（如圖）在^PBC中,可得<PCB>zPBC「AB二AC/.zABC=zACB,從而nABP>zACP①在^BAP與^CAP中.AB=AC,AP=AP,PB>PC/.zBAP>zCAP②由①②和三角形內(nèi)角和定理，可得/APB<zAPC,這與已知nAPB>zAPC相矛盾。⑵當(dāng)PB=PC時，在MPB與3PC中/AP=AP,BP=CP,AB=AC/.△ABP^aACP,/.zAPB=zAPC這與已知/APB>zAPC相矛盾，由⑴(2)可知假設(shè)PB<PC不成立。故PB>PCO學(xué)習(xí)必備——濃迎下載.證明：不妨設(shè)三角形的三個內(nèi)角為nA、nB、nC假設(shè)nA、nB、nC中設(shè)有一個大于或等于60°,則它們都小于60°。即nA<60°、nB<60°、nC<60。.nA+/B+nC<180°這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這說明假設(shè)不成立。故nA、nB、nC中至少有一個大于或等于60°。.證明：假設(shè)AD和BE互相平分于P點(diǎn)，則ABDE應(yīng)是一個平行四邊形。所以AEllEB，即ACiiBC這與AC與BC相交于