靜電場(chǎng)散度與旋度

§1.7靜電場(chǎng)的散度和旋現(xiàn)在，讓我來(lái)考慮靜場(chǎng)兩個(gè)基的微分方程——散度方程和旋度方1.矢量場(chǎng)散度和斯定理參見(jiàn)教P848）在連續(xù)可微矢量場(chǎng)A中，對(duì)包含某一x,y,z)的體積eq\o\ac(△,V)eq\o\ac(△,)，其合曲面為S，定義量場(chǎng)A通過(guò)S的凈通與△之的極限(1.7-1)為矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度（divergenceA）它是一個(gè)標(biāo).顯然若

則該點(diǎn)散度·≠0，點(diǎn)就是矢量A一個(gè)點(diǎn)若

則該點(diǎn)散度·=，該點(diǎn)不是矢場(chǎng)A的源若所有點(diǎn)上有▽·=A就稱無(wú)散場(chǎng)在直角坐標(biāo)中(1.7-2)▽·在坐標(biāo)和柱標(biāo)系的表式，見(jiàn)教材P850.高斯理（Gauss,Theorem）1/4

對(duì)任意閉合面S及其圍的體積V下述積變換成立：(1.7-3)即，矢量場(chǎng)A通過(guò)意閉合面S的凈量，等于在S所包的體積V內(nèi)點(diǎn)散度積分.由此可知，A場(chǎng)通過(guò)任何閉合曲面的凈量均為零它就是無(wú)場(chǎng)，即處處有▽·A=0.這意味著，無(wú)場(chǎng)的場(chǎng)線定是連續(xù)閉合的曲線.2.電場(chǎng)的度方程大家已經(jīng)知，電場(chǎng)的斯定理是積分方程(1.7-4)其中r示電荷度分布函.高斯積變換定理(1.7-3))，(1.7-4)的左邊化為VE的散度之體積，因此有設(shè)想體積V小成包某點(diǎn)P（x,y,z）的限小體積dV便得(1.7-5)這就是電場(chǎng)斯定理的分形式—電場(chǎng)的散度方程它表示荷分布點(diǎn)即r≠0的點(diǎn)上▽·E≠這些點(diǎn)就是電場(chǎng)的源.3.矢量場(chǎng)旋度和托克斯理（參見(jiàn)教P853）在連續(xù)可微矢量場(chǎng)A中，我設(shè)想將A著某個(gè)很的閉合路L分，△△S圍成的面積矢量并且約定2/4

是L

面積eq\o\ac(△,元)S的法，與路積分繞行方向符合右旋規(guī)則當(dāng)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)縮小某點(diǎn)P（x,y,z的無(wú)限小鄰域，義如下極(1.7-6)為矢量場(chǎng)的旋度▽×A(curlof,rotation)在

方向的投影按上述約定若（▽×）n為正值，的場(chǎng)線該點(diǎn)周形成右手渦旋若（▽×）n為負(fù)值，的場(chǎng)線該點(diǎn)周形成左手渦旋若（▽×）n=0，線在點(diǎn)不形成旋如果在所有上均有▽A=0，A場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)在直角坐標(biāo)中，的度為(1.7-7)▽×在坐標(biāo)和柱標(biāo)系中的達(dá)式，見(jiàn)教材P855.斯托斯定（Stokes,Theorem）對(duì)任意閉合徑L及其成的曲面S下述積變換成立：(1.7-8)即，矢量場(chǎng)A沿任閉合路L環(huán)量，等于它在圍的任曲面S各點(diǎn)度的面積分.由此可知若量場(chǎng)A沿任意閉路徑L的量恒零——保守場(chǎng)它就是無(wú)場(chǎng)即處有▽×A=0.4.靜電場(chǎng)旋度方我們知道，電場(chǎng)是一保守場(chǎng)，對(duì)任意閉合路徑L，的環(huán)量為零(1.7-9)3/4

據(jù)斯托克斯理（1.7-8)，我可得到1.7-9)的微分形式▽×E=0這表示，靜場(chǎng)是無(wú)旋.如大家所知，靜電的E線始發(fā)于正電荷終止于電荷，E線無(wú)渦旋狀的結(jié)構(gòu)場(chǎng)線（B）則是圍電流構(gòu)成閉合的、渦旋狀的結(jié)構(gòu).(1.7-5)和(1.7-10)是靜電場(chǎng)兩個(gè)基的微分方.靜電的兩基本微分程至此，我們經(jīng)得到靜場(chǎng)的兩個(gè)本的微分方程：(1.7-5)▽×E