高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題學(xué)生版

/高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．解法一：〔待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵圓心在上,故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點(diǎn)．∴解之得：,．所以所求圓的方程為．解法二：〔直接求出圓心坐標(biāo)和半徑因?yàn)閳A過、兩點(diǎn),所以圓心必在線段的垂直平分線上,又因?yàn)?故的斜率為1,又的中點(diǎn)為,故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上,故圓心坐標(biāo)為∴半徑．故所求圓的方程為．又點(diǎn)到圓心的距離為．∴點(diǎn)在圓外．例2求半徑為4,與圓相切,且和直線相切的圓的方程．解：則題意,設(shè)所求圓的方程為圓．圓與直線相切,且半徑為4,則圓心的坐標(biāo)為或．又已知圓的圓心的坐標(biāo)為,半徑為3．若兩圓相切,則或．<1>當(dāng)時(shí),,或<無解>,故可得．∴所求圓方程為,或．<2>當(dāng)時(shí),,或<無解>,故．∴所求圓的方程為,或．例3求經(jīng)過點(diǎn),且與直線和都相切的圓的方程．解：∵圓和直線與相切,∴圓心在這兩條直線的交角平分線上,又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點(diǎn),∴圓心只能在直線上．設(shè)圓心∵到直線的距離等于,∴．化簡整理得．解得：或∴圓心是,半徑為或圓心是,半徑為．∴所求圓的方程為或．例4、設(shè)圓滿足：<1>截軸所得弦長為2；<2>被軸分成兩段弧,其弧長的比為,在滿足條件<1><2>的所有圓中,求圓心到直線的距離最小的圓的方程．解法一：設(shè)圓心為,半徑為．則到軸、軸的距離分別為和．由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為,故圓截軸所得弦長為．∴又圓截軸所得弦長為2．∴．又∵到直線的距離為∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"="號(hào),此時(shí)．這時(shí)有∴或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一,得．∴．∴．將代入上式得：．上述方程有實(shí)根,故,∴．將代入方程得．又∴．由知、同號(hào)．故所求圓的方程為或．類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓,求過點(diǎn)與圓相切的切線．解：∵點(diǎn)不在圓上,∴切線的直線方程可設(shè)為根據(jù)∴解得所以即因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條,可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．例6兩圓與相交于、兩點(diǎn),求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo),再用兩點(diǎn)式求直線的方程,但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn),可以采用"設(shè)而不求"的技巧．解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為,則有：①②①－②得：．∵、的坐標(biāo)滿足方程．∴方程是過、兩點(diǎn)的直線方程．又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的．∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．例7、過圓外一點(diǎn),作這個(gè)圓的兩條切線、,切點(diǎn)分別是、,求直線的方程。練習(xí)：求過點(diǎn),且與圓相切的直線的方程．2、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為3、已知直線與圓相切,則的值為.類型三：弦長、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線和圓,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.例13圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程,從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．解法一：圓的圓心為,半徑．設(shè)圓心到直線的距離為,則．如圖,在圓心同側(cè),與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線,且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為,則,∴,即,或,也即,或．設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、,則,．∴與相切,與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交,與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．練習(xí)1：直線與圓沒有公共點(diǎn),則的取值范圍是練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是.3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有〔．〔A1個(gè)〔B2個(gè)〔C3個(gè)〔D4個(gè)4、過點(diǎn)作直線,當(dāng)斜率為何值時(shí),直線與圓有公共點(diǎn),如圖所示．PPEOyx類型五：圓與圓的位置關(guān)系例14、判斷圓與圓的位置關(guān)系,例15：圓和圓的公切線共有條。解：∵圓的圓心為,半徑,圓的圓心為,半徑,∴.∵,∴兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓與圓相切,則實(shí)數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點(diǎn),且半徑為的圓的方程.類型六：圓中的對稱問題例16、圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是例19<1>已知圓,為圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大、最小值．練習(xí)：1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).求的最大值與最小值；〔2求的最大值與最小值.2設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn),求的取值范圍．八：軌跡問題例21已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的比為,求點(diǎn)的軌跡方程.例22、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是〔4,3,端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值．分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、,則由,可得,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為,由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程,由根與系數(shù)關(guān)系得出的值,從而使問題得以解決．解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、．一方面,由,得,即,也即：．①另一方面,、是方程組的實(shí)數(shù)解,即、是