08-圖論-離散數(shù)學(xué)講義-海南大學(xué)(共十一講)

08-圖論-離散數(shù)學(xué)講義-海南大學(xué)(共十一講)LtD8.圖論TopicsinGraphTheory§8.1圖GraphsG=<V,E,γ>V={v1,v2,······,vn}頂點vertex集。E={e|e=(vi,vj),vi,vj∈V,vi≠vj}無向邊edge集。γ(e)={vi,vj},e的端點endpoints集。簡寫為G＝（V，E）。TD(vi)頂點vi的度數(shù)degree：連接到vi的邊的條數(shù)。連接一個頂點的圈loop算兩度。孤立點isolatedvertex：度數(shù)為0的點。兩個頂點相鄰adjacent：有一邊相連。定理1.(握手定理)TD＝TD(vi)=2m.推論.任意圖的奇數(shù)度頂點必有偶數(shù)多個。完全圖completegraph：任意兩點都相鄰簡單圖。定理2.n個頂點的完全圖有n(n-1)/2條邊。正則圖regulargraph：每個頂點都有相同的度數(shù)。E={<vi,vj>|vi,vj∈V}有向邊集有向圖有向邊<vi,vj>，割集：G的邊集，去掉后G不連通。一條邊組成的割集叫橋bridge。樹的每條邊都是橋?；靖罴荷蓸銽中每一條邊，和G中對應(yīng)于T的所有的弦，組成一個割集，叫基本割集。最小生成樹：權(quán)重最小的生成樹。帶權(quán)的邊：帶邊長的邊。帶權(quán)的圖：每邊都帶權(quán)。Prim算法：設(shè)G=<V,E>,1.令U={v0},T={}.2.對任意u∈U,v∈V-U,(u,v)∈E,找到權(quán)最小的邊(u1,v1),令U=U∪{v1},T=T∪{(u1,v1)}3.重復(fù)2，直至U=V.得到T就是最小生成樹。T中共有n-1條邊Kruskal克魯斯卡爾算法G=(V,E)連通圖令T=(V,{})是G的所有頂點而無邊的非連通圖。選擇E中權(quán)值最小的邊，若該邊連接T的兩個連通分量，將它加入T,這時T的連通分量減少1；否則選下一條權(quán)值最小的邊。重復(fù)1n-1次直到T連通。T就是最小生成樹§8.2歐拉路徑和歐拉回路哥尼斯堡七橋問題。一筆畫問題。歐拉路徑Eularpath：通過圖的所有邊，每個邊恰好一次的路徑。歐拉回路Eularcircuit：構(gòu)成回路的歐拉路徑。定理1.G有歐拉回路當且僅當G連通且沒有奇數(shù)度頂點。定理2.G有歐拉路徑當且僅當G連通且至多有兩個奇數(shù)度頂點。§8.3Hamilton路徑和Hamilton回路周游世界問題：每個城市訪問一次只經(jīng)過一次。Hamilton公爵提出是否存在一條回路通過正二十邊形每個頂點恰一次。一個連通圖GHamilton路徑:經(jīng)過每個頂點恰一次的路徑。Hamilton回路：經(jīng)過每個頂點恰一次的回路。Hamilton圖：有Hamilton回路的圖。完全圖Kn，n>2，是Hamilton圖。歸納可證。n個頂點的連通圖G有Hamilton回路，G至少有n條邊。用p(G)表示圖G的連通分量的個數(shù)。定理1.G＝(V,E)是Hamilton圖，則對任意V1V,p(G-V1)≤|V1|.證明：設(shè)C是G的一個Hamilton回路，V1都在C上?；芈稢中去掉V1中頂點，至多劃分成|v1|段。因此p(C-V1)≤|V1|.例1.下圖不是Hamilton圖。引理2.n階簡單無向圖G中，l：a……vivj……b，是一條有m個頂點的路徑。a，b只與l中頂點相鄰，D(a)+D(b)≥m。則l中所有頂點構(gòu)成回路。證明.若a，b相鄰，a……vivj……b是回路。設(shè)a，b不相鄰。D(a)=s,D(b)=t.s+t≥m。t≥m－s。l中存在相連頂點vi，vj，avj相鄰，bvi相鄰，avj……bvi……a構(gòu)成一個回路。定理3.n階簡單無向圖G中，n>2,任意兩個不相鄰頂點的度數(shù)之和大于等于n－1，則G有Hamilton路徑。證明.取G中最長路徑：l：a……vi……vj……b。我們證明其長度為n－1，包含G的所有頂點，否則一定可以加長。b不與l外的頂點相鄰，否則l可以加長。設(shè)l的長度≤n－2，l上共有頂點少于n－1個。a,b度數(shù)和大于n－1，由引理1.l的所有頂點組成回路。這時有一頂點c不在l上，cc必與l中一點vi相鄰。我們得到含有頂點c，和l中所有頂點的路徑，長度比l更長。推論4.n階簡單無向圖G中，n>2,任意兩個不相鄰頂點的度數(shù)之和大于等于n，則G有Hamilton回路。證明.由定理3，G有Hamilton路徑。由引理2，這條路徑可以構(gòu)成一條Hamilton回路。推論5.n階簡單無向圖G中，n>2,任意頂點的度數(shù)大于等于n/2，則G有Hamilton回路。定理6.G有n個頂點，m條邊，如果，則G是Hamilton圖。證明.任取不相鄰的兩個頂點u，v∈G，G中去掉u，v后導(dǎo)出子圖G’,G’有n－2個頂點，至多條邊。u，v到G’的邊數(shù)有D(u)+D(v)≥n.由推論4.G是Hamilton圖?！?.4運輸網(wǎng)絡(luò)TransportNetworks§8.5匹配問題MatchingProblem二部圖、偶圖BipartiteGraph：無向圖G＝(V,E),V=V1∪V2，V1∩V2＝。V1中頂點互不相鄰，V2中頂點互不相鄰，任意邊連接V1，V2中各一個頂點。G=(V1,V2,E).完全二部圖：V1中每個頂點與V2中每個頂點都相鄰。|V1|=m,|V2|=n,完全二部圖記做Km,n。K2,3,K3,3定理1.二部圖中沒有奇數(shù)長的回路。左邊兩圖同構(gòu)是K2,3，右邊都是K3,3.E*E.E*中的邊互不相連，稱E*為G的一個匹配。邊數(shù)最大的匹配叫最大匹配。鄰接V1或V2中所有頂點的匹配叫完全匹配。|V1|=|V2|時，完全匹配也叫完美匹配。定理2.（Hall定理）設(shè)G=(V1,V2,E),|V1|≤|V2|.G中有完全匹配iffV1中任意k個頂點至少與V2中任意k個頂點相鄰，即，任意XV1，|X|≤|R(X)|，R(X)為與X中頂點相鄰的頂點的集合。證明.是顯然的。對V1中頂點個數(shù)歸納：|V1|=1是顯然的。設(shè)|V1|=k時定理成立。|V1|=k＋1：1）如果V1中任意k個頂點都至少與V2中k＋1個頂點相鄰，從G中去掉一條邊，V1中任意k個頂點都至少與V2中k個頂點相鄰，存在完美匹配。2）如果V1中存在k個頂點只與V2中k個頂點相鄰，例如{a1,a2,……，ak}V1，{b1,b2,……，bk}V2，{a1,a2,……，ak}只與{b1,b2,……，bk}相鄰。則V1－{a1,a2,……，ak}任意s個頂點，都與V2－{b1,b2,……，bk}中s個頂點相連。兩部分都有完美匹配。推論3.二部圖G＝(V1,V2,E)中如果V1中每個頂點至少與V2中t條邊相鄰。V2中每個頂點至多與V1中t條邊相鄰。則G有完美匹配。證明.V1中任意k個頂點的總度數(shù)≥kt。V2中任意k個頂點的總度數(shù)≤kt。V1中任意k個頂點至少與V2中k條邊相鄰。由Hall定理，G有完美匹配。推論4.正則二部圖必有完美匹配?！?.6染色圖ColoringGraphs平面圖planargraphagraphcanbedrawninaplanesothatnoedgescrossexceptatverticesK5,K3,3不是平面圖平面圖的面：內(nèi)部面，外部面，有限面，無限面。面的邊界：包圍這個面的回路（不一定是簡單回路）。面的次數(shù)次數(shù)deg(R)=邊界的長度。非連通平面圖有一個公共外面，邊界由k個回路組成，k＝p(G).平面圖每條邊都是兩個面的交線。一條邊處于一個內(nèi)部面中或一個外部面中，面的次數(shù)要計算兩次。定理1.平面圖的所有面的次數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍： 極大平面圖：簡單平面圖，增加一邊就不是平面圖。極小非平面圖：簡單非平面圖，減少一邊就是平面圖。定理2.n階極大平面圖的性質(zhì)：連通。n≥3時，每個面Ri，deg(Ri)=3.n≥4時，每個頂點v：D(v)≥3。定理3.歐拉定理：滿足n－m＋r＝2，任意連通平面圖G，滿足n－m＋r＝2，即，頂點數(shù)－邊數(shù)＋面數(shù)＝2。證明.對邊數(shù)歸納：m＝0，1，2，3顯然。增加一邊：增加一個頂點，不增加面。不增加頂點，增加一面。推論4.任意連通度為k的平面圖G，滿足n－m＋r＝k＋1。不滿足歐拉公式的簡單圖不是平面圖。請驗證K5，K3,3，不是歐拉圖。定理5.設(shè)G是連通平面圖，每個面的次數(shù)至少l，（l≥3），則m≤ 。證明.2m≥lr，n－m＋r＝2，ln－lm＋2m≥ln－lm＋lr＝2l，lm－2m≤ln－2lm≤。定理6.簡單連通平面圖G中至少有一點v，D(v)≤5.證明.假設(shè)任意頂點v，D(v)≥6.6n≤2m，3r≤2m3n≤mn－m＋r＝26＝3n－3m＋3r≤m－3m＋2m＝0這不可能。定理7.（庫拉圖斯基定理）一個圖G是平面圖當且僅當G沒有可以收縮到K5或K3,3的子圖。每個凸多面體都可以映射到平面圖。定理8.正多面體只有正4，6，8，12，20面體五種。證明.設(shè)G是一個正多面體，n個頂點，m條邊，r個面，每個頂點d度，每個面l次。由定理6，3≤d≤5。l≥3。dn＝2m，lr=2m＝dn.n－m＋r=2，2ln－2lm＋2lr=4l，2ln－dln＋2dn=4l，n=4l/(2l－dl＋2d)，1）d＝3.n=4l/(6－l)l=3,n=4,m=6,r=4.正四面體l＝4，n＝8，m=12,r=6,正六面體.l＝5，n＝20，m=30,r=12,正12面體2）d＝4.n=2l/(4－l).l=3,n=6,m=12,r=8,正八面體。3）d＝5.n=4l/(10－3l).l＝3，n＝12，m＝30，r＝20正20面體。對偶圖：設(shè)G＝(T,V)是平面圖，（1）G的每個面Ri中取一點vi*，V*={v1*，v2*，……，vr*}（2）若兩個面Ri，Rj有公共邊界ek，連接vi*，vj*，得到邊ek*，E*={e1*，e2*，……，em*}則得到G*=(V*,E*)稱為G的對偶圖。G和G*邊數(shù)相同，m*＝m;G的面數(shù)等于G*的頂點數(shù)，n*=r;G連通，則G的頂點數(shù)等于G*的面數(shù),r*=n.G不連通，則G的頂點數(shù)等于G*的面數(shù),r*=n－p(G)＋1.G和G*不同構(gòu)，同構(gòu)圖的對偶圖不一定同構(gòu)。G**不一定同構(gòu)于G。不連通圖的對偶圖連通，連通圖的對偶圖連通。若GG*，就稱G是自對偶的圖。染色圖colouringGraph一個圖用彩色將每個頂點著色，相鄰頂點染不同顏色。一個平面圖用彩色將每個面著色，相鄰面染不同顏色。只要換成其對偶圖即可。平面圖G最少用k種顏色染色，就稱為k色圖。k稱為chromaticnumberofG.記做χ(G)四色定理：任何一個平面圖都是四色圖。染色多項式chromaticpolynomial用n種顏色染一個圖，有多少不同的方法,記做PG(n).PG是一個多項式函數(shù)，稱為chromaticpolynomialofG.例4.設(shè)L4是4個頂點的一條線。用x種顏色，第一點，x種方法著色，第二點x－1種方法著色。第三第四點都是x－1。PL4(x)=x(x-1)3.χ(L4)＝2。例5．PKn(x)＝x(x-1)(x-2)……(x-n+1)=[x]n.χ(Kn)＝n。定理1.設(shè)G1，G2，……，Gm是G的連通分量，則PG(x)=PG1(x)PG2(x)……PGm(x)。χ(G)＝max{χ(G1),χ(G2),……，χ(Gm)}例6.G是兩個不相連三角形，PG(x)=x2(x-1)2(x-2)2.例7.G是n個不相連頂點，PG(x)=xn。Ge是G去掉e導(dǎo)出的子圖，Ge是將e的兩端點粘合得到的圖。定理2.PG(x)＝PGe(x)－PGe(x)證明.設(shè)e的端點為a，b。G著色必須將ab著不同色。Ge著色必須將ab著同色。Ge著色a，b可著同色，可著不同色。PGe(x)＝PG(x)+PGe(x).例G如下圖。eePGe(x)=x2(x-1)2(x-2)2,PGe(x)=x(x-1)2(x-2)2,PG(x)=PGe(x)－PGe(x)=x2(x-1)2(x-2)2－x(x-1)2(x-2)2＝x(x-1)3(x-2)2,χ(G)=3,G是3色圖。引理3.設(shè)G是簡單圖，G已染色，相鄰頂點顏色不同。G中染色αβ兩種顏色的頂點導(dǎo)出子圖為Gαβ.交換Gαβ中一個連通分量中染色α和β，G仍然保持相鄰頂點不同顏色。證明.G中任意相鄰兩點a，b.bGαβ，或a，b∈Gαβ，或a∈Gαβ且bGαβ，a，b染色仍然不同。定理4（五色定理）G是任意一個平面圖,則χ(G)≤5。證明.對G的頂點個數(shù)歸納。G中至少有一點a，D(a)≤5。歸納假設(shè)去掉a，導(dǎo)出的子圖G’可以用5重顏色著色。如果a只與G’中4個點相鄰，a可以用第五種顏色著色。如果a與G’中5個點相鄰，但5點中有重復(fù)顏色，a可