高考數(shù)學（文）二輪培優(yōu)（全國通用版）講義考前沖刺三第四類

第四類概率問題重在“辨”——辨析、辨型概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要找到模型，問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理分劃復(fù)雜事件.【例4】(2018·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項技術(shù)指標值x，得到如下的頻率分布表：x[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21)[21，23]頻數(shù)2123438104(1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計該技術(shù)指標值x的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)若x<13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率.解(1)頻率分布直方圖為(辨析1)估計平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.(辨型1)由頻率分布直方圖，x∈[17，19)時，矩形面積最大，因此估計眾數(shù)為18.(2)記技術(shù)指標值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4，(辨析2)則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個基本事件.記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個基本事件.故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P＝eq\f(8,15).(辨型2)探究提高1.概率與統(tǒng)計的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進行相關(guān)計算.2.求解該類問題要注意兩點：(1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率.(2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時，要明確基本事件的構(gòu)成.【訓練4】(2018·日照一模)共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)80.16第2組[60，70)a■第3組[70，80)200.40第4組[80，90)■0.08第5組[90，100]2b合計■■頻率分布直方圖(1)求出a，b，x，y的值；(2)若在滿意度評分值為[80，100]的人中隨機抽取2人進行座談，求2人中至少一人來自第5組的概率.解(1)由題意可知，eq\f(8,2)＝eq\f(0.16,b)，解得b＝0.04；∴樣本容量n＝eq\f(8,0.16)＝50，∴[80，90)內(nèi)的頻數(shù)為50×0.08＝4，a＝50－8－20－4－2＝16；∴[60，70)內(nèi)的頻率為eq\f(16,50)＝0.32，∴x＝eq\f(0.32,10)＝0.032；又[90，100]內(nèi)的頻率為0.04，∴y＝eq\f(0.04,10)＝0.004.(2)由題意可知，第4組共有4人，第5組共有2人，設(shè)第4組的4人分別為a1，a2，a3，a4；第5組的2人分別為b1，b2；則從中任取2人，所有基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15個.又至少一人來自第5組的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a